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文檔簡介
1、1.1 概述概述1.2 數制與轉換數制與轉換1. 十進制十進制2. 二進制二進制3. 八進制和十六進制八進制和十六進制1.2.2 數制轉換數制轉換1.2.1 數制數制1. 將將R進制數轉換為十進制進制數轉換為十進制將將R進制數按權展開求和進制數按權展開求和第第1章章 數制與編碼數制與編碼2. 將將十進制數轉換為十進制數轉換為R進制數進制數十進制數轉換為二進制數,需要將十十進制數轉換為二進制數,需要將十進制數的整數部分和小數部分分別進行轉進制數的整數部分和小數部分分別進行轉換,對于整數部分可以用換,對于整數部分可以用基數除法基數除法,對于,對于小數部分可以用小數部分可以用基數乘法基數乘法。以二進
2、制數為例以二進制數為例十進制數轉換為八進制數?十進制數轉換為八進制數? 基數為基數為8十進制數轉換為十六進制數?基數為十進制數轉換為十六進制數?基數為163.二進制和八進制、十六進制數之間的轉換二進制和八進制、十六進制數之間的轉換1.3 常用常用BCD代碼(代碼(Binary Coded Decimal)1.4 算術運算算術運算8421碼碼5421碼碼余余3碼碼2421碼碼 二進制算術運算與十進制算術運二進制算術運算與十進制算術運算的規則基本相同,但二進制運算是算的規則基本相同,但二進制運算是“逢二進一逢二進一”和和“借一當二借一當二”。 (23)10 =(0010 0011)8421BCD
3、在數字系統中,二進制數的正負在數字系統中,二進制數的正負數有數有原碼、反碼原碼、反碼和和補碼補碼三種表示法。三種表示法。負數的反碼可由原碼的負數的反碼可由原碼的數值位數值位逐位求反得到。逐位求反得到。負數反碼表示(負數反碼表示(9)10 = 1 0110反反負數的補碼可由負數的補碼可由反碼加反碼加1得到。得到。負數補碼表示負數補碼表示(9)10 = 1 0111補補對正數而言三種表示法都是一樣的對正數而言三種表示法都是一樣的 負數原碼表示負數原碼表示(9)10 = 1 1001原原(9)10 = 0 1001第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 5第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯
4、代數與函數化簡(Logic Algebra and Function Simplification ) 2.1 概述概述 2.2 邏輯運算邏輯運算 2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法 2.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則 2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式 2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 6邏輯代數邏輯代數 Logic Algebra 布爾代數布爾代數 Boolean Algebra 開關代數開關代數 Switching Algebra 邏輯代數是研究只用最簡單的邏輯代數是研究只用最簡單的0和和1
5、實現實現所有計算和操作而構成十分復雜的數字系統所有計算和操作而構成十分復雜的數字系統(計算機)的數學,是進入數字世界所必須(計算機)的數學,是進入數字世界所必須掌握的基本數學工具。掌握的基本數學工具。 0 、1:兩種對立狀態:兩種對立狀態,沒有數值概念。沒有數值概念。2.1 概述概述2.1 概述概述第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 72.2 邏輯運算邏輯運算三種基本的邏輯運算:三種基本的邏輯運算:與與運算(運算(AND) 或或運算(運算(OR)非非運算(運算(NOT) 邏輯門電路是數字電路中最基本的邏輯元件。邏輯門電路是數字電路中最基本的邏輯元件。 所謂門就是一種開關,它能按照
6、一定的條件所謂門就是一種開關,它能按照一定的條件去控制信號的通過或不通過。去控制信號的通過或不通過。 門電路的輸入和輸出之間存在一定的邏輯關門電路的輸入和輸出之間存在一定的邏輯關系系( (因果關系因果關系) ),所以門電路又稱為,所以門電路又稱為邏輯門電路邏輯門電路。2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 81.“與與”邏輯邏輯 (AND) 只有當決定某一只有當決定某一事件的條件全部具備事件的條件全部具備時,事件才發生。時,事件才發生。與邏輯狀態表與邏輯狀態表開關開關A 開關開關B燈燈F 斷開斷開 斷開斷開 斷開斷開 接通接通 接通接通 斷開斷開 接通接通 接
7、通接通燈滅燈滅燈滅燈滅燈滅燈滅燈亮燈亮斷開:斷開:0接通:接通:1燈亮:燈亮:1燈滅:燈滅:0A BF0 00 11 01 10 0012.2.1 邏輯代數的三種基本運算邏輯代數的三種基本運算220V+-BFA2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 9與邏輯真值表與邏輯真值表(Truth Table) A BF0 00 11 01 10 001AAAAAAA10F=AB =A B邏輯乘邏輯乘(與與)與邏輯功能概括:與邏輯功能概括:全全1出出10000AAA12.2 邏輯運算邏輯運算11011000第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 10與門(AN
8、D GATE)邏輯符號 &ABCFF=ABC&ABCFF=ABCDD&ABF國際標準符號國際標準符號歐美流行符號歐美流行符號FAB2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 11FBA&ABF2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 122.“或或”邏輯邏輯(OR) 在決定事物結果的諸在決定事物結果的諸條件中,只要有任何一個條件中,只要有任何一個滿足,事件就會發生。滿足,事件就會發生。 燈滅燈滅燈亮燈亮燈亮燈亮燈亮燈亮 斷開斷開 斷斷開開 斷開斷開 接接通通 接通接通 斷斷開開 接通接通 接接通通FA
