1、第第15章章狹義相對論狹義相對論基礎基礎第6篇 近代物理基礎 (相對論1)前言前言Albert Einstein（1879 1955）狹義相對論基礎第第15章章15.1 15.1 力學是研究物體的運動，即它的位置隨時間的變化。為了定力學是研究物體的運動，即它的位置隨時間的變化。為了定量研究這種變化，必須選擇適當的參考系，而參考系的選取可量研究這種變化，必須選擇適當的參考系，而參考系的選取可視研究問題的方便任意選取。視研究問題的方便任意選取。yxxozzyutossPu 在兩個慣性系中考察同一物在兩個慣性系中考察同一物理事件理事件兩個慣性系兩個慣性系：S系和系和 系系S 系相對系相對S 系以速度

2、系以速度u沿沿x正向勻速運動正向勻速運動S一物理事件一物理事件： 質點到達質點到達 P P 點點兩個慣性系的描述分別為兩個慣性系的描述分別為：) , , , (tzyx) , , , (tzyx, 0 tt坐標原點重合。坐標原點重合。ttzzyyutxxttzzyyutxx逆變換逆變換正變換正變換yxxozzyutossPu任意時刻任意時刻t，兩個描述的關，兩個描述的關系為系為首先首先,tttt 有即：即：時間測量是絕對的，與參考系運動無關。時間測量是絕對的，與參考系運動無關。其次其次222222)LxyzxyzL （+（+（即：即：空間兩點距離的測量是絕對的，與參考系運動無關。空間兩點距離的

3、測量是絕對的，與參考系運動無關。 絕對的、真正的和數學的時間，就其本身而言，是永遠絕對的、真正的和數學的時間，就其本身而言，是永遠均勻地流逝著，與任何外界事物無關。均勻地流逝著，與任何外界事物無關。 絕對的空間，就其本性而言，是與任何外界事物無關的，絕對的空間，就其本性而言，是與任何外界事物無關的，它永遠不動、永遠不變。它永遠不動、永遠不變。 3 3、相對性原理相對性原理 年，年， 關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話 關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話舟行而不覺舟行而不覺伽利略描述的種種現象表明：伽利略描述的種種現象表

4、明： 一切彼此作勻速直線運動的慣性系，對于描寫機械一切彼此作勻速直線運動的慣性系，對于描寫機械運動的力學規律而言是完全等價的。運動的力學規律而言是完全等價的。或或 力學規律對一切慣性系都是等價的。力學規律對一切慣性系都是等價的。 若以若以 和和 分別表示同一質點在分別表示同一質點在 和和 系中的速度，伽利系中的速度，伽利略坐標變換式對時間略坐標變換式對時間 t 求導，并考慮到求導，并考慮到 ，有，有vvttSSzzyyxxuvvvvvv或或zzyyxxuvvvvvvu vv矢量式矢量式加速度變換：加速度變換：aa經典力學規律在伽利略變換下具有不變性。經典力學規律在伽利略變換下具有不變性。amF

5、S ：amFS ：即即: : 牛頓運動定律在伽利略變換下具有不變性牛頓運動定律在伽利略變換下具有不變性, ,換換言之言之, ,對任何慣性系對任何慣性系, ,牛頓力學規律有相同形式牛頓力學規律有相同形式 力學相對性原理力學相對性原理15.2 15.2 在宏觀低速下在宏觀低速下, ,伽利略變換與力學相對性原理是一致的伽利略變換與力學相對性原理是一致的, ,利利用牛頓力學規律和伽利略變換可以解決一切慣性系中的力學問用牛頓力學規律和伽利略變換可以解決一切慣性系中的力學問題。然而在涉及電磁現象題。然而在涉及電磁現象, ,尤其是光的傳播問題時尤其是光的傳播問題時, ,伽利略變換伽利略變換與力學相對性原理遇

6、到了不可克服的困難與力學相對性原理遇到了不可克服的困難. . 1919世紀中葉已形成了較嚴密的電磁場理論世紀中葉已形成了較嚴密的電磁場理論 麥克斯韋麥克斯韋( (Maxwell) )理論理論. .問題問題: 對不同的慣性系對不同的慣性系, ,電磁現象的基本規律形式是不是相同？電磁現象的基本規律形式是不是相同？但但Maxwell電磁理論給出真空中的光速為：電磁理論給出真空中的光速為： 這個問題中這個問題中, ,光速的值起決定性作用光速的值起決定性作用. .若以若以c c 表示在表示在S S系中測得系中測得的光在真空中的速度的光在真空中的速度, ,以以 表示在表示在 系測得的光速系測得的光速. .

