1、1 出版社 科技分社 土木工程指導性專業規范配套系列教材結構力學本章導讀本章導讀 基本要求基本要求 掌握用矩陣位移法計算平面桿件結構的原理掌握用矩陣位移法計算平面桿件結構的原理和方法。包括桿件結構的離散化；單元和結構坐標系下單元和方法。包括桿件結構的離散化；單元和結構坐標系下單元剛度矩陣的形成；用單元定位向量形成結構剛度矩陣；形成剛度矩陣的形成；用單元定位向量形成結構剛度矩陣；形成結構的綜合結點荷載列陣；結構剛度方程的形成及其求解；結構的綜合結點荷載列陣；結構剛度方程的形成及其求解；計算結構桿端內力計算結構桿端內力。掌握矩陣位移法的計算步驟。掌握矩陣位移法的計算步驟。 重點重點 用先處理法形成

2、結構剛度矩陣和結構的綜合結點用先處理法形成結構剛度矩陣和結構的綜合結點荷載列陣。荷載列陣。 難點難點 用先處理法形成結構剛度矩陣中各步驟的物理意用先處理法形成結構剛度矩陣中各步驟的物理意義；單元剛度矩陣和結構剛度矩陣中剛度系數的物理意義和義；單元剛度矩陣和結構剛度矩陣中剛度系數的物理意義和求法；矩陣位移法與位移法之間的聯系與區別。求法；矩陣位移法與位移法之間的聯系與區別。2 出版社 科技分社 9.1 概述概述 計算機輔助設計（計算機輔助設計（CAD）中使用到的諸多結構分）中使用到的諸多結構分析軟件都以析軟件都以有限單元法有限單元法（簡稱（簡稱有限元法有限元法）為理論依據，）為理論依據，有限元法

3、是一種近幾十年發展起來的新方法，從數學有限元法是一種近幾十年發展起來的新方法，從數學角度來說，它是求解偏微分方程定解問題的數值分析角度來說，它是求解偏微分方程定解問題的數值分析方法之一；從力學角度來說，它是求取基于變分原理方法之一；從力學角度來說，它是求取基于變分原理的近似解的方法之一；而從我們最熟識的工程結構的的近似解的方法之一；而從我們最熟識的工程結構的角度來說，它是結構力學的矩陣分析方法在連續介質角度來說，它是結構力學的矩陣分析方法在連續介質力學中的合理應用。力學中的合理應用。土木工程指導性專業規范配套系列教材結構力學 出版社 科技分社 3 出版社 科技分社 結構力學的矩陣分析方法是將矩

4、陣數學的理論結構力學的矩陣分析方法是將矩陣數學的理論引入結構力學而得，即在進行結構矩陣分析時，仍引入結構力學而得，即在進行結構矩陣分析時，仍舊沿用傳統結構力學的基本假定、基本原理和基本舊沿用傳統結構力學的基本假定、基本原理和基本方法，而在公式和各種表達式的表述方法上使用矩方法，而在公式和各種表達式的表述方法上使用矩陣形式。矩陣化的表述方式具有簡潔、規范、易于陣形式。矩陣化的表述方式具有簡潔、規范、易于排錯的優點，因而容易轉化成計算機程序，方便計排錯的優點，因而容易轉化成計算機程序，方便計算機軟件的開發。算機軟件的開發。 將力法和位移法同矩陣數學相結合，產生出矩將力法和位移法同矩陣數學相結合，產

5、生出矩陣力法和矩陣位移法。相對于力法而言，位移法具陣力法和矩陣位移法。相對于力法而言，位移法具有基本結構唯一和可以求解靜定結構兩大優勢，這有基本結構唯一和可以求解靜定結構兩大優勢，這些特點使得矩陣位移法更適用于進行結構分析軟件些特點使得矩陣位移法更適用于進行結構分析軟件的開發。因此，本章將重點介紹平面桿件結構的矩的開發。因此，本章將重點介紹平面桿件結構的矩陣位移法。陣位移法。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 4 出版社 科技分社 矩陣位移法基本原理同位移法一樣，仍舊以結矩陣位移法基本原理同位移法一樣，仍舊以結點位移為基本未知量，通過平衡方程求解這些基本點位移為基本未知量，通過平