9、 B 或邏輯狀態表或邏輯狀態表或邏輯真值表或邏輯真值表0 1110 00 11 01 1FA BBF220VA+-2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 13或邏輯真值表或邏輯真值表0 1110 00 11 01 1FA BF=A+B 邏輯加邏輯加11011000AAAAAAA10或邏輯功能概括:或邏輯功能概括:全全0出出0011A1A1A2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 14或門的邏輯符號或門的邏輯符號 A BF(b) 歐美流行符號歐美流行符號1ABF(a ) 國際標準符號國際標準符號2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章
10、 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 151BAF應用舉例應用舉例=01BAF=12.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 163.“非非”邏輯邏輯(NOT)只要某一條件只要某一條件A具備時具備時 ,事件,事件F不發不發生;生;A不具備時,事不具備時,事件件F發生。發生。 非邏輯狀態表非邏輯狀態表燈亮燈亮燈滅燈滅斷開斷開接通接通FA非邏輯真值表非邏輯真值表1001FAF220VA+-R2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 1710AAAAA10A10非邏輯真值表非邏輯真值表1001FA非門邏輯符號非門邏輯符號 (a)國標標準
11、符號國標標準符號FA1 AF(b)歐美流行符號歐美流行符號AF 2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 18 “與與”、“或或”、“非非”是三種是三種基本的邏輯關系,任何其它的邏輯關基本的邏輯關系,任何其它的邏輯關系都可以以它們為基礎表示。系都可以以它們為基礎表示。最常見的復合邏輯運算有:最常見的復合邏輯運算有:與非運算、與非運算、或非運算、或非運算、 與或非運算、與或非運算、異或運算、異或運算、 同或運算。同或運算。2.2.2 常用復合邏輯運算常用復合邏輯運算2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 191. 與非運算與非運算
12、(NAND) ABF 與非門邏輯符號與非門邏輯符號 與非邏輯真值表與非邏輯真值表A BF0 00 11 01 1“全全1出出0”國際標準符號國際標準符號&ABF1110歐美流行符號ABF2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 20與非邏輯真值表與非邏輯真值表A BF0 00 11 01 11110&AF非門非門2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 21與非邏輯真值表與非邏輯真值表A BF0 00 11 01 11110非門非門&AF12.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數
13、化簡 22&ABFC&ABFDC輸入:8、12、132.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 232. 或非運算或非運算 (NOR) 或非邏輯真值表或非邏輯真值表或非門邏輯符號或非門邏輯符號 A BF0 00 11 01 11000BAFABF 1ABF “全全0出出1”2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 24A BF0 00 11 01 11000或非邏輯真值表或非邏輯真值表 1AF 非門非門2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 25A BF0 00 11 01 1100
14、0或非邏輯真值表或非邏輯真值表非門 1AF 0輸入端數目:輸入端數目:3、42.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 263. 與或非運算與或非運算CDABF & 1F ABCD ABFCD與或門非邏輯符號與或門非邏輯符號 2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 27與或非邏輯真值表與或非邏輯真值表A B C DF0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 111101110A B C D F1 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1
15、0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1111000002.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 284. 異或運算異或運算 (EXCLUSIVE-OR)異或門邏輯符號異或門邏輯符號 BABABAF2.2 邏輯運算邏輯運算=1ABFFAB) )第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 29異或邏輯真值表異或邏輯真值表A BF0 00 11 01 111011000AAAAAA10BABABAF00110AA10兩變量兩變量異或功能概括為:異或功能概括為:“相同為相同為0,不同為,不同為1”1102.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化