7、按伽利略變按伽利略變換換, ,有有cSucc800109921.cm/s 因為因為 與參考系無關與參考系無關, ,因此因此c c 也應該與參考系無關也應該與參考系無關. .即在即在任何慣性系中測得的真空中的光速都應該是一樣的。任何慣性系中測得的真空中的光速都應該是一樣的。00, 這個結論后來被許多精確的實驗這個結論后來被許多精確的實驗( (最著名的實驗是最著名的實驗是18871887年年邁邁克爾遜克爾遜和和莫雷莫雷做的做的實驗實驗) )所證實。所證實。遜遜cuv的大小隨的大小隨 的方向而變化的方向而變化cv 檢測檢測“以太以太”(aether)設地球設地球(光源和干涉儀光源和干涉儀)相對于相對

8、于“以太以太”的速度為：的速度為：u光相對于地球的速度為光相對于地球的速度為 ，光相對于，光相對于“以太以太”的速度為的速度為 ，取，取以太為以太為S系，地球為系，地球為 系。由伽利略速度變換有系。由伽利略速度變換有vcS實驗原理圖實驗原理圖GSM1M2TGM1=GM2=luvucvucucvvcu光束（光束（1）來回）來回GM1的時間為：的時間為：cuv 沿沿 方向：方向：ucuv逆逆 方向：方向：u22cuv 沿垂直沿垂直 方向：方向：uGSM1M2Tu（2）（1）22212222222(1)(1)ucllddlutcucucucccGSM1M2Tu（2）（1） 兩光線間存在光程差兩光線間

9、存在光程差,T處應看到干涉條紋。將裝置轉動處應看到干涉條紋。將裝置轉動90度度,干涉條紋應移動干涉條紋應移動(預計預計0.37條條)。原以為按所設計的實驗可觀察到。原以為按所設計的實驗可觀察到條紋的移動，并指望由此判定地球的絕對運動，但反復實驗條紋的移動，并指望由此判定地球的絕對運動，但反復實驗,得得到到“零結果零結果”光束（光束（2）來回）來回GM2的時間為：的時間為：122222222222(1)(1)2llulutcccccu兩時間之差為兩時間之差為2221222322(1)(1)2lululuttccccc因此，兩光束的因此，兩光束的光程差光程差為為2122()luc ttc 克爾遜克

10、爾遜莫雷實驗莫雷實驗的零結果，說明的零結果，說明“以太以太”并不存在，光并不存在，光或電磁波的運動不服從伽利略變換。或電磁波的運動不服從伽利略變換。 愛因斯坦揚棄了以太假說和絕對參考系的想法，在前人各種愛因斯坦揚棄了以太假說和絕對參考系的想法，在前人各種實驗的基礎上，于實驗的基礎上，于1905年年發表了發表了論動體的電動力學論動體的電動力學這這篇著名的論文。他在論文中提出了如下兩個基本假設，作為狹篇著名的論文。他在論文中提出了如下兩個基本假設，作為狹義相對論的兩條基本原理：義相對論的兩條基本原理：（1 1）狹義相對性原理：）狹義相對性原理： （2 2) ) 光速不變原理：光速不變原理： 物理定

11、律在所有慣性系中有相同的數學形式。物理定律在所有慣性系中有相同的數學形式。即所有慣性系都是等價的。即所有慣性系都是等價的。 在所有的慣性系中在所有的慣性系中, ,真空中的光速恒為真空中的光速恒為c c , ,與光與光源或觀察者的運動無關。源或觀察者的運動無關。 。：既然光學、電磁學與：既然光學、電磁學與力學是統一的，那么光速（電磁波速）恒定的結論可以應用到力力學是統一的，那么光速（電磁波速）恒定的結論可以應用到力學中。學中。兩假設兩假設的的正確正確性性，只能通過從假設出發推理得到的結論來判斷；，只能通過從假設出發推理得到的結論來判斷；2 2、異地校鐘：異地校鐘： 同時接收到同時接收到光信號，光