6、衡方程求解這些基本未知量，然后計算結構的內力。用矩陣位移法進行未知量，然后計算結構的內力。用矩陣位移法進行結構分析的基本要點是：結構分析的基本要點是： 1）結構離散化結構離散化 將結構劃分為有限個單元，各單元只在有限個將結構劃分為有限個單元，各單元只在有限個結點處相互連接。對于桿件結構，單元常取為等截結點處相互連接。對于桿件結構，單元常取為等截面直桿，各單元通過剛結點、鉸結點等各類結點相面直桿，各單元通過剛結點、鉸結點等各類結點相連組成結構，這相當于位移法中獲取基本結構的這連組成結構，這相當于位移法中獲取基本結構的這一步驟一步驟. 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 5 出版社 科

7、技分社 2）單元分析單元分析 單元分析的任務是獲取單元桿端力與單元桿端單元分析的任務是獲取單元桿端力與單元桿端位移之間的關系，建立單元剛度矩陣。這相當于位位移之間的關系，建立單元剛度矩陣。這相當于位移法中獲得形常數和轉角位移方程的步驟。單元桿移法中獲得形常數和轉角位移方程的步驟。單元桿端位移一旦求得，單元桿端力即可通過單元剛度方端位移一旦求得，單元桿端力即可通過單元剛度方程求得。程求得。3）整體分析整體分析 整體分析是將單元剛度矩陣按照剛度集成規則整體分析是將單元剛度矩陣按照剛度集成規則直接形成結構剛度矩陣，并建立整體結構的剛度方直接形成結構剛度矩陣，并建立整體結構的剛度方程。這相當于位移法中

8、建立典型方程的步驟。整體程。這相當于位移法中建立典型方程的步驟。整體分析將打散的單元重新集成為結構，進而引入結構分析將打散的單元重新集成為結構，進而引入結構的邊界條件（力平衡邊界條件和變形協調邊界條件）的邊界條件（力平衡邊界條件和變形協調邊界條件）為求解結構剛度方程做好準備。為求解結構剛度方程做好準備。 求解結構剛度方程得到各結點位移后，只需再求解結構剛度方程得到各結點位移后，只需再返回單元分析，即可求出各單元桿端力，進而繪出返回單元分析，即可求出各單元桿端力，進而繪出結構內力圖。結構內力圖。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 6 出版社 科技分社 9.2 桿件結構的離散化桿件結

9、構的離散化9.2.1 單元與結點的劃分和編碼單元與結點的劃分和編碼 由若干根桿件組成的結構稱為由若干根桿件組成的結構稱為桿件結構桿件結構。使用。使用矩陣位移法分析結構的第一步，是將結構矩陣位移法分析結構的第一步，是將結構“拆散拆散”為一根根獨立的桿件，這一步驟稱為為一根根獨立的桿件，這一步驟稱為離散化離散化。為方。為方便起見，常將桿件結構中的便起見，常將桿件結構中的等截面直桿作為矩陣位等截面直桿作為矩陣位移法的獨立單元移法的獨立單元，這就必然導致結構中，這就必然導致結構中桿件的轉折桿件的轉折點、匯交點、支承點、截面突變點、自由端、材料點、匯交點、支承點、截面突變點、自由端、材料改變點改變點等成

10、為連接各個單元的結點。只要確定了桿等成為連接各個單元的結點。只要確定了桿件結構中的全部結點，結構中各結點間的所有單元件結構中的全部結點，結構中各結點間的所有單元也就隨之確定了。也就隨之確定了。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 7 出版社 科技分社 確定結點時，常常采用順序編號的方法，這些確定結點時，常常采用順序編號的方法，這些編號稱為編號稱為結點碼結點碼。在確定完結點碼后，對結點間的。在確定完結點碼后，對結點間的單元也依次編號，從而獲得單元也依次編號，從而獲得單元碼單元碼。如圖所示分別。如圖所示分別是兩個結構離散化后的結點和單元編碼情況。是兩個結構離散化后的結點和單元編碼情況。

