試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁重慶市2025年初中學業水平暨高中招生考試數學試題（全卷共四個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2．作答前認真閱讀答題卡上的注意事項；3．作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成：4．考試結束，由監考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點坐標為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑．1．6的相反數是（

）A． B． C． D．62．下列圖案中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．下列調查中最適合采用全面調查（普查）的是（

）A．調查某種柑橘的甜度情況 B．調查某品牌新能源汽車的抗撞能力C．調查某市垃圾分類的情況 D．調查全班觀看電影《哪吒2》的情況4．如圖，點A，B，C在上，，的度數是（

）A． B． C． D．5．按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖中有4個圓點，第②個圖中有8個圓點，第③個圖中有12個圓點，第④個圖中有16個圓點……按照這一規律，則第⑥個圖中圓點的個數是（

）A．32 B．28 C．24 D．206．反比例函數的圖象一定經過的點是（

）A． B． C． D．7．下列四個數中，最大的是（

）A． B． C． D．8．某景區2022年接待游客25萬人，經過兩年加大旅游開發力度，該景區2024年接待游客達到36萬人，那么該景區這兩年接待游客的年平均增長率為（

）A． B． C． D．9．如圖，正方形的邊長為2，點E是邊的中點，連接，將沿直線翻折到正方形所在的平面內，得，延長交于點G．和的平分線相交于點H，連接，則的面積為（

）A． B． C． D．10．已知整式，其中為自然數，，，，…，為正整數，且．下列說法：①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式；②當時，滿足條件的所有整式M的和為；③滿足條件的所有二次三項式中，當x取任意實數時，其值一定為非負數的整式M共有3個．其中正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上．11．不透明袋子中有1個紅球、3個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，則摸出紅球的概率是．12．如圖，，直線分別與交于點E，F．若，則的度數是．13．若為正整數，且滿足，則．14．若實數x，y同時滿足，，則的值為．15．如圖，是的直徑，點C在上，連接．以為邊作菱形，交于點F，，垂足為G．連接，交于點H，連接．若，，則的長度為，的長度為．16．我們規定：一個四位數，若滿足，則稱這個四位數為“十全數”．例如：四位數1928，因為，所以1928是“十全數”．按照這個規定，最小的“十全數”是：一個“十全數”，將其千位數字與個位數字調換位置，百位數字與十位數字調換位置，得到一個新的數，記，．若與均是整數，則滿足條件的M的值是．三、解答題：（本大題2個小題，每小題8分，共16分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．17．求不等式組：的所有整數解．18．學習了角平分線和尺規作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發現了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進行交流．現在你作為她的同伴，請根據她的想法與思路，完成以下作圖和填空：第一步：構造角平分線．小紅在的邊上任取一點E，并過點E作了的垂線（如圖）．請你利用尺規作圖，在邊上截取，過點F作的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線即為的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．第二步：利用三角形全等證明她的猜想．證明：，，．在和中，，．③．平分．四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．19．學校開展了航天知識競賽活動，從七、八年級學生中各隨機抽取名學生的競賽成績（成績為百分制且為整數）進行整理、描述和分析（成績均不低于分，用表示，共分四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：七年級名學生競賽成績在組中的數據是：，，，，，，．