16、簡邏輯代數與函數化簡 305. 同或運算同或運算 F=A B 同或門邏輯符號同或門邏輯符號 BABA偶數個1“相異或”,結果為?奇數個1“相異或”,結果為?思考:012.2 邏輯運算邏輯運算=1ABFAB )第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 31A 0=AA 1=AA A=0A A=1同或邏輯真值表同或邏輯真值表A BF0 00 11 01 110010 0=10 1=01 0=01 1=1F=A B BABAAA01兩變量兩變量同或功能概括為:同或功能概括為:“相同為相同為1,不同為,不同為0”2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 32相同
17、為相同為“0”不同為不同為“1”異或門異或門異或關系異或關系=1ABFBABAF=A B相同為相同為“1”不同為不同為“0”同或門同或門同或關系同或關系F=ABAB=AB=1ABF2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 33對于對于兩個變量兩個變量來說,異或和同或來說,異或和同或互為互為反函數反函數因此因此 A B C = A B C+? A B C = A B C+BA A B BAA B2.2 邏輯運算邏輯運算第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 342.2 邏輯運算邏輯運算與、或、非與、或、非與非、或非、與或非與非、或非、與或非 異或、同或異
18、或、同或邏輯真值表邏輯真值表邏輯符號邏輯符號 邏輯表達式邏輯表達式基本邏輯運算規則基本邏輯運算規則第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 352.3.1 邏輯函數邏輯函數(Logic Functions)普通普通代數中的函數:代數中的函數:Y=AB+C自變量自變量因變量因變量邏輯邏輯代數中的函數:代數中的函數:Y=AB+C輸入變量輸入變量輸出變量輸出變量2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 361.輸入和輸出之間是輸入和輸出之間是邏輯運算邏輯運算關系關系;2.基本運算:基本運算
19、:與、或、非與、或、非;3.邏輯變量取值只能為邏輯變量取值只能為0和和1。邏輯函數的特點:邏輯函數的特點:2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 37例如:設計一個三人表決電路,若有兩個或者兩個以上的例如:設計一個三人表決電路,若有兩個或者兩個以上的人同意人同意,則決議通過。則決議通過。用用A、B、C表示三人,表示三人,“1”:同意;:同意;“0”:“否決否決”;F:最終結果最終結果 “1”:決議通過;:決議通過;“0”:決議不通過:決議不通過邏輯表達式:邏輯表達式: 由以上分析可見,表示由以上分析可見,表示邏輯關系的函數稱為邏輯邏輯關
20、系的函數稱為邏輯函數。邏輯函數一般表示函數。邏輯函數一般表示為:為:F=f(A,B,C.)00010111AFBC0 0 00 0 10 1 0 0 1 11 0 01 0 11 1 01 1 12.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法ABCCABCBABCAF第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 38根據邏輯函數表達式畫出邏輯電路圖:根據邏輯函數表達式畫出邏輯電路圖: &1FABCABCAB CABCABCABCABCABC2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法ABCCABCBABCAF第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 392.3.2 邏
21、輯函數的表示方法邏輯函數的表示方法1. 真值表真值表 由于每個邏輯變量由于每個邏輯變量只有只有0和和1兩種可能的取兩種可能的取值,因此,值,因此,n個邏輯變個邏輯變量只能有量只能有2n種取值組合。種取值組合。 邏輯函數描述的方法有:邏輯函數描述的方法有:真值表真值表邏輯表達式邏輯表達式邏輯電路圖邏輯電路圖卡諾圖卡諾圖時序波形圖時序波形圖2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 40AF一變量真值表一變量真值表FA B C三變量真值表三變量真值表FA B二變量真值表二變量真值表0 11 00 0 00 1 11 0 11 1 00 0 0
22、00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 12.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 412. 邏輯表達式邏輯表達式 把輸出與輸入之間的邏輯關系寫成把輸出與輸入之間的邏輯關系寫成與、或、非與、或、非等運算的組合式,即邏輯代數式。等運算的組合式,即邏輯代數式。BABABAfF),(3. 邏輯電路圖邏輯電路圖 邏輯電路圖就是用邏邏輯電路圖就是用邏輯符號表示邏輯函數中各輯符號表示邏輯函數中各變量之間的變量之間的與、或、非與、或、非運運算的邏輯電路。算的邏輯電路。 11FAB&2.3
23、 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 424. 時序波形圖時序波形圖ABF&ABF 定義 :由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對應的輸出函數值的高、低電平所構成的圖形。2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 431. 1. 由邏輯表達式列出真值表由邏輯表達式列出真值表0 00 1 1 01 1ABF01102.2.3.3 3.3 邏輯函數各種表示方法間的相互轉換邏輯函數各種表示方法間的相互轉換 首先首先將將n個變量的個變量的2n種種0、1狀態組合按二進制數填寫到狀態