11、 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 2EIEI11E I654321765432198754387432211I2E56(a)(b)8 出版社 科技分社 9.2.2 兩種直角坐標系兩種直角坐標系 結構離散化后，桿件單元的方向千差萬別。在結構離散化后，桿件單元的方向千差萬別。在作整體分析時，需要在結點處建立平衡方程，為此作整體分析時，需要在結點處建立平衡方程，為此又需要一個統一的計算基準坐標系。因此，這里引又需要一個統一的計算基準坐標系。因此，這里引入兩套直角坐標系來建立后續需要研究的力和位移入兩套直角坐標系來建立后續需要研究的力和位移等物理量之間的關系。等物理量之間的關系。（1）

12、單元坐標系單元坐標系 單元坐標系單元坐標系（又稱（又稱局部坐標系局部坐標系）是單元分析時）是單元分析時使用的坐標系，它只與具體某一單元相對應。對結使用的坐標系，它只與具體某一單元相對應。對結構中任意單元構中任意單元 e ，本章約定其坐標系用，本章約定其坐標系用 表示；表示；坐標系原點取為該單元一端的端結點坐標系原點取為該單元一端的端結點i（稱為（稱為始結點始結點或或始端始端）；由原點指向另一端結點）；由原點指向另一端結點j（稱為（稱為末結點末結點或或末端末端）的方向，為桿軸）的方向，為桿軸 坐標正向，記作坐標正向，記作 ； 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 xyx( )ex9 出

13、版社 科技分社 以軸沿順時針方向旋轉以軸沿順時針方向旋轉90為坐標軸為坐標軸 正向，記正向，記作作 ，如下圖所示。，如下圖所示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 y( )ey3x(a)(b)12yx123yx(1)(1)x(2)(2)yOy211O2（2）整體坐標系整體坐標系 整體坐標系整體坐標系（又稱（又稱結構坐標系結構坐標系）是整體分析時）是整體分析時使用的坐標系，它不和任何單元直接相關。設置整使用的坐標系，它不和任何單元直接相關。設置整10 出版社 科技分社 體坐標系的目的是使各物理量在進行整體分析時有體坐標系的目的是使各物理量在進行整體分析時有統一的衡量尺度。本章約定整

14、體坐標系使用統一的衡量尺度。本章約定整體坐標系使用x-y表表示，示，x軸正方向水平向右，以軸正方向水平向右，以x軸沿順時針方向旋轉軸沿順時針方向旋轉90為為y軸正向，即軸正向，即y軸正方向豎直向下，整體坐標軸正方向豎直向下，整體坐標系原點可取為任意點。系原點可取為任意點。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 3x(a)(b)12yx123yx(1)(1)x(2)(2)yOy211O211 出版社 科技分社 為了使圖形看起來簡潔清爽，一般不再標出單為了使圖形看起來簡潔清爽，一般不再標出單元坐標系，通常在各單元的桿軸上繪一箭頭表明元坐標系，通常在各單元的桿軸上繪一箭頭表明 軸的正向即可

15、，如圖（軸的正向即可，如圖（b）所示。）所示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 3x(a)(b)12yx123yx(1)(1)x(2)(2)yOy211O2x12 出版社 科技分社 9.2.3 力和位移的正負號規定力和位移的正負號規定1）外荷載和支反力）外荷載和支反力(1)結點荷載和支反力結點荷載和支反力 結點荷載結點荷載是指作用于結點上的荷載。本章約定是指作用于結點上的荷載。本章約定結點集中力和支反力均以與整體坐標系方向相同時結點集中力和支反力均以與整體坐標系方向相同時為正，反之為負。結點集中力偶和支座反力偶以順為正，反之為負。結點集中力偶和支座反力偶以順時針轉向為正，反之為