八年級名學生競賽成績是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．七年級所抽取學生競賽成績扇形統計圖七、八年級所抽取學生競賽成績統計表年級七年級八年級平均數中位數眾數根據以上信息，解答下列問題：(1)上述圖表中__________，__________，__________；(2)根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生航天知識競賽的成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；(3)該校七年級有學生人，八年級有學生人，請估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于分的學生人數共是多少？20．先化簡，再求值：，其中．21．列方程解下列問題：某廠生產甲、乙兩種文創產品．每天生產甲種文創產品的數量比每天生產乙種文創產品的數量多50個，3天時間生產的甲種文創產品的數量比4天時間生產的乙種文創產品的數量多100個．(1)求該廠每天生產的甲、乙文創產品數量分別是多少個？(2)由于市場需求量增加，該廠對生產流程進行了改進．改進后，每天生產乙種文創產品的數量較改進前每天生產的數量增加同樣的數量，且每天生產甲種文創產品的數量較改進前每天增加的數量是乙種文創產品每天增加數量的2倍．若生產甲、乙兩種文創產品各1400個，乙比甲多用10天，求每天生產的乙種文創產品增加的數量．22．如圖，點為矩形的對角線AC的中點，，，，是上的點（，均不與，重合），且，連接，．用表示線段的長度，點與點的距離為．矩形的面積為，的面積為，的面積為，．(1)請直接寫出，分別關于的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍：(2)在給定的平面直角坐標系中畫出函數，的圖象，并分別寫出函數，的一條性質；(3)結合函數圖象，請直接寫出時的取值范圍（近似值保留小數點后一位，誤差不超過）．23．為加強森林防火，某林場采用人工瞭望與無人機巡視兩種方式監測森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內．A是瞭望臺，某一時刻，觀測到甲無人機位于A的正東方向10千米的B處，乙無人機位于A的南偏西方向20千米的D處．兩無人機同時飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（參考數據：，，，）(1)求的長度（結果保留小數點后一位）；(2)甲、乙兩無人機同時分別從B，D出發沿往C處進行巡視，乙無人機速度為甲無人機速度的2倍．當兩無人機相距20千米時，它們可以開始相互接收到信號．請問甲無人機飛離B處多少千米時，兩無人機可以開始相互接收到信號（結果保留小數點后一位）？24．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的表達式：(2)點P是射線下方拋物線上的一動點，連接與射線交于點Q，點D，E為拋物線對稱軸上的動點（點E在點D的下方），且，連接，．當取得最大值時，求點P的坐標及的最小值；(3)在（2）中取得最大值的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到拋物線，點M為點P的對應點，點N為拋物線上的一動點．若，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程．25．在中，，點D是邊上一點（不與端點重合），連接．將線段繞點A逆時針旋轉得到線段，連接．(1)如圖1，，，求的度數；(2)如圖2，，，過點作，交的延長線于，連接．點是的中點，點是的中點，連接，．用等式表示線段與的數量關系并證明：(3)如圖3，，，，連接，．點從點移動到點過程中，將繞點逆時針旋轉得線段，連接，作交的延長線于點．當取最小值時，在直線上取一點，連接，將沿所在直線翻折到所在的平面內，得，連接，，，當取最大值時，請直接寫出的面積．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】本題考查了相反數的概念，根據符號不同，絕對值相同的兩個數互為相反數即可求得答案．掌握只有符號不同的兩個數叫做互為相反數是解答此題的關鍵．【詳解】解：6的相反數是．故選：A．2．B【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，根據軸對稱圖形的定義解答即可．如果一個圖形沿著某一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．【詳解】解：在四個選項的圖形中，只有選項B的圖形能找到一條直線，使圖形沿這條直線對折后兩邊能完全重合，故選項B是軸對稱圖形，選項A、C、D不是軸對稱圖形．故選：B．3．D【分析】本題考查的是抽樣調查和全面調查的區別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查．