12、信號， 處的處的時鐘得到校準。時鐘得到校準。AB、AB、AB、 xouCSABSC xouCSABSC 同時接收到同時接收到光信號。光信號。AB、 xouCSABSCSAB：“光速不變原理的直接結果光速不變原理的直接結果3 3、BA,x xouSSdCBAMoSCMSCMC2222()2u tdltcc u touSSdCCMo,x xll2dtc 22211ttttuc 22211ttttuc 21,1uctStStt 121,1uc21 ttt * 時間延緩是一種相對論效應。時間延緩是一種相對論效應。 固有時固有時是由靜止在是由靜止在“當地當地”的同一只鐘測量的時間。的同一只鐘測量的時間。

13、* 當速度當速度u遠遠小于遠遠小于c 時，時， 1122cutt 注意注意: 所以所以, , 牛頓的絕對時間概念實際上是相對論時間概念牛頓的絕對時間概念實際上是相對論時間概念在參考系的相對速度遠遠小于光速時的近似。在參考系的相對速度遠遠小于光速時的近似。相對論時間膨脹公式相對論時間膨脹公式3 3、 測量物體的長度就是用一把尺去和物體作比較測量物體的長度就是用一把尺去和物體作比較, ,看物體的兩看物體的兩端與尺上的哪兩點重合。這兩次重合在物體相對測量者靜止時端與尺上的哪兩點重合。這兩次重合在物體相對測量者靜止時, , 可在不同時刻分別讀出。這樣測量所得的結果是物體的靜止長可在不同時刻分別讀出。這

14、樣測量所得的結果是物體的靜止長度，也稱度，也稱“固有長度固有長度”。 當物體相對測量者運動時，如何測量物體的長度？當物體相對測量者運動時，如何測量物體的長度？ 經典力學中經典力學中: : 兩點之間的距離是絕對的兩點之間的距離是絕對的, ,與參考系運動無關與參考系運動無關; ; 下面討論相對論如何看待長度的測量。下面討論相對論如何看待長度的測量。S,x xouSS1xBAo2x一剛性棒靜止在一剛性棒靜止在 系的系的 軸上軸上Sx光線往返兩事件的時間間隔為光線往返兩事件的時間間隔為12LLtttcucu 棒的一端棒的一端A固定一光源和接收固定一光源和接收器，棒的另一端器，棒的另一端B固定一反射固定

15、一反射鏡。鏡。 設設S S系測得棒長為系測得棒長為L，上述兩事件的時間間隔分別為上述兩事件的時間間隔分別為 和和1t2t11c tLu t 22c tLu t 221(1)2uLc tc,x xouSS1xBAo2x顯然，棒的測量長度顯然，棒的測量長度L與相對運動的速度與相對運動的速度u有關。有關。12LLtttcucu 22(1)2cuLtc202122tcuLctc 設設 系的測量者也通過光的傳播測棒的長度，若棒的靜止長度系的測量者也通過光的傳播測棒的長度，若棒的靜止長度為為 ，相對于棒靜止的測量，光線往返兩事件的時間相同。，相對于棒靜止的測量，光線往返兩事件的時間相同。S0L220021

16、1uLLLc2201/LLuc 把棒相對測量者靜止時測得的長度叫棒的把棒相對測量者靜止時測得的長度叫棒的固有長度（原固有長度（原長）長）。式中的。式中的 就是固有長度。就是固有長度。固有長度最長。固有長度最長。0L 當棒相對測量者運動時當棒相對測量者運動時, , 測量者測到棒的長度測量者測到棒的長度 比棒的固有比棒的固有長度長度 短。短。0LLL稱為棒的稱為棒的即即 S 系觀察者測得相對他系觀察者測得相對他運動的棒沿運動方向收縮了。（運動的棒沿運動方向收縮了。（）0LL* 長度收縮效應只發生在運動方向上長度收縮效應只發生在運動方向上;* 長度測量也是相對的長度測量也是相對的;* 當速度遠遠小于

17、當速度遠遠小于c 時，兩系測量結果相同。時，兩系測量結果相同。注意注意:相對論作業（相對論作業（1 1）P173175頁頁 選選3，5，計，計17，20 yxxozzyossPu慣性系相對慣性系相對S以速度以速度u沿沿x正向運動正向運動S之間的變換關系為：之間的變換關系為：0tt 時時, ,兩兩坐標系原點重合。坐標系原點重合。系測得系測得P點的時空坐標為點的時空坐標為：S) , , , (tzyx分別在分別在 和和S S系中測量發生在系中測量發生在P P 點的同一物理事件。點的同一物理事件。S) , , , (tzyx系測得系測得P點的時空坐標為點的時空坐標為：SyxxozzyossPu222