16、負。時針轉向為正，反之為負。(2)非結點荷載非結點荷載 非結點荷載非結點荷載是指作用于桿件上的荷載。本章約是指作用于桿件上的荷載。本章約定非結點集中力和分布力以單元坐標系正向相同時定非結點集中力和分布力以單元坐標系正向相同時為正，反之為負。非結點集中力偶，仍以順時針轉為正，反之為負。非結點集中力偶，仍以順時針轉向為正，反之為負。向為正，反之為負。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 13 出版社 科技分社 2）結點位移）結點位移 由于矩陣位移法不再為了簡化計算而忽略桿件由于矩陣位移法不再為了簡化計算而忽略桿件的軸向變形，因此，對于平面剛架中的每個剛結點的軸向變形，因此，對于平面剛架

17、中的每個剛結點而言，有三個相互獨立的位移分量：水平方向的線而言，有三個相互獨立的位移分量：水平方向的線位移分量位移分量u，豎直方向的線位移分量，豎直方向的線位移分量v，和結點的轉，和結點的轉角位移分量角位移分量q q。對于這三個分量，本章約定線位移。對于這三個分量，本章約定線位移與整體坐標系方向一致為正，轉角以順時針轉向為與整體坐標系方向一致為正，轉角以順時針轉向為正，反之為負。正，反之為負。 3）單元桿端力和桿端位移）單元桿端力和桿端位移 單元桿端截面的內力和位移分別稱為單元桿端截面的內力和位移分別稱為單元桿端單元桿端力力和和桿端位移桿端位移。 下圖所示為平面剛架中的單元下圖所示為平面剛架中

18、的單元 e ，其始端為，其始端為i，末端為末端為j。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 14 出版社 科技分社 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 jvjiejNF(uj)(jFQMjj()(iuiFNQFivi()(iiMxiejyjix)(jjM)ju(FxjyjFv(j)(ivFyixiFui()Mii()Oye(f1)1f5)5(f3)3(f6)6(f22()yx(f4)4xOyij(1f)1)(2f2)(33f44(f)55)(ff66)(a) 單元坐標系下的廣義分量(c) 整體坐標系下的廣義分量e(b) 單元坐標系下的分量(d) 整體坐標系下的分量15 出

19、版社 科技分社 約定單元所有桿端力和桿端位移分量分別用廣約定單元所有桿端力和桿端位移分量分別用廣義符號義符號f和和d d 表示，當參照系為單元坐標系時，還需表示，當參照系為單元坐標系時，還需在在f和和d d上添加上劃線，即用上添加上劃線，即用 “ ”和和“ ”以示區以示區別。為區別兩端結點各方向的分量，約定始端別。為區別兩端結點各方向的分量，約定始端i沿沿x或坐標方向為或坐標方向為1號方向，沿號方向，沿y或方向為或方向為2號方向，轉號方向，轉角方向為角方向為3號方向；依此類推，末端號方向；依此類推，末端j的三個方向分的三個方向分別用別用4、5、6表示。表示。 上圖中（上圖中（a）和（）和（c）

20、標明了兩套坐標系中所有）標明了兩套坐標系中所有24個廣義分量（括號中的是廣義位移分量）。約定個廣義分量（括號中的是廣義位移分量）。約定各分量與相應坐標系正向一致時為正，力矩或轉角各分量與相應坐標系正向一致時為正，力矩或轉角分量以順時針轉動為正，反之為負。分量以順時針轉動為正，反之為負。 單元桿端力和桿端位移分量，也可以按它們實單元桿端力和桿端位移分量，也可以按它們實際的物理意義表示為上圖（際的物理意義表示為上圖（b）和（）和（d）的形式。）的形式。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 fd16 出版社 科技分社 即用軸力、剪力、彎矩和水平位移分量即用軸力、剪力、彎矩和水平位移分量u

