1、 第十二章第十二章 微微 分分 方方 程程高階微分方程高階微分方程 一、可降階的高階微分方程一、可降階的高階微分方程 1高階微分方程的定義高階微分方程的定義( )( ,)0nF x yyy 2可降階的高階微分方程類型可降階的高階微分方程類型(1)( )( )nyf x (2)( ,)yf x y (3)( ,)yf y y 3可降階的高階微分方程的解題方法流程圖可降階的高階微分方程的解題方法流程圖 可降階的高階微分方程，是通過引入變量進行降階，可降階的高階微分方程，是通過引入變量進行降階，轉化為成一階微分方程，通過判定一階微分方程的類型，轉化為成一階微分方程，通過判定一階微分方程的類型，求出通

2、解。解題方法流程圖如下圖所示。求出通解。解題方法流程圖如下圖所示。解題方法流程圖解題方法流程圖逐次積分逐次積分),(yxfy 解一階微分方程解一階微分方程解一階微分方程解一階微分方程),(yyfy 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程)()(xfyn特點特點:不顯含不顯含y轉化為一階方程轉化為一階方程),(pxfp 特點特點:不顯含不顯含x),(ncccxy21通解通解YesNo令令)(xPy 令令)(yPy 轉化為一階方程轉化為一階方程),(Pyfpp二、二階常系數線性微分方程二、二階常系數線性微分方程1定義定義(1)二階常系數線性齊次微分方程：二階常系數線性齊次微分方程： 0ypyqy

3、 (2)二階常系數線性非齊次微分方程二階常系數線性非齊次微分方程: ( )ypyqyf x2解的結構性質解的結構性質(1)假設假設 和和1y2y是齊次方程的解是齊次方程的解,那那么么1 122C yC y 是齊次方程的解。是齊次方程的解。(2)假假設設 1y和和 2y是齊次方程的線性無關解是齊次方程的線性無關解,那么那么 是齊次是齊次1 122C yC y 方程的通解。方程的通解。(3)假假設設 1 12 2Y CyC y 是齊次方程的通解，是齊次方程的通解，*y是非齊次方程的特解，是非齊次方程的特解，那那么么*Yy 是非齊次方程的通解。是非齊次方程的通解。和和 (4)假假設設 1y2y分別是

4、非齊次方程的特解，那么分別是非齊次方程的特解，那么12yy 是非齊次是非齊次 方程的特解。方程的特解。 特征根特征根 通通 解解 21rr 21rr ir 2, 1)sincos(21xCxCeYx xrexCCY1)(21 xrxreCeCY2121 3. 齊次方程的解題方法齊次方程的解題方法2求齊次線性方程的通解求齊次線性方程的通解 ;Y1寫出特征方程寫出特征方程 , 并求特征根并求特征根 ； 02 qprr21,rrxmkexQxy )(* 4. 非齊次方程的特解非齊次方程的特解)()(xPexfmx (1) 假設假設設特解為設特解為 0 k不是特征方程的根不是特征方程的根 是特征方程的

5、單根是特征方程的單根 是特征方程的重根是特征方程的重根 1 k2 k設特解為設特解為(2) 假設假設sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk 0 k不是特征方程的根不是特征方程的根 i 1 k是特征方程的根是特征方程的根 i 5. 非齊次方程的解題方法非齊次方程的解題方法求二階常系數非齊次線性微分方程的通解，一般分為四步：求二階常系數非齊次線性微分方程的通解，一般分為四步： 2求對應的齊次線性方程的通解求對應的齊次線性方程的通解 ;Y3根據不同類型的自由項根據不同類型的自由項 ( )f x，利用待定系數法求出，利用待定系數法

6、求出一個特解一個特解 *y4寫出原方程的通解寫出原方程的通解 。 *Yy 解題方法流程圖如下圖所示。解題方法流程圖如下圖所示。1寫出特征方程寫出特征方程 , 并求特征根并求特征根 ； 02 qprr21,rr解題方法流程圖解題方法流程圖特征方程：特征方程：20rprq 有實根有實根12(cossin)xYeCxCx 的類的類型型( )f x混合混合型型對對 分別分別求特解求特解12( ),( )f x f x12*,y y*12yyy 令令 k為特征方程為特征方程含根含根 的重復次數的重復次數*( )kxmyx eQx 0 1 2(, , )k 代入原方程，用待定代入原方程，用待定系數法確定其

7、參數系數法確定其參數令令 k為特征方程含根為特征方程含根 的重復次數的重復次數12*( )( )( )cos( )sinkxmmyx eRxx Rxxi0 1(, ).max( ,)kml n通解通解 *y Yy12rrYes12( )( )( )f xfxfxYes112()r xYCC x e Yes1,2riNo1212r xr xYC eC eNo1( )( ) ( )cos( )sinxlnf xf xe P xx P xxNo求求 通解通解( )ypyqyf x1( )( )( )xmf xf xepxNo【例【例1】求方程】求方程 的通解。的通解。 2xyyx 解：由于不顯含解：

