1、第六節第六節 空間直線及其方程空間直線及其方程一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程 （交面式）（交面式）330P12L從而得到直線的平面的交線空間直線可看成是兩張,:一般式方程)()(201022221111DzCyBxADzCyBxA):(不成立212121CCBBAA,內在平面上任一點交線1 ML, )(1的坐標滿足M的坐標同理M. )(2滿足,上點不在交線設反之LM1. )()(211和的坐標不能同時滿足則 M交面式方程只是其中的平面有無窮多張過直線,L:,其余的平面是的兩張)(的稱為過直線 L022221111)()(DzCyBxADzCyBxA )(是任意實數 )(3.)(:

2、式確是平面的方程檢驗31, )(, )( , )(3212必滿足上的點滿足直線 L.)(式確定的平面內在從而3L.按:,)(但缺一張的所有平面式中包括了過L302222DzCyBxA平面束的坐標為點已知直線例PzyxzyxL,:.01011. ),( 作平面和直線過點LP321:.作平面束過解L011)()(zyxzyx 01111)()()()( zyx即必須點所求平面過,P01312111)()()()( 31 032323234zyx.012zyx即.的方程這就是平面 二、空間直線的對稱式點向式方程二、空間直線的對稱式點向式方程且與已知向量過已知點直線, ),(0000zyxML.),(

3、平行pnms .)(這樣的直線存在且唯一所以因為上任一點為設,/,),(sMMLzyxM0)(4000pzznyymxx.,)(對稱式方程的點向式式就是直線L4pzzmxxyyn000040被理解為則如果)(,004000zzyypn被理解為則如果)(,0MMsL,),(的方向向量稱為直線Lpnms ,的方向數稱為Lpnm. )()(方向余弦的方向角也稱為方向余弦的方向角Ls:交面式方程的方向向量. ),(),(22211121CBACBAnns)()(201022221111DzCyBxADzCyBxA1n2nsL1 2 ),(1111CBAn ),(2222CBAn 三、參數方程三、參數方

4、程)(4000pzznyymxx,)(tpzznyymxx設由0004)(5000tpzztnyytmxx則.此即直線的參數式方程.,pnmszyxrzyxr0000其中,或strr00432012zyxzyxL:. 已知例.方程的對稱式方程及參數式寫出L:兩平面的法向量. ),(, ),(31211121nn的方向向量L21nns, ),(314, ),(0000zyxML上的一點再找出043201000000zxzxy則設,.2100zx.解312111kji),(, ),(20131400MMs.32141zyxL的對稱式方程為tztytxL3241的參數式方程為tstrr3142010

5、或四、兩點式方程四、兩點式方程, ),(, ),(11110000zyxMzyxM已知兩點.,10MML過點直線)(存在唯一L:的方向向量L, ),(01010110zzyyxxMMs:的方程L010010010zzzzyyyyxxxx.的兩點式方程這就是直線 L0M1ML.),(, ),(.的平面束方程寫出過例201121310MM:,.的方程的直線過解LMM10,312221zyx31212221zxyx:改成交面式012301zxyx:整理得:所求平面束為01231)()(zxyx .)(01231 zyx即.為任意實數 關鍵向量關鍵向量:n平面的法向量平面的法向量,一一般般式式方方程程

6、中中容容易易找找到到截截距距式式在在點點法法式式.2010MMMMn三點式方程中三點式方程中s直線的方向向量直線的方向向量,參參數數式式方方程程中中容容易易找找到到兩兩點點式式在在對對稱稱式式,21nns在一般式方程中在一般式方程中.,為為兩兩相相交交平平面面的的法法向向量量21nn為鈍角為銳角 1n2n五、兩直線的夾角五、兩直線的夾角.兩直線方向向量的夾角兩直線夾角一 )(取銳角,1111111pzznyymxxL方程為設,2222222pzznyymxxL方程為., 夾角為21LL,| |cos2222222121212121212121pnmpnmppnnmmssss .cos22222