24、組合按二進制數填寫到真值表的左邊一欄;真值表的左邊一欄;然后然后將每一行的變量值代將每一行的變量值代入邏輯表達式,算出輸出邏入邏輯表達式,算出輸出邏輯值,記入右邊一欄中。輯值,記入右邊一欄中。2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法BABAF第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 44FA B C三變量真值表三變量真值表2.由真值表寫出邏輯表達式由真值表寫出邏輯表達式 (1) 在真值表上找出輸出為在真值表上找出輸出為1的行;的行;(2) 將這一行中所有自變量寫成將這一行中所有自變量寫成乘積項,并且當變量的真值為乘積項,并且當變量的真值為“1”時寫為原變量,時寫為原變量, 當變
25、量對當變量對應的真值為應的真值為 “0”寫為反變量;寫為反變量; (3) 將所有乘積項邏輯加,便將所有乘積項邏輯加,便得到邏輯函數表達式。得到邏輯函數表達式。 ABCCBACBACBAF 0 1 0 0 1 10 1 0 1 0 1 0 0 1 10 0 0 01 1 1 10 1 1 01 0 0 12.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 45A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 110010110F=?CABCBABCACBAF 2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法第第
26、2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 463. 由邏輯電路圖寫出邏輯表達式由邏輯電路圖寫出邏輯表達式11FABABAABABB=AAB+總結步驟:總結步驟:逐級寫出邏輯表達式逐級寫出邏輯表達式;最后寫出輸出端的邏最后寫出輸出端的邏輯表達式。輯表達式。ABB&AB2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 47P=ABC+BC1ABCBCABCBCF=ABC ABC ABC4.4.由邏輯表達式畫出邏輯電路圖由邏輯表達式畫出邏輯電路圖&A B CA B CA B C&PF2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表
27、示方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 480 0 00 0 10 1 0 0 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100011001FAPBCP=ABC+BC2.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法F=ABC ABC ABC00011001第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 491.1.1= 1= ; 0 = 0 = 2.2.1 1 . .1 = 1 = ;0+0 =0+0 =3.3.1 1 . .0 = 0 = ;1+0 =1+0 =4.4.0 0 . .0 = 0 = ;1+1 =1+1 =0 01 11 11 11 10 00 00 02.
28、4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則2.2.4.1 4.1 邏輯函數的相等邏輯函數的相等真值表相同真值表相同2.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 501. 交換律:交換律:A.B= ; A+B=2. 結合律:結合律:A .(B . C)= ; A+(B+C)=3. 分配律:分配律:A .(B+C)= ; A+(B.C)=4. 01律:律:1 . A= ; 0+A= ; 0 . A= ; 1+A=5. 互補律:互補律:A . A= ; A+A= 6. 重疊律:重疊律:A . A= ; A+A=B .AB+A(A.B).C(A+B)+CA
29、.B+A.C(A+B)(A+C)AA0101AA2.4.2 邏輯代數的基本定律邏輯代數的基本定律7. 還原律還原律: A =A2.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 518 . 反演律(摩根定理):反演律(摩根定理):2.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則110011111100列狀態表證明:列狀態表證明:AB00011011111001000000BABA BABA ABABBABABA第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 522.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則9. 吸收律吸收律:(1)(1)ABAAAABA)
30、( (2)(2)ABABAABAAB)( (3)(3)ABBAABABAA)( BABAABAABABAABAAABA)(A+BC=(A+B)(A+C)BABAAABAA)(證明:運用分配律證明:運用分配律證明:證明:第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 53BCCAABBCACAABCAB)1)1BCACAB(CAAB)(AABCCAAB10. 冗余定理:冗余定理:2.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則BCCAABCAAB )()()(CABACBCABA第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 54推論:推論:問題:問題:AB+AB+AB=A+B+AB 可不可以消