21、、豎直位、豎直位移分量移分量v、轉角位移分量、轉角位移分量q q 等我們熟知的表示方法等我們熟知的表示方法來繪制。采取傳統方法表示時，各分量用下標注明來繪制。采取傳統方法表示時，各分量用下標注明其作用的結點；同時，若參照系為單元坐標系，各其作用的結點；同時，若參照系為單元坐標系，各分量還需添加上劃線以示區別。分量還需添加上劃線以示區別。 公式（公式（9.1）和（）和（9.2）給出了參照系為單元坐）給出了參照系為單元坐標系時，分別使用廣義方式和傳統方式表示的單元標系時，分別使用廣義方式和傳統方式表示的單元桿端力和桿端位移列陣。桿端力和桿端位移列陣。 單元坐標系中的單元桿端力列陣為單元坐標系中的單

22、元桿端力列陣為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 17 出版社 科技分社 單元坐標系中的單元桿端位移列陣為單元坐標系中的單元桿端位移列陣為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 ( )( )N1Q23N4Q56eeiieiieejjjjFfFfMfFfFfMf FFF（9.1）( )( )123456eeiieiieejjjjuvuvddqdddqd（9.2）18 出版社 科技分社 公式（公式（9.3）和（）和（9.4）給出了參照系為整體坐）給出了參照系為整體坐標系時，分別使用廣義方式和傳統方式表示的單元標系時，分別使用廣義方式和傳統方式表示的單元桿端力和桿端位移列陣。

23、桿端力和桿端位移列陣。 整體坐標系中的單元桿端力列陣為整體坐標系中的單元桿端力列陣為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 ( )( )123456eexiyieiieexjjyjjFfFfMfFfFfMf FFF（9.3）19 出版社 科技分社 整體坐標系中的單元桿端位移列陣為整體坐標系中的單元桿端位移列陣為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 ( )( )123456eeiieiieejjjjuvuvddqdddqd （9.4） 以上以上4式中的列陣子塊式中的列陣子塊 、 、 、 和和 、 、 、 分別代表相應坐標系中桿端分別代表相應坐標系中桿端i和和j的力與位移。的

24、力與位移。 矩陣位移法的正負號規定與位移法和材料力學矩陣位移法的正負號規定與位移法和材料力學中的規定不盡相同，請讀者注意區分中的規定不盡相同，請讀者注意區分。eiFejFeiFejFeiejeiej20 出版社 科技分社 9.3 單元坐標系中的單元剛度矩陣單元坐標系中的單元剛度矩陣9.3.1 一般單元一般單元 一般單元一般單元是指其始末兩端每端有三個、兩端共是指其始末兩端每端有三個、兩端共6個獨立位移未知量的平面剛架單元，如下圖所示。個獨立位移未知量的平面剛架單元，如下圖所示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 uiujyjFQjFiviiNiiQFi1AEMi, , Ijl,v

25、jNj1jMFjx21 出版社 科技分社 表示單元桿端力和桿端位移之間轉換關系的方表示單元桿端力和桿端位移之間轉換關系的方程，稱為程，稱為單元剛度方程單元剛度方程。矩陣位移法不再忽略軸向。矩陣位移法不再忽略軸向變形，但仍忽略在線彈性小變形的前提下，軸向受變形，但仍忽略在線彈性小變形的前提下，軸向受力狀態和彎曲受力狀態間的相互影響。因此，可以力狀態和彎曲受力狀態間的相互影響。因此，可以分別推導這兩種受力狀態下桿端力和桿端位移之間分別推導這兩種受力狀態下桿端力和桿端位移之間的轉換關系的轉換關系 。 1）軸向受力狀態下，軸向桿端力同軸向桿端）軸向受力狀態下，軸向桿端力同軸向桿端位移之間的關系位移之間

26、的關系 如圖（如圖（a），如果桿端），如果桿端i發生軸向位移發生軸向位移 而桿端而桿端j不動時，根據材料力學和平衡條件不動時，根據材料力學和平衡條件 ，有，有 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 0 xF NiiEAFulNjiEAFul （a）iu22 出版社 科技分社 同理如圖（同理如圖（b），當桿端），當桿端j發生軸向位移發生軸向位移 而桿而桿端端i不動時，有不動時，有 如果同時在桿端如果同時在桿端i和和j分別發生了軸向位移分別發生了軸向位移 和和 ，只需將（只需將（a）、（）、（b）兩式中對應的軸向桿端力疊加）兩式中對應的軸向桿端力疊加起來即可起來即可. 土木工程專業系列教