根據普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似判斷即可．【詳解】解：A中，調查某種柑橘的甜度情況，全面調查工作量大，且具有破壞性，適合抽樣調查，故本選項不合題意；B中，調查某品牌新能源汽車的抗撞能力，具有破壞性，適合抽樣調查，故本選項不合題意；C中，了調查某市垃圾分類的情況，全面調查工作量大，適合抽樣調查，故本選項不合題意；D中，調查全班觀看電影《哪吒2》的情況，范圍較小，適于全面調查，故本選項符合題意．故選：D．4．B【分析】本題考查的是圓周角定理，根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即可求解，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．【詳解】解：根據圓周角定理，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，．故選：B．5．C【分析】本題屬于規律猜想題型的圖形變化類，第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有8個黑色圓點，第③個圖案中有12個黑色圓點，則可以總結出第n個圖形中黑色圓點的個數，代入計算即可．解題的關鍵是通過圖形的變化得出圖形中圓點個數的數字變化規律．【詳解】解：第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有8個黑色圓點，第③個圖案中有12個黑色圓點，第④個圖案中有16個黑色圓點，則第個圖案中有個黑色圓點，所以第⑥個圖中圓點的個數是個，故選：C．6．D【分析】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特征，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解題的關鍵，根據反比例函數圖象上點坐標特點進行判斷即可．【詳解】解：反比例函數的，點所在的反比例函數的，反比例函數的圖象一定經過的點是，故選：D．7．D【分析】此題考查了科學記數法的應用能力，運用科學記數法知識將各選項數字還原，再進行比較、求解．關鍵是能準確理解并運用以上知識．【詳解】解：，，，，，，∴四個數中，最大的是，故選：D．8．B【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設該景區這兩年接待游客的年平均增長率為x,利用該景區2024年接待游客人次數該景區2022年接待游客人次數該景區這兩年接待游客的年平均增長率，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】解：設年平均增長率為x，可得方程，解得或（舍去負值），所以該景區這兩年接待游客的年平均增長率為，故選：B9．A【分析】本題考查了正方形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，連接，證明，可得，設，則，根據勾股定理可得，再利用角平分線的性質得到點到的距離相等，利用面積之比即可解答，正確作出輔助線，利用勾股定理列方程解得是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，，四邊形是正方形，，，點E是邊的中點，,將沿直線翻折得，，,，，，，設，則，根據勾股定理可得,即，解得，，和的平分線相交于點H，點到的距離相等，，故選：A．10．C【分析】本題綜合考查了整式與配方法，根據題意逐項分析，對進行分類討論，即可求解，理解題意，分類討論，找出規律是解題的關鍵．【詳解】解：當時，，當，時，整式M為，當時，整式M不可能為單項式，當時，，，…，為正整數，整式M不可能為單項式，故滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式，①正確；當時，，當時，，則中有一個可能為，故會有三種情況，對應的整式M為，，，當時，，則故會有一種情況，對應的整式M為，當時，，與，，…，為正整數矛盾，故不存在，滿足條件的所有整式M的和為，故②錯誤；多項式為二次三項式，，，因為多項式為三項式，故，當時，，則有兩種，，，兩種都滿足條件，當時，，則有一種，，滿足條件，當時，，與，，…，為正整數矛盾，故不存在，所以其值一定為非負數的整式M共有3個，故③正確，其中正確的個數是個，故選：C．11．【分析】本題考查求概率，概率的計算公式是，其中表示事件A發生的概率，m表示事件A發生的結果數，n表示所有可能的結果數．根據概率公式進行計算即可．【詳解】解：袋子里一共有個球，紅球有1個．∴摸出紅球的概率．故答案為：．12．【分析】本題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，同位角相等即可解答，熟知平行線的性質是解題的關鍵．