31、去可不可以消去AB 項?項?BABA A+B2.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則CAABBCCAABCAABcbaBCfCAAB.),(在邏輯代數中,不存在除法、減法、移項運算。第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 551 1. .代入規則代入規則 代入規則指出,將邏輯等式中的某代入規則指出,將邏輯等式中的某一變量代以另一函數其等式仍然成立。一變量代以另一函數其等式仍然成立。例例: A+B=A BB=C+D A+ C+D = A C D2.4.3邏輯代數的基本規則邏輯代數的基本規則A B=A +BA + C+D= A C+D 2.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則CB
32、AABC= A C D 第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 562. 對偶規則(對偶規則(求對偶函數求對偶函數)將函數中的將函數中的與與變成變成或或,或或變成變成與與;0變成變成 1, 1變成變成0 這樣則得到原函數的這樣則得到原函數的對偶函數對偶函數F 。注意事項:注意事項:(1)、求對偶函數時,原來的運算順序不變、求對偶函數時,原來的運算順序不變;(2)、長非號、短非號都不變、長非號、短非號都不變 ; (3)、(F ) =F。A+AB= A+BA(A+B)=AB若若F=AB+AB+CF =( A+B )(A+B)C2.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則第第2章章 邏輯代
33、數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 573. 反演規則反演規則(求反函數求反函數)將函數中的將函數中的與與變成變成或或,或或變成變成與與;0變成變成1,1變成變成0 原變量變成反變量,原變量變成反變量, 反變量變成原變量反變量變成原變量這樣則得到原函數的這樣則得到原函數的反函數反函數若若F=AB+AB+CF=F =(A+B )(A+B)CF=(A+B)(A+B)C2.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 58注意事項:注意事項:(1)求反函數時,原來的運算順序不變;求反函數時,原來的運算順序不變;(2)多個變量上面的長非號沒有改變,但多個變量上面
34、的長非號沒有改變,但長非號下面的每個變量都改變了。長非號下面的每個變量都改變了。例如:例如:F=(A+B. C.D) E F= A.(B+C+D)+E F= A . ( B+ C+D)+E2.4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 59作業作業2.32.6 (1)(2)2.7 (1)(3)第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 602.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法2.3.1 邏輯函數邏輯函數2.3.2 邏輯函數的表示方法邏輯函數的表示方法2.2.3.3 3.3 邏輯函數各種表示方法間的相互轉換邏輯函數各種表示方法間的相
35、互轉換 邏輯函數的表示方法有:邏輯函數的表示方法有: 真值表、邏真值表、邏輯表達式、邏輯電路圖、波形圖、卡諾圖。輯表達式、邏輯電路圖、波形圖、卡諾圖。1.1.由邏輯表達式列出真值表由邏輯表達式列出真值表首先首先將將n個變量的個變量的2n種種0、1狀態組合按二進制狀態組合按二進制數填寫到真值表的左邊一欄(數填寫到真值表的左邊一欄(按順序寫按順序寫););然后然后將每一行的變量值代入邏輯表達式,算出將每一行的變量值代入邏輯表達式,算出輸出邏輯值,記入右邊一欄中。輸出邏輯值,記入右邊一欄中。第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 61(1) 在真值表上找出在真值表上找出輸出為輸出為1的行的
36、行;(2) 將這一行中所有自變量寫成將這一行中所有自變量寫成乘積項乘積項,并,并且當變量的真值為且當變量的真值為“1”時寫為原變量,時寫為原變量, 當變量對應的真值為當變量對應的真值為 “0”寫為反變量;寫為反變量;(3) 將所有將所有乘積項邏輯加乘積項邏輯加,便得到邏輯,便得到邏輯函數表達式。函數表達式。 2.由真值表寫出邏輯表達式由真值表寫出邏輯表達式 第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 62總結步驟:總結步驟:逐級寫出邏輯函數表達式逐級寫出邏輯函數表達式最后寫出輸出端的邏輯函數表達式最后寫出輸出端的邏輯函數表達式5.5.時序波形圖時序波形圖真值表真值表3. 由邏輯電路圖寫出
37、邏輯表達式由邏輯電路圖寫出邏輯表達式4.4.由邏輯表達式畫出邏輯電路圖由邏輯表達式畫出邏輯電路圖第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 632.2.4 4 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則2.2.4.1 4.1 邏輯代數相等邏輯代數相等2.2.4.2 4.2 邏輯代數的基本定律邏輯代數的基本定律2.2.4.3 4.3 邏輯代數的三個規則邏輯代數的三個規則交換律、結合律、分配律、交換律、結合律、分配律、互補律、重疊律、還原律、互補律、重疊律、還原律、反演律、吸收律、冗余律反演律、吸收律、冗余律第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 642. 對偶規則對偶規則(求偶函數規則