27、材結構力學 出版社 科技分社 FNFNijuilEAi1ijxlEAujiiNF1jNFjjx(a)(b)NijEAFul NjjEAFul（b）jujuiu23 出版社 科技分社 2）彎曲受力狀態下，桿端剪力及桿端彎矩同垂）彎曲受力狀態下，桿端剪力及桿端彎矩同垂直于桿軸方向的相對線位移及桿端轉角之間的關系直于桿軸方向的相對線位移及桿端轉角之間的關系 兩端固定的單跨超靜定梁兩端固定的單跨超靜定梁AB，在無外荷載的，在無外荷載的作用時，其位移法的轉角位移方程為作用時，其位移法的轉角位移方程為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 NNiijjijEAEAFuullEAEAFuull （

28、c）24 出版社 科技分社 如果把該梁視矩陣位移法的一般單元，使其如果把該梁視矩陣位移法的一般單元，使其A和和B兩端分別同一般單元的始端兩端分別同一般單元的始端i和末端和末端j對應。使用矩對應。使用矩陣位移法的符號表示方法和正負號規定，則（陣位移法的符號表示方法和正負號規定，則（d）式中相應符號應做如下變換式中相應符號應做如下變換 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 22QQ2234262466612ABABABBAABABABBAABABEIEIEIMlllEIEIEIMlllEIEIEIFFlllqqqqqq （d）QQQQABiBAjABiBAjMMMMFFFF ABjiAi

29、Bjvvqqqq（e）25 出版社 科技分社 于是，（于是，（d）式化為）式化為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 Q323222Q32322212612664621261266264iiijjiiijjjiijjjiijjEIEIEIEIFvvllllEIEIEIEIMvvllllEIEIEIEIFvvllllEIEIEIEIMvvllllqqqqqqqq （f） 綜合軸向受力狀態下推得的（綜合軸向受力狀態下推得的（c）式和彎曲受）式和彎曲受力狀態下推得的（力狀態下推得的（f）式，可寫出一般單元全部的）式，可寫出一般單元全部的桿端力和桿端位移轉換關系，即桿端力和桿端位移轉換關系

30、，即26 出版社 科技分社 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 式中的式中的E、I、A、l分別為單元的材料彈性模量、橫分別為單元的材料彈性模量、橫截面慣性矩、橫截面面積和單元長度。截面慣性矩、橫截面面積和單元長度。NQ232NQ232()612()()426()()612()()246()iijiijijiijijjijjijijjijijEAFuulEIEIFvvllEIEIEIMvvlllEAFuulEIEIFvvllEIEIEIMvvlllqqqqqqqq （9.5）27 出版社 科技分社 將式（將式（9.5）寫成矩陣形式，即可得）寫成矩陣形式，即可得單元坐標單元坐標系中一般

31、單元的單元剛度方程系中一般單元的單元剛度方程 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 ( )( )N3232Q22NQ323222000012612600646200000012612600626400eeiiiiijjjEAEAllEIEIEIEIFullllFvEIEIEIEIMllllEAEAFllFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllllq( )eijjjuvq（9.6）28 出版社 科技分社 上式也可簡寫為上式也可簡寫為其中其中 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 eeeFK （9.7）( )3232223232220000126126006462000

32、00012612600626400eeEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllK（9.8）29 出版社 科技分社 稱為一般單元的稱為一般單元的單元剛度矩陣單元剛度矩陣，簡稱，簡稱單剛單剛。 矩陣位移法僅采用位移法中的兩端固支單跨超矩陣位移法僅采用位移法中的兩端固支單跨超靜定梁來推導單元剛度方程，這使得其基本單元類靜定梁來推導單元剛度方程，這使得其基本單元類型歸一化，更便于應用程序的開發。型歸一化，更便于應用程序的開發。9.3.2 特殊單元特殊單元 桿端獨立位移未知量因被約束變為已知位移，桿端獨立位移未知量因被約束變