【詳解】解：，，故答案為：．13．【分析】本題考查無理數的估算，熟練掌握無理數的估算方法是解題的關鍵．先估算的取值范圍，得出，又因為n為正整數，且滿足，即可得出．【詳解】解：∵，∴，∴，∵為正整數，且滿足，∴，故答案為：．14．【分析】本題考查絕對值的非負性，解一元一次方程，負整數指數冪，根據絕對值的非負性，得到，，進而得到，進而得到關于的一元一次方程，求出的值，進而求出的值，再根據負整數指數冪的法則，進行計算即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，當時，方程無解，當時，，∴，∴，∴；故答案為：．15．3【分析】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、菱形的性質、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線、運用解直角三角形解決問題成為解題的關鍵．由垂徑定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性質可得，進而得到、、；如圖：連接，由圓周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性質以及平行線的性質可得，如圖：過H作于F，解直角三角形可得、，易得，最后運用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，即，∴，∵菱形，∴，∴，；∴如圖：連接，∵是的直徑，∴，∴，即，解得：；，即，解得：；∵菱形，∴，∴，如圖：過H作于F，∴，∴，∴，∴，，∴，∴故答案為：3，．16．【分析】此題考查了整式的加減的應用，根據要求最小的“十全數”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全數”是；根據題意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根據題意得到與均是整數，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，進而求解即可．【詳解】解：設四位數∵要求最小的“十全數”，∴，∴，∴最小的“十全數”是；∵一個“十全數”，∴∴，∴∴∴∴∴∴∵與均是整數∴與均是整數∴能被13整除，能被17整除∵，∴，∴∴的值可以為13，26，39，52，65∴依次代入可得，當，時，，均是整數，符合題意∴，∴滿足條件的M的值是．故答案為：，．17．，，【分析】本題考查解不等式組及不等式組的整數解，熟練掌握解不等式組的步驟是解題的關鍵．利用解不等式組的步驟求解，再得出其整數解即可．【詳解】解：，解不等式①，得：；解不等式②，得：；∴不等式組的解集為．所以該不等式組的所有整數解是，，．18．第一步：作圖見解析；第二步：①；②；③【分析】本題考查了作圖-復雜作圖，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．第一步：根據題意作出圖形即可；第二步：利用證明，得出即可解答．【詳解】解：第一步：作圖如下：；第二步：證明：，，．在和中，，．,平分．19．(1)，，(2)七年級成績較好，理由見解析（答案不唯一）(3)人【分析】本題主要考查扇形統計圖，中位數、眾數、平均數，樣本估計總體，熟練掌握扇形統計圖及中位數、眾數、平均數是解題的關鍵．（1）利用扇形統計圖即可求出組和組的人數，再利用中位數定義和組數據即可求出，再利用眾數定義即可求出，最后利用扇形和組人數即可求出；（2）根據平均分、中位數及眾數分析即可得出結果；（3）利用樣本估計總體進行求解即可．【詳解】（1）解：七年級名學生競賽成績在組中的數據有（人），在組中的數據有（人），∵七年級競賽成績的中位數是數據從小到排列后的第和個數據，且數據從小到排列后的第和個數據是，，∴，∵八年級名學生競賽成績中出現次數最多的是，∴，∵七年級名學生競賽成績在組中的數據共個，∴，∴，故答案為：，，；（2）解：該校七年級學生航天知識競賽的成績較好，理由：因為該校七、八年級學生航天知識競賽的成績的平均數相同都是，但七年級競賽的成績的中位數大于八年級競賽的成績的中位數，所以該校七年級學生航天知識競賽的成績較好；或該校八年級學生航天知識競賽的成績較好，理由：因為該校七、八年級學生航天知識競賽的成績的平均數相同都是，但八年級競賽的成績的眾數大于七年級競賽的成績的眾數，所以該校八年級學生航天知識競賽的成績較好；（3）解：（人），即估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于分的學生人數共是人．20．，【分析】本題考查分式的化簡求值，零指數冪，根據多項式乘以多項式，單項式乘以多項式，分式的混合運算法則，進行化簡，根據絕對值的意義，零指數冪求出的值，再把的值代入化簡后的式子中進行計算即可．【詳解】解：原式；∵，∴原式．21．