7、2212121212121pnmpnmppnnmm 兩直線的平行與垂直,:1111111pxxnyymxxL.:2222222pxxnyymxxL2121ssLL/212121ppnnmm2121ssLL.0212121ppnnmm六、兩平面的夾角六、兩平面的夾角.兩平面方向向量的夾角兩平面夾角 )(取銳角,011111DzCyBxA方程為設 .022222DzCyBxA方程為 ., 夾角為21 :得2222222121212121212121CBACBACCBBAAnnnn cos兩平面的平行與垂直,:011111DzCyBxA .:022222DzCyBxA 2121nn/ 212121C

8、CBBAA2121nn .0212121CCBBAA七、直線與平面的夾角七、直線與平面的夾角:這樣定義的夾角與平面直線 L內與它在平面直線不垂直時與當 LL ,.,;2 時垂直于當投影的夾角 LLs nLs n 20 Ls nLs n snsn cossin222222pnmCBACpBnAm 22202直直線與平面的平行與垂.:0DzCyBxA nsL /.CpBnAmnsL/ ,0CpBnAm,:pxxnyymxxL000010221211zyxM 在平面求點例),(.的坐標內的垂足 PMPn . ),(.221n的法向量解 .的方向向量它也是直線 MP,212211zyxMP的方程為直線

9、tztytx21221:改寫成參數方程:代入平面方程得,)()()(0102122221ttt,31t解得:點的坐標代入參數方程得垂足P.,353834.,解方程組方程聯立或者將平面和直線例例 2 推導點面距離公式推導點面距離公式 H0PP n,:.0DzCyBxA 平面解, ),(CBAn 平面的法向量, ),(0000zyxP空間任意一點.H垂足, ),(111zyxP平面內任意一點),(0101010zzyyxxPP)()()(0101010zzCyyBxxAnPP)()(000111zCyBxAzCyBxA. )(DzCyBxA000.),(滿足平面方程111zyx,cos nPPnP

10、P00又 cosPPdP00的距離到平面點 cosPPdP00的距離到平面點 nnPP0 cosPPd0.222000CBADzCyBxA. )(DzCyBxAnPP0000),(CBAn .:222000CBADzCyBxAd點面距離公式),(),(.110111321MM和一平面通過兩點例.,:求它的方程且垂直于平面00zyx , ),(.11100n的法向量平面解 ,0nnn則的法向量為記所求平面 210MMnn201111kji, ),(112:的點法式方程所求平面 .)()()(01112zyx.02zyx或1M2Mn0104044yxzxL:. 已知直線例,:122zyx 平面.

11、的夾角與平面求直線 L的方向向量直線解L., ),(),(),(141014101s, ),(212 n的法向量平面 snsn sin1161414242,924298.arcsin924 幾個特殊向量幾個特殊向量 :),(001i),(010j),(100k,),(軸垂直于 Xa 0,),(軸垂直于Yb 0.),(軸垂直于Zc0 以上單位坐標向量平面以這些向量為法向量的的直線以這些向量為方向向量的位置關系與各坐標軸和坐標平面?.),(.的距離到直線求點例042012135zyxzyxLP 0PPHLs, ),(.2010PL上取一點在解, ),(0120PP則112111kjisL的方向向量

12、, ),(330 sinPPPH0ssPP0),(),(),(110110012110221),(29.223 PHd所求距離, ),(110s取09230426zyxzyxL:. 求直線例.:的方程上的在平面14zyx 投影直線 LHM0 PPHL及其投影設直線解.,0 確定平面L是過則0 .,垂直它與的平面束中的一張 :的平面束是過L)()()()(10921432 zyx,)()()(02143240 ,1113 :)(的方程并化簡得代入平面束方程01 0117373117zyx.,的方程線的方程聯立即為投影直PH0 :.17 垂直于平面設平面例到并通過從點),(,1110Pz,:21001LxzyL的垂線直線.的方程求平面 1 1n1LPQ1S2S.:點的坐標關鍵是要找到垂足分析Q:.的方向向量解1L, ),(1100011101k