8、由于不顯含 ，令，令 ，那么，那么 y( )yp x yp 代入原方程整理得代入原方程整理得21xppx 即即 ()1px 因而因而 2ypCxx 再積分一次，即得原方程的通解為：再積分一次，即得原方程的通解為：2321123yCxxC 此解可以寫成此解可以寫成321213yxC xC 分析：此方程為可降階的二階微分方程，由于不顯含分析：此方程為可降階的二階微分方程，由于不顯含 y所以可引入變量所以可引入變量 將二階微分方程變成一階微將二階微分方程變成一階微分方程，然后根據一階微分方程的特點求解。分方程，然后根據一階微分方程的特點求解。 ( )yp x 【例【例2】求方程】求方程 (1)ln(

9、1)x yyx 的通解。的通解。分析：此方程為可降階的二階微分方程，由于不顯含分析：此方程為可降階的二階微分方程，由于不顯含 y所以可引入變量所以可引入變量()yp x 將二階微分方程變成一階將二階微分方程變成一階 微分方程，然后根據一階微分方程的特點求解。微分方程，然后根據一階微分方程的特點求解。解：由于不顯含解：由于不顯含 ，令，令 ( )yp x ，那，那么么 yp y代入原方程整理得代入原方程整理得(1)ln(1)x ppx 即即 ln(1)11pxpxx 為一階線性微分方程為一階線性微分方程 利用公式得利用公式得11111ln(1)()1dxdxxxxpeedxCx ln(1)ln(

10、1)1ln(1)()1xxxeedxCx 11( ln(1)1x dxCx 1ln(1)11Cxx 即即 1ln(1)11Cyxx 積分得積分得 12()ln(1)2yxCxxC 分析：此方程為可降階的二階微分方程，由于不顯含分析：此方程為可降階的二階微分方程，由于不顯含 所以可引入變量所以可引入變量( )yp y 將二階微分方程變成一階將二階微分方程變成一階 微分方程，然后根據一階微分方程的特點求解。微分方程，然后根據一階微分方程的特點求解。x解：由于不顯含解：由于不顯含 ( )yp y ypp x,令令 ,那么那么 代入原方程整理得代入原方程整理得20yppp 所以所以0p 或或0ypp

11、當當0ypp 時，此方程為可分離變量的方程，時，此方程為可分離變量的方程，分離變量得：分離變量得：dpdypy 【例【例3】求方程】求方程 2()0y yy 滿足初始條件滿足初始條件012xy 的特解。的特解。01,xy 積分得：積分得：1lnlnlnpyC 所以所以1Cpy 即即1Cyy 將將0011,2xxyy 代入得代入得112C ，從而，從而12yy 分離變量得：分離變量得：22yxC 將將01xy 代入得代入得21C 所求方程的特解為：所求方程的特解為：21yx 特解為特解為1y ，含在，含在 內。內。21yx 當當 時，即時，即0y 積分得積分得yC 0p 【例【例4】知】知 21

12、xxyxee 2,xxyxee 23,xxxyxeee 是某個二階線性非齊次微分方程的三個特解，求通解是某個二階線性非齊次微分方程的三個特解，求通解及方程的表達式。及方程的表達式。 分析：由二階線性非齊次微分方程解的結構，先求出 對應齊次方程，從而得出通解及方程的表達式。對應齊次方程，從而得出通解及方程的表達式。 解：因為解：因為 212xxyyee 13,xyye 是對應齊次方程是對應齊次方程的兩個線性無關的特解，可知特征方程有兩個根的兩個線性無關的特解，可知特征方程有兩個根122,1rr ，特征方程為，特征方程為22 0rr 對應齊次方程為：對應齊次方程為：20yyy 對應齊次方程通解為：

13、對應齊次方程通解為：212xxY CeCe 又因為又因為2xxxee 是非齊次微分方程的特解，將其代入是非齊次微分方程的特解，將其代入2( )yyyf x 有有222()()2() (1 2 )( )xxxxxxxxeexeexeex ef x 所求的方程為：所求的方程為：2(1 2 )xyyyx e 通解為：通解為：212xxxy Y yCeCexe 【例【例5】求方程】求方程 325yyy 滿足初始條件滿足初始條件 (0) 1y , (0) 2y 的特解。的特解。 分析：此為二階常系數非齊次線性微分方程，由解的結 構，先求出對應齊次的通解，再求出其本身的一個特解構，先求出對應齊次的通解，再

14、求出其本身的一個特解. 解：所給的方程是二階常系數非齊次線性微分方程，解：所給的方程是二階常系數非齊次線性微分方程， 它的特征方程它的特征方程 232 0rr 解得兩個不同的實根解得兩個不同的實根 121,2rr 故齊次方程的通解為故齊次方程的通解為 212xxYCeCe 由于由于 是是 型型(其中其中 )，且，且( ) 5f x ( )xmP x e ( ) 5, 0mP x 0 不是特征方程根，所以應設特解不是特征方程根，所以應設特解 0*yaea ，求出，求出( ),( )yy 把它們代入原方程，得把它們代入原方程，得 52a 得非齊次方程的通解為得非齊次方程的通解為 21252xxy