38、)(求偶函數規則)3. 反演規則反演規則(求反函數規則)(求反函數規則)將函數中的將函數中的與與變成變成 或或 , 或或變成變成與與 ;0變成變成 1, 1變成變成0 這樣則得到原函數的這樣則得到原函數的對偶函數對偶函數F。將函數中的將函數中的與與變成變成或或,或或變成變成與與;0變成變成1,1變成變成0 原變量變成反變量,反變量變成原變量原變量變成反變量,反變量變成原變量 代入規則指出,將邏輯等式中的某一變代入規則指出,將邏輯等式中的某一變量代以另一函數其等式仍然成立。量代以另一函數其等式仍然成立。1 1. .代入規則代入規則這樣則得到原函數的這樣則得到原函數的反函數反函數F。第第2章章 邏
39、輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 652.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式 與或式與或式 或非式或非式2.5.1邏輯函數表達式的常用形式邏輯函數表達式的常用形式1. 常用的邏輯函數表達形式常用的邏輯函數表達形式(2) F=(A+B)(A+C)(1) F=AC+AB(3) F=AC AB(4) F=A+B + A+C(5) F=AB+AC或與式或與式 與非式與非式與或非式與或非式2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 661)1)與或式與或式轉換成轉換成或與式或與式F=AC+AB分配律分配律: := (AC+A) (AC+
40、B)分配律分配律: :冗余定理冗余定理:=(A+C)(A+B)A+BC=(A+B)(A+C)=(A+C)(A+B)(B+C)2. 常用表達形式間的轉換常用表達形式間的轉換=(A+A)(A+C) (B+A) (B+ C)2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 672)2)與或式與或式轉換成轉換成與非式與非式還原律還原律: :=AC+AB摩根定理摩根定理: :=AC . ABA+B=A BF=AC+AB2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 683)3)與或式與或式轉換成轉換成或非式
41、或非式首先首先,應將原式轉換為應將原式轉換為或與式或與式還原律還原律: :摩根定理摩根定理: := A+C +A+BA B=A +BF=AC+AB分配律分配律: := (AC+A ) (AC+ B)分配律分配律: :冗余定理冗余定理:=(A+C )(A+B)=(A+A)(A+C ) (B+A) (B+ C)=(A+C )(A+B)(B+C)=(A+C )(A+B)2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 694)4)與或式與或式轉換成轉換成與或非式與或非式首先首先, ,應寫出應寫出或非或非表達式表達式F=AC+AB還原律還原律: :摩根定
42、理摩根定理: := A+C +A+B分配律分配律: := (AC+A) (AC+ B)分配律分配律: :冗余定理冗余定理:=(A+C)(A+B)=(A+A)(A+C) (B+A) (B+ C)=(A+C)(A+B)(B+C)=(A+C)(A+B)= AC+A B2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 702.5.2 邏輯表達式的標準形式邏輯表達式的標準形式 1. 最小項標準表達式最小項標準表達式 (1)最小項定義及性質最小項定義及性質 在一個邏輯函數中,包含全部變量的乘在一個邏輯函數中,包含全部變量的乘積項稱為積項稱為最小項最小項( 。
43、乘積項中的變。乘積項中的變量只能以原變量或反變量的形式出現一次。量只能以原變量或反變量的形式出現一次。對于對于1個變量個變量A來說:來說:A、A對于對于2個變量個變量AB來說:來說:A B ABABA B2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 71 由于一個變量只有兩種形式,所以,由于一個變量只有兩種形式,所以, n個變量的邏輯函數共有個變量的邏輯函數共有2n個最小項。個最小項。 對于對于3個變量個變量ABC來說:來說:A B CA B CACBACBBACBACBACBAC 將最小項中的原變量記為將最小項中的原變量記為1,反變量記,反
44、變量記為為0,0和和1便按順序排列為一個二進制數。便按順序排列為一個二進制數。2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 72三變量最小項編號方法三變量最小項編號方法2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式01234567A B CA B CA B CA B CA B CA B CA B CA B C序號序號 A B C 最小項二進制代碼最小項二進制代碼 代號代號mi00001111m0m1m2m3m4m5m6m70011001101010101第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 73m0 m1 m2 m3 m4 m5
45、 m6 m7ABCABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC0000010100111001011101111001000000000000001000000001000000001000000001000000001000000001三變量最小項的真值表三變量最小項的真值表ABC性質性質1 每一個最小項唯一地與變量的一組取值相每一個最小項唯一地與變量的一組取值相對應,且只有該組取值才使其為對應,且只有該組取值才使其為1。 2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 74性質性質2 所有最小項的邏輯和為所有最小項的邏輯和為1;1