(1)該廠每天生產的甲文創產品數量為個，乙文創產品數量是個(2)每天乙文創產品增加的數量是個【分析】本題考查一元一次方程和分式方程的應用，正確理解題意，根據等量關系列方程是解題的關鍵．（1）設該廠每天生產的乙文創產品數量是x個，根據題意列一元一次方程解答即可；（2）設該廠每天乙文創產品增加的數量是個，根據“生產甲、乙兩種文創產品各1400個，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可．【詳解】（1）解：設該廠每天生產的乙文創產品數量是x個，則甲文創產品數量為個．，解得：，則甲文創產品數量為個，答：該廠每天生產的乙文創產品數量是個，則甲文創產品數量為個．（2）解：設每天乙文創產品增加的數量是個，則甲文創產品增加的數量是個．，解得：，經檢驗：是原方程的解，答：每天乙文創產品增加的數量是個．22．(1)，(2)作圖見解析，性質：當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大（不唯一）；當時，隨的增大而減小(3)（或或或或）【分析】本題考查函數解析式，一次函數的圖象與性質，反比例函數的圖象與性質，反比例函數與不等式，勾股定理，矩形的性質，熟練掌握相關性質，并能正確分段列出動點問題的相關線段是解題的關鍵．（1）利用矩形性質和勾股定理得出，，分兩部分：①當時；②當時，分別列出；過點作于點，利用等面積法求出，即可表示出的面積為，同理可得的面積為，再結合矩形的面積為與，即可列出；（2）根據函數解析式畫圖即可，再根據函數圖象寫出性質；（3）根據圖象寫出的圖象在下方時對應的自變量的取值范圍即可【詳解】（1）解：∵為矩形的對角線AC的中點，，，∴，，∴，當時，，如圖，∴；當時，，如圖，∴；∴；如圖，過點作于點，∵，∴，∴的面積為，同理可得的面積為，又∵矩形的面積為，∴，∴；（2）解：作圖如下：性質：當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大（不唯一）；當時，隨的增大而減小；（3）解：結合函數圖象，可得時的取值范圍為（或<或或或）．23．(1)千米(2)千米【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵。（1）過點A作于E，過點B作于F，由題意得，，解得到千米，千米，證明四邊形是矩形，得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的長；（2）當甲無人機運動到M，乙無人機運動到N時，此時滿足千米．過點M作于T，由題意得，，解得到千米，千米，則千米，設千米，則千米，千米，解得到千米，千米，則千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案?！驹斀狻浚?）解：如圖所示，過點A作于E，過點B作于F，∴，由題意得，，在中，千米，千米，∵無人機位于A的正東方向10千米的B處，D位于C的正西方向上，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴千米，千米，∴千米，∴千米，答：的長度約為千米；（2）解：如圖所示，當甲無人機運動到M，乙無人機運動到N時，此時滿足千米．過點M作于T，由題意得，，在中，千米，千米，∴千米，設千米，則千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，由勾股定理得，∴，∴或（此時大于的長，舍去），∴千米，答：甲無人機飛離B處千米時，兩無人機可以開始相互接收到信號．24．(1)(2)點P的坐標為，的最小值為(3)點N的坐標為或【分析】（1）利用待定系數法求二次函數的解析式；（2）先求出直線的解析式，然后設點P的坐標為，過點P作軸交于點F，交x軸于點H，點F的坐標為，求出長，再證明，根據對應邊成比例求出的最小值，把點P向上平移個單位長度得到點，點的坐標為，連接，即可得到，連接，則，是最小值，利用勾股定理計算解題；（3）根據平移得到拋物線的解析式，然后過點P作軸于點Q，過點N作軸于點K，連接，即可得到，設點N的坐標為，根據列等式求出a的值即可解題．【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，把代入得，解得，∴；（2）解：令，則，∴點C的坐標為，設直線的解析式為，把和代入得：，解得，∴，設點P的坐標為，過點P作軸交于點F，交x軸于點H，則點F的坐標為，∴，∵軸，∴，，∴，∴，∴當時，取得最大值為，這時點P的坐標為，把點P向上平移個單位長度得到點，點的坐標為，連接，則四邊形是平行四邊形，∴，即，由A，B關于對稱性可得點A的坐標為，連接，則的最小值為長，即，即的最小值為；（3）解：∵，∴，∴將拋物線沿射線方向平移個單位長度即為向左平移兩個單位長度，向下平移兩個單位長度得到拋物線，即，過點P作軸于點Q，過點N作軸于點K，連接，設點N的坐標為，由平移得，∴，如圖所示，∵，即，解得（舍去）或，這時點N的坐