33、為已知位移，或者不獨立于其它桿端位移的單元，稱為或者不獨立于其它桿端位移的單元，稱為特殊單元特殊單元。例如連續梁單元和理想桁架單元等。例如連續梁單元和理想桁架單元等。 1）連續梁單元）連續梁單元 忽略軸向變形的連續梁或無結點線位移的剛架，忽略軸向變形的連續梁或無結點線位移的剛架，經過離散化后，單元兩端只有獨立的桿端轉角未知經過離散化后，單元兩端只有獨立的桿端轉角未知量量 和和 。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 eKiqjq30 出版社 科技分社 將線位移將線位移 的條件代入式（的條件代入式（9.6）中，并注意到桿端剪力不獨立于桿端彎矩，則可得中，并注意到桿端剪力不獨立于桿端彎

34、矩，則可得連續梁單元的單元剛度方程為連續梁單元的單元剛度方程為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 0iijjuvuv( )( )( )4224eeeiijjEIEIMllEIEIMllqq （9.9）相應的單元剛度矩陣為相應的單元剛度矩陣為( )4224eEIEIllEIEIll eK（9.10）31 出版社 科技分社 可見，連續梁單元的單剛可以由一般單元單剛可見，連續梁單元的單剛可以由一般單元單剛劃去與零位移相應的行和列，即式（劃去與零位移相應的行和列，即式（9.8）中的第）中的第1、2、4、5行和列而得。行和列而得。 2）理想桁架單元）理想桁架單元 理想桁架中的各桿件只有軸向

35、變形，即理想桁架中的各桿件只有軸向變形，即 ， 。而。而 ，將這一條件代入式，將這一條件代入式（9.6），可得理想桁架單元的單元剛度方程為），可得理想桁架單元的單元剛度方程為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 0iu 0ijijvvqq0ju ( )( )( )NNeeeiijjEAEAuFlluEAEAFll （9.11）相應的單元剛度矩陣為相應的單元剛度矩陣為32 出版社 科技分社 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 可見，理想桁架單元的單剛也可由一般單元單可見，理想桁架單元的單剛也可由一般單元單剛劃去與零位移相應的行和列，即式（剛劃去與零位移相應的行和列，即式（

36、9.8）中的）中的第第2、3、5、6行和列而得行和列而得。9.3.3 單元剛度矩陣的性質單元剛度矩陣的性質 1）單元剛度系數的物理意義）單元剛度系數的物理意義 單元剛度矩陣中的每個元素稱為單元剛度矩陣中的每個元素稱為單元剛度系數單元剛度系數，代表由單位桿端位移引起的桿端力。代表由單位桿端位移引起的桿端力。 ( )eeEAEAllEAEAll K（9-.12）33 出版社 科技分社 若以若以 代表單元剛度矩陣中的某系數，則它代表單元剛度矩陣中的某系數，則它的值等于當單元的第的值等于當單元的第m個桿端位移方向發生正向單個桿端位移方向發生正向單位位移（其它桿端位移為零）時，引起的第位位移（其它桿端位

37、移為零）時，引起的第l個桿端個桿端位移方向的桿端力。位移方向的桿端力。 例如下圖給出了一般單元單剛系數例如下圖給出了一般單元單剛系數 和和 的物的物理意義。理意義。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 ( )elmk23k62kxyij,E, A l,Ii=123kyiA,E, Il,jxvi=1i162k23k(a)的物理意義(b)的物理意義k6234 出版社 科技分社 根據單剛系數的物理意義可知，單剛中任一列根據單剛系數的物理意義可知，單剛中任一列的元素，均可由令單元中與該列列號對應的桿端位的元素，均可由令單元中與該列列號對應的桿端位移發生正向單位位移而求得。例如欲求一般單元單