46、im2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ABCABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC0000010100111001011101111001000000000000001000000001000000001000000001000000001000000001三變量最小項的真值表三變量最小項的真值表ABC第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 75性質性質3 任意兩個不相等的最小項的邏輯乘為任意兩個不相等的最小項的邏輯乘為0,即即: mmijij0,2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式m0 m1 m
47、2 m3 m4 m5 m6 m7ABCABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC0000010100111001011101111001000000000000001000000001000000001000000001000000001000000001三變量最小項的真值表三變量最小項的真值表ABC第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 76相鄰項相鄰項 指只有一個變量為互補,其余所有指只有一個變量為互補,其余所有變量均相同的兩個最小項。變量均相同的兩個最小項。ABC的相鄰項:的相鄰項:ABC ABCABC ABC ABC 對于對于n個變量的邏輯函數個變量的邏輯函數,每
48、個最小每個最小項均有項均有n個相鄰項。個相鄰項。 任何兩個相鄰項均可合并成一項并任何兩個相鄰項均可合并成一項并消去一個互補因子。消去一個互補因子。ABC+ ABC =BC2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 77 由最小項組成的由最小項組成的與或與或表達式,稱為標準表達式,稱為標準與或表達式,也稱為與或表達式,也稱為最小項標準表達式最小項標準表達式。 000001010011100101110111ABC最小項最小項符號符號編號編號ABCABCABCABCABCABCABCABCm0m1m2m3m4m5m6m701234567F=AC
49、+AB+AB(C+C)ABC+ABC=ABC+=ACBABC +=m3m1m5m4ABC+ABC+=m(1,3,4,5)011001101100=AC(B+B)ACB(2) 最小項標準表達式最小項標準表達式(sum of standard product terms)2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 78例例:由真值表寫由真值表寫F=AC+AB 的最小項標準表達式。的最小項標準表達式。A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101011100F= ABC+ABC+ABC+ABC 從
50、函數的真值表中直接寫出的與或從函數的真值表中直接寫出的與或表達式就是最小項標準表達式。表達式就是最小項標準表達式。 *2. 最大項標準表達式最大項標準表達式=m(1,3,4,5)2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 79與或式最簡的標準與或式最簡的標準: :( (兩個最少原則兩個最少原則) )1)1)與項個數最少與項個數最少; ;2)2)每個與項中的變量個數最少。每個與項中的變量個數最少。2.6.2.6.1 1 邏輯函數的代數化簡法邏輯函數的代數化簡法1 1. . 并項法并項法AAB+AB=可將函數的兩個與項合并成一項。可將函數的兩個
51、與項合并成一項。2.6 2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法利用公式利用公式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 80例例: 化簡函數化簡函數DBACDAABBAF解:解: FBABCA C BC BC A A()例例: 化簡函數化簡函數)( DBCDBBAFA2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 812. 吸收法吸收法利用公式:利用公式:A+AB= ,吸收多余項。吸收多余項。 例例: 化簡函數化簡函數 BADCDBAF解:解: BADBCDAABADCDBAF)()(BCD
52、BADABA2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 82例:例: 化簡函數化簡函數 BCDACBBCAAF)(解:解:F BCDCDABBCAA)(BCDBCABCDCADABAABCA 2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 833. 消元法消元法利用公式利用公式 ,消去某,消去某項的多余因子。項的多余因子。AAB AB解解:BBCAABFBCAAB)(BBCAABF例:例:化簡函數化簡函數 BCAB)(CBA2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏
53、輯代數與函數化簡 84例:例: 化簡函數化簡函數 CDBAABCDBABAFCDBAABCDBABAF)()(CDBBABCDBA)()(CDBACDBACDABAACDBACDBABA2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 85解解2: CDBAABCDBABAFCDBABA)(CDBABA例:例:化簡函數化簡函數 CDBAABCDBABAFCDBAABBA)()(CDBA)(2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 864. 消項法消項法利用冗余項定理利用冗余項定理消去多余項消去多余項