15、YyCeCe 將初始條件將初始條件 (0) 1, (0) 2yy 代入，有代入，有121251222CCCC 解得解得 1275,2CC 所求的特解為所求的特解為 275522xxyee 【例【例6】求微分方程】求微分方程 323xyyyxe 的通解的通解 解：所給的方程是二階常系數非齊次線性微分方程，解：所給的方程是二階常系數非齊次線性微分方程， 它的特征方程為它的特征方程為 232 0rr 解得兩個不同的實根解得兩個不同的實根 121, 2rr 故齊次方程的通解為故齊次方程的通解為 212xxYCeC e 由于由于 是是 型型 ( ) 3xf xxe ( )xmP xe （其中（其中 ）(

16、 ) 3 , 1mP xx 且且 是特征方程的單根，是特征方程的單根，1 所以應設特解所以應設特解 001223b xbbx 解之，得解之，得 013,32bb 由此求得一個特解為由此求得一個特解為比較等式兩邊的系數，得比較等式兩邊的系數，得 00123, 20bbb 22123+(3 )2xxxy Y yCeCexx e 01*()xyx b xb e 求出求出 把它們代入原方程，得把它們代入原方程，得 () ,()yy 【例【例7】求微分方程】求微分方程 25sin2xyyy ex 的通解的通解 解：特征方程為解：特征方程為 225 0rr ，其根為，其根為 1,21 2 ri 故齊次方程

17、的通解為故齊次方程的通解為 12(cos2sin2 )xYe Cx Cx （其中（其中 ( ) 0,( ) 1,1,2lnP xP x ）,因為因為1 2 ii 是特征方程根，所以應設特解是特征方程根，所以應設特解 *( cos2sin2 )xyxe Ax Bx 由于由于 ( )sin2xf xex 是是( ( )cos( )sin)xlneP xx P xx 型型( *)( cos2sin2 )( cos2sin2 )xxye Ax Bxxe Ax Bx ( 2 sin22 cos2 )xxeAxbx ( *)2 ( cos2sin2 ) 2 ( 2 cos2sin2 )xxye Ax Bx

18、eAx Bx 2( 2 sin22 cos2 )( 3 cos23 sin2 )xxxeaxBxxeAxBx 代入原方程，解之得代入原方程，解之得 1, 04AB 故特解為故特解為 *cos24xxyex 于是所求通解為于是所求通解為12(cos2sin2 )cos24xxxy e Cx Cxex 注：不能因為自由項只出現正弦項，而將注：不能因為自由項只出現正弦項，而將 *y設為設為 sin2xxe Bx。此例可理解為。此例可理解為 cos2x的系數為的系數為0 。 【例【例8】求微分方程】求微分方程 cosxyy ex 的通解的通解. 解：特征方程為解：特征方程為 21 0r ，其根為，其根

19、為 1,2 ri 故齊次方程的通解為故齊次方程的通解為 12cossinY Cx Cx 由于由于 ( )cosxf xex 根據特解結構原理，此方程的自由項根據特解結構原理，此方程的自由項 ( )f x屬于混合型，令屬于混合型，令 12( ), ( ) cosxf xef xx 由于由于 是是 型型 1( )xf xe ( )xmP x e （其中（其中 ） ( ) 1, 1mP x 1 不是特征方程根，故可設不是特征方程根，故可設*1xyAe 所以所以*112xye ，求，求*1 ( )xyAe 代入原方程代入原方程xyy e 中，則有中，則有*1( ), xyAe 2,xxAee 1 2A

20、 得得（其中（其中 ( ) 1,( ) 0,0,1lnP xP x ）,而而 ii 是特征方程根，故可設是特征方程根，故可設 *2 ( cossin )yx Bx Cx 又因為又因為 2( ) cosf xx 是是( ( )cos( )sin)xlneP xx P xx 型型求求 *2( )cossin(sincos )yBx Cx x Bx Cx *2( )2(sincos )(cossin )yBx Cxx Bx Cx 代入方程代入方程 cosyyx 中中 ,解得解得 10, 2BC ，所以，所以 *2sin2xyx 于是原方程的通解為于是原方程的通解為*12121cossinsin22x

21、xy Y yyCx Cxex 【例【例 9】設】設 ( )f x具有二階連續函數，且具有二階連續函數，且 (0) 0, (0) 1ff 已知曲線積分已知曲線積分 2(6 ( )sin(5 ( )( )cosxLxef xydxf xf xydy 與積分路徑無關，求與積分路徑無關，求 ( )f x分析：曲線積分分析：曲線積分 LPdx Qdy 與路徑無關的充分必要條件是與路徑無關的充分必要條件是PQyx 。故應首先分別求出。故應首先分別求出 和和 ， Py Qx 列出等式列出等式 PQyx 建立關于函數建立關于函數 ( )f x的微分方程，然后再根據初始條件求特解。的微分方程，然后再根據初始條件求特解。 線積分與路徑無關的條線積分與路徑無關的條 解：因為曲線積分解：因為曲線積分 LPdx Qdy 與路徑無關，所以根據曲與路徑無關，所