18、221/ 1/xutxucyyzzutxctuc 222221/ 1/xutxucyyzzutxctuc洛倫茲坐標變換表明洛倫茲坐標變換表明:洛倫茲坐標變換可簡寫成洛倫茲坐標變換可簡寫成)( )(2xcuttzzyyutxx)( )(2xcuttzzyytuxx(1) 時間與空間不再獨立時間與空間不再獨立, 而是相互關聯。而是相互關聯。即即 伽利略變換是洛倫茲變換在低速下的極限。伽利略變換是洛倫茲變換在低速下的極限。(2) 低速情況下低速情況下, 即即 時，時， 洛倫茲變換洛倫茲變換 伽利略變換。伽利略變換。cu 1,o211yxxozzyossPu,yyzz 在一個慣性系中測量一物理事件，其

19、空時坐標應是唯一在一個慣性系中測量一物理事件，其空時坐標應是唯一的，在不同慣性系中測量同一物理事件，其空時坐標應是一的，在不同慣性系中測量同一物理事件，其空時坐標應是一一對應的，變換關系應是線性的，可一般表示為：一對應的，變換關系應是線性的，可一般表示為：0tt 時時, ,兩兩坐標系原點重合。坐標系原點重合。分別在分別在 和和S S系中測量發生在系中測量發生在P P 點的同一物理事件。得兩組點的同一物理事件。得兩組時時空坐標空坐標S因兩坐標系僅在因兩坐標系僅在 x 方向有相對運動，顯然有方向有相對運動，顯然有( , , , )( , , , )xy z tx y zt 和( , )x t 下面

20、確定下面確定 與與 之間的變換關系之間的變換關系( , )x tyxxozzyossPu12xa xa t 12tb xb t 下面確定系數下面確定系數 和和12,b b12,a axut0 x o而而S系在系在t 時刻測得時刻測得 的坐標為的坐標為對對“ ”點，點， 系在任意系在任意 時時刻測得的坐標為刻測得的坐標為toS上兩式代入，可得上兩式代入，可得 ， 式化為式化為21aau 1()xa xut 設在設在 時刻，從時刻，從o o（或）發出一光信號，一段極短的（或）發出一光信號，一段極短的時間后到達時間后到達 P P 點。由光速不變原理，有點。由光速不變原理，有o0tt22222 2OP

21、xyzc t222222O Pxyzc t22 2222xc txc t上式右邊展開，同變量的項合并，得上式右邊展開，同變量的項合并，得比較兩邊同類項的系數，有比較兩邊同類項的系數，有22222 2OPxyzc t222222O Pxyzc t上兩式相減，得上兩式相減，得22 22222112()()xc taxutc b xb t、兩式代入上式，得、兩式代入上式，得22 2222222222221111 212()(22)()xc tac bxa uc bb xta uc b t222112211 2222221210ac ba uc bba uc bc yxxozzyossPu222112

22、211 2222221210ac ba uc bba uc bc 解此方程組，可得解此方程組，可得122211abuc12221ubcuc ,yy zz將將 的值代回的值代回、兩、兩式，并注意式，并注意 ，即，即得洛倫茲坐標變換式得洛倫茲坐標變換式112,a b byxxozzyossPu2() ()xxutyyzzuttxc 21221121222()()()uuuttttxtxxxccc S在在 系中同時不同地發生的兩事件，在系中同時不同地發生的兩事件，在S系中測量，兩事系中測量，兩事件的時間間隔件的時間間隔 ，由洛倫茲變換有，由洛倫茲變換有21ttt 因因 ，故在，故在S系中并不同時。只

23、有既同時又同地發生系中并不同時。只有既同時又同地發生的兩事件在另一慣性系中測量才是同時的，同時具有相對性。的兩事件在另一慣性系中測量才是同時的，同時具有相對性。210 xx例例1 S 系中兩事件同時發生在系中兩事件同時發生在x軸上相距軸上相距 m 的的兩點，在兩點，在 系中測得兩事件發生的地點相距系中測得兩事件發生的地點相距 m，求求 系中測得兩事件的時間間隔系中測得兩事件的時間間隔 。200012xx100012 xxSS12ttt例例1 S 系中兩事件同時發生在系中兩事件同時發生在x軸上相距軸上相距 m 的的兩點，在兩點，在 系中測得兩事件發生的地點相距系中測得兩事件發生的地點相距 m，求