54、。CAAB BCCAABCBAC CBBAACCBBAACF解解: CBBAACF例:例:化簡函數化簡函數 2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 87例:例: 化簡函數化簡函數 EFDCAEBADCBAFFAEDCEBADCBA解解: EFDCAEBADCBAFAB+AC+BC f(a,b,c,)= AB+AC .EBADCBA2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 885. 配項法配項法 利用公式:利用公式:等,給某邏輯函數表達式增加適當的項,進而消等,給某邏輯函數表達式增加適當的項
55、,進而消去原來函數的某些項,以達到簡化的目的。去原來函數的某些項,以達到簡化的目的。 AAABBB BB,1BCCAABBCACAABCAB)1)1BCACAB(CAAB)(AABCCAAB2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 89AB BC BC ABFABBCABCABCABC ABCABBCACABBCBC AAAB CC()()例例: 化簡函數化簡函數2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 90FF=(F) =AD(B+C)=ADB+ADC2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化
56、簡方法CBDACBDAAACEHCBDAABA)()()(HECACBDABAAF第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 91例例1. 化簡函數化簡函數 ABCBACBACBAABAF)()( ACABCBACABABC A BCAB解解: ABBC= A+B+CABCBACBACBAABAF)()(6.綜合舉例綜合舉例2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 92例例2. 化簡函數化簡函數 )()()()(DCDCBCBACDABABABAF解解: )()()(CDABABABA)()()()(DCDCBCABCDABABABA2
57、.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 93F= AB+AB+AB+(A+D)C=A+AB+AC+DC=A+B+AC+DC=A+B+C+DC=A+B+C)()()(CDABABABA FF = ABC2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 94例例3. 化簡函數化簡函數 CBDBDAACF解解: CBDBDAACFACBCABD ABACBCDABACBCAB D()ACBCD2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 95作業作業 2.
58、9 (1).()()()()()() ()()()()第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 96 2.5 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式 2.5.1 邏輯函數表達式的形式邏輯函數表達式的形式 (1)一一對應一一對應;(2)所有最小項的邏輯和為所有最小項的邏輯和為1;(3)任意兩個不相等的最小項的邏輯乘為任意兩個不相等的最小項的邏輯乘為0。2.5.2 邏輯函數表達式的標準形式邏輯函數表達式的標準形式 2.6 2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法2.62.6.1 .1 邏輯函數的代數化簡法邏輯函數的代數化簡法最小項定義及性質最小項定義及性質最小項標準表達式最小項標準表
59、達式第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 972.6.2 邏輯函數的卡諾圖化簡法邏輯函數的卡諾圖化簡法1. 相鄰項的定義相鄰項的定義 指只有一個變量為互補,其余所有變指只有一個變量為互補,其余所有變量均相同的兩個最小項。量均相同的兩個最小項。ABC的相鄰項:的相鄰項:ABCABCABC 對于對于n個變量的邏輯函數個變量的邏輯函數,每個最小項每個最小項均有均有n個相鄰項。個相鄰項。 任何兩個相鄰項均可合并成一項并任何兩個相鄰項均可合并成一項并消去一個消去一個互補因子互補因子。ABC+ABC=BC2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化
60、簡 982. 卡諾圖的構成(卡諾圖的構成(Karnaugh Map)有有n個變量的邏輯函數共有個變量的邏輯函數共有 個最小項。個最小項。2n 如果把每個最小項用一個如果把每個最小項用一個小方格小方格表表示示, ,再將這些小方格以再將這些小方格以循環碼順序循環碼順序排列排列(即滿足最小項按相鄰項排列),就可(即滿足最小項按相鄰項排列),就可以構成以構成n個變量的卡諾圖。個變量的卡諾圖。2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法第第2章章 邏輯代數與函數化簡邏輯代數與函數化簡 99(1)二變量卡諾圖的畫法:二變量卡諾圖的畫法:2個變量的邏輯函數共有個變量的邏輯函數共有 個最小項,個最小項,4那么,需那么,需 個方格。個方格。4ABABABABABAABAB0123B2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法
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