1、有關復合函數單調性的定義和解題方法 姓名：一、 復合函數的定義設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若AÍB，則y關于x函數的y=fg(x)叫做函數f與g的復合函數，u叫中間量.二、 函數的單調區間1.一次函數y=kx+b(k0).解 當k0時，(，+)是這個函數的單調增區間；當k0時，(，+)是這個函數的單調減區間.2.反比例函數y=(k0).解 當k0時，(，0)和(0，+)都是這個函數的單調減區間，當k0時，(，0)和(0，+)都是這個函數的單調增區間.3.二次函數y=ax2+bx+c(a0).解 當a1時(，)是這個函數的單調減區間，(，+)是它的單調增區間；當

2、a1時(，)是這個函數的單調增區間，(，+)是它的單調減區間；4.指數函數y=ax(a0，a1).解 當a1時，(，+)是這個函數的單調增區間，當0a1時，(，+)是這個函數的單調減區間.5.對數函數y=logax(a0，a1).解 當a1時，(0，+)是這個函數的單調增區間，當0a1時，(0，+)是它的單調減區間.三、復合函數單調性相關定理引理1 已知函數y=fg(x).若u=g(x)在區間(a,b)上是增函數，其值域為(c，d)，又函數y=f(u)在區間(c,d)上是增函數，那么，原復合函數y=fg(x)在區間(a,b)上是增函數.(本引理中的開區間也可以是閉區間或半開半閉區間.)證明 在

3、區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使ax1x2b.因為u=g(x)在區間(a,b)上是增函數，所以g(x1)g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因為函數y=f(u)在區間(c,d)上是增函數，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函數y=fg(x)在區間(a,b)上是增函數.引理2 已知函數y=fg(x).若u=g(x)在區間(a,b)上是減函數，其值域為(c，d)，又函數y=f(u)在區間(c,d)上是減函數，那么，復合函數y=fg(x)在區間(a,b)上是增函數.證明 在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使ax1x2

4、b.因為函數u=g(x)在區間(a,b)上是減函數，所以g(x1)g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因為函數y=f(u)在區間(c,d)上是減函數，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函數y=fg(x)在區間(a,b)上是增函數.規律：當兩個函數的單調性相同時，其復合函數是增函數；當兩個函數的單調性不同時，其復合函數為減函數。即我們所說的“同增異減”規律。例1 求下列函數的單調區間： y=log4(x24x+3)解法一：設 y=log4u,u=x24x+3.由 u0, u=x24x+3，解得原復合函數的定義域為x1或x3.當

5、x(，1)時，u=x24x+3為減函數，而y=log4u為增函數，所以(，1)是復合函數的單調減區間；當x(3，±)時，u=x24x+3為增函數y=log4u為增函數，所以，(3，+)是復合函數的單調增區間.解法二：u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復合函數定義域)x2 (u減)解得x1.所以x(，1)時，函數u單調遞減.由于y=log4u在定義域內是增函數，所以由引理知：u=(x2)21的單調性與復合函數的單調性一致，所以(，1)是復合函數的單調減區間.下面我們求一下復合函數的單調增區間.u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復合函數定義域)x2 (u增)解得x

6、3.所以(3，+)是復合函數的單調增區間.例2 求下列復合函數的單調區間： y=log (2xx2)解： 設 y=logu,u=2xx2.由 u0 u=2xx2解得原復合函數的定義域為0x2.由于y=logu在定義域(0，+)內是減函數，所以，原復合函數的單調性與二次函數u=2xx2的單調性正好相反.易知u=2xx2=(x1)2+1在x1時單調增.由 0x2 （復合函數定義域） x1，(u增)解得0x1,所以(0，1是原復合函數的單調減區間.又u=(x1)2+1在x1時單調減，由 x2， (復合函數定義域) x1， (u減)解得1x2,所以1，2)是原復合函數的單調增區間.例3 求y=的單調區

7、間.解： 設y=,u=76xx2,由 u0, u=76xx2解得原復合函數的定義域為7x1.因為y=在定義域0+內是增函數，所以由引理知，原復合函數的單調性與二次函數u=x26x+7的單調性相同.易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x-3時單調增加。由 -7x1,（復合函數定義域） x-3,（u增）解得-7x-3.所以-7，3是復合函數的單調增區間.易知u=x26x+7=(x+3)2+16在x3時單調減，由 7x1 (復合函數定義域) x3， (u減)解得3x1，所以3，1是復合函數的單調減區間.例4 求y=的單調區間.解 ： 設y=.由 uR, u=x22x1,解得原復合函數的定

8、義域為xR.因為y=在定義域R內為減函數，所以由引理知，二次函數u=x22x1的單調性與復合函數的單調性相反.易知,u=x22x1=(x1)22在x1時單調減，由 xR, (復合函數定義域) x1， (u減)解得x1.所以(，1是復合函數的單調增區間.同理1，+)是復合函數的單調減區間.注意：單調區間必須是定義域的子集，當我們求單調區間時，必須先求出原復合函數的定義域.另外，咱們剛剛學習復合函數的單調性，做這類題目時，一定要按要求做，不要跳步.練習求下列復合函數的單調區間.1.y=log3(x22x);(答：(，0)是單調減區間，(2，+)是單調增區間.)2.y=log(x23x+2)；(答：(，1)是單調增區間，(2，+)是單調減區間.)3.y=,(答：2，是單調增區間，3是單調減區間.)4.y=;(答：(，0)，(0，+)均為單調增區間.注意，單調區間之間不可以取并集.)5.y=;(答(，0)為單調增區間，(0，+)為單調減區間)6.y=,(