24、求 系中測得兩事件的時間間隔系中測得兩事件的時間間隔 。200012xx100012 xxSS12ttt解：解：已知已知1212,m1000ttxxxm200012xxx12ttt求求)(122xxcu)()(12122212xcutxcutttt由洛倫茲變換由洛倫茲變換)()()(12112212xxutxutxxxx2211cu式中式中cu23由第二式可解得由第二式可解得代入第一式得代入第一式得s1077. 5612ttt負號表示負號表示 S 系中后方的那一事件先發生系中后方的那一事件先發生.210()ttt)()(212212xcutxcutttt 系中同地但不同時發生的兩事件，在系中同

25、地但不同時發生的兩事件，在S S系中測量此兩事系中測量此兩事件的時間間隔，件的時間間隔，由洛倫茲變換有由洛倫茲變換有S 每個觀察者都測得相對他運動著的時鐘變慢了，即動種每個觀察者都測得相對他運動著的時鐘變慢了，即動種變慢。變慢。210ttt 固有時。固有時。測量時大于固有時，運動的時鐘測量時大于固有時，運動的時鐘變慢了。變慢了。. 1684.3 104.550.999 3 10365 24 3600st 年v按地球上的時鐘計算，飛船飛到按地球上的時鐘計算，飛船飛到 星所需時間為星所需時間為解：解：: : 哪個時間為固有時？哪個時間為固有時？若用飛船上的鐘測量，飛船飛到若用飛船上的鐘測量，飛船飛

26、到 星所需時間為星所需時間為121 0.9994.550.203tt 年正是時間膨脹效應使得在人的有生之年進行星際航行成為可能。正是時間膨脹效應使得在人的有生之年進行星際航行成為可能。Sy1x2x1x2xuSxSxy一剛性棒靜止在一剛性棒靜止在 系的系的 軸上軸上SxS S系中的觀察者必須同時系中的觀察者必須同時 測得棒兩端點的坐標測得棒兩端點的坐標, ,設為設為 和和 ，則，則S S系測得棒的長度為系測得棒的長度為1x)(12tt 2x12xxl 系中的觀察者測得棒長為系中的觀察者測得棒長為S120 xxll 和和 的關系由洛倫茲變換得的關系由洛倫茲變換得0l)( ) (1122120utx

27、utxxxllxx) (1202200/1lculll即：即：即即 運動的棒沿運動方向收縮了。運動的棒沿運動方向收縮了。長度的測量與被測物體相對測量者的運動有關，每一長度的測量與被測物體相對測量者的運動有關，每一個觀察者都測得相對他運動的物體沿運動方向縮短了。個觀察者都測得相對他運動的物體沿運動方向縮短了。02200/1lculll即：即：靜系中靜系中 子的平均壽命為子的平均壽命為 = 2.2 10-6 s 。當它的速度為當它的速度為 u = 0.9966c 時時, 通過的平均距離可達通過的平均距離可達 8 km。試解釋這一現象。試解釋這一現象。經典計算經典計算m 660102 . 21036

28、8uL相對論計算相對論計算s 109 .269966. 01102 . 2162622cutm 108109 .26103368tuL22yxlllm79. 0cos1222culssxxu例例4 一長為一長為1m 的棒，相對于的棒，相對于S 系靜止并與系靜止并與 軸夾軸夾 = 45 問：在問：在S 系的觀察者來看，此棒的長度以及它與系的觀察者來看，此棒的長度以及它與 x 軸的夾角軸的夾角為多少？（已知為多少？（已知 ）23cu 21cossintan22cullllxy2763ssxxyxaaS 2aaaayx2222，例例5 S系中有一靜止的正方形，面積為系中有一靜止的正方形，面積為100cm2。 系以系以0.8c的速度沿正方形的對角線勻速運動，求的速度沿正方形的對角線勻速運動，求 系中觀察者測得系中觀察者測得的該圖形的面積。的該圖形的面積。SSxyoaaSu解：解：設設S S系中測得正方形的邊長系中測得正方形的邊長為為a，以對角線為，以對角線為x軸的正方軸的正方向（如圖）向（如圖）則邊長在坐標軸上投影的大小則邊長在坐標軸上投影的大小為：為：S系中的面積可表示為：系中的面積可表示為：在在 系中系中Sacuaaxx2222601.22cm)(606 . 02 aaaSyxacuaaxx2222601.aaayy22在在 系中測得的圖形為菱系中測得的圖形為菱形，其面積為：