38、移發生正向單位位移而求得。例如欲求一般單元單剛第剛第5列的所有元素，只需令列的所有元素，只需令 ，再依，再依“始端軸、始端軸、剪、彎到末端軸、剪、彎剪、彎到末端軸、剪、彎”的方向編號順序求出這的方向編號順序求出這些桿端內力，就得到了些桿端內力，就得到了 6個剛度系數。個剛度系數。 2）單元剛度矩陣是對稱方陣）單元剛度矩陣是對稱方陣 一般單元的單剛是一般單元的單剛是66的對稱方陣，特殊單元的對稱方陣，特殊單元的單剛亦是對稱方陣。單剛的對稱性可由線彈性結的單剛亦是對稱方陣。單剛的對稱性可由線彈性結構的反力互等定理證明，即為構的反力互等定理證明，即為 而而 對角線上的主系數恒大于零，這同位移法對角線

39、上的主系數恒大于零，這同位移法一致。一致。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 1jv 15k65k( )( )eelmmlkk(,1,2,6)lml m；（9.13）eK35 出版社 科技分社 3）一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣）一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣 從數學的角度來說，從數學的角度來說， 的行列式的行列式 之值等于零，之值等于零，即不存在逆陣，因此奇異。即不存在逆陣，因此奇異。 從力學概念的角度來說，我們注意到從力學概念的角度來說，我們注意到一般單元一般單元始末端的六個桿端位移未知量并未被任何約束限制始末端的六個桿端位移未知量并未被任何約束限制，好像單元好像單元“浮

40、于空中浮于空中”，這樣的單元稱為，這樣的單元稱為自由單元自由單元。給定一組符合變形協調條件的桿端位移給定一組符合變形協調條件的桿端位移 ，我們可，我們可以通過單元剛度方程以通過單元剛度方程 求得一組桿端力求得一組桿端力 ；但如果給定一組平衡的桿端力但如果給定一組平衡的桿端力 ，由于自由單元的，由于自由單元的剛體位移未被約束限定，因而無法推出唯一確定的剛體位移未被約束限定，因而無法推出唯一確定的一組桿端位移一組桿端位移 。也就是說，對于一組平衡的桿端。也就是說，對于一組平衡的桿端力力 ，可能有無限多組由彈性位移和剛體位移共同，可能有無限多組由彈性位移和剛體位移共同組成的桿端位移組成的桿端位移 與

41、之對應，因而一般單元的單剛與之對應，因而一般單元的單剛奇異。奇異。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 eKeKeeeeFK eFeFeeFe36 出版社 科技分社 4）單元剛度矩陣）單元剛度矩陣 是單元的固有性質是單元的固有性質 只與單元的彈性模量只與單元的彈性模量E、橫截面積、橫截面積A、慣性、慣性矩矩I及桿長及桿長l有關，而與外荷載無關。有關，而與外荷載無關。9.4 整體坐標系中的單元剛度矩陣整體坐標系中的單元剛度矩陣 9.4.1 坐標變換矩陣坐標變換矩陣 從單元分析進入整體分析時，需要將參照坐標從單元分析進入整體分析時，需要將參照坐標系統一為整體坐標系，才便于建立結點平衡方

42、程；系統一為整體坐標系，才便于建立結點平衡方程；整體分析結束后，需計算單元桿端力以求取單元內整體分析結束后，需計算單元桿端力以求取單元內力，此時又需將參照坐標系重新設為各單元坐標系。力，此時又需將參照坐標系重新設為各單元坐標系。因此，有必要建立兩套坐標系的轉換關系。因此，有必要建立兩套坐標系的轉換關系。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 eKeK37 出版社 科技分社 上圖將桿單元上圖將桿單元 e 在單元坐標系中的桿端力和整在單元坐標系中的桿端力和整體坐標系體坐標系xOy中的桿端力一同繪出。中的桿端力一同繪出。 若設從整體坐標系若設從整體坐標系x軸轉向單元坐標系軸的夾軸轉向單元坐

43、標系軸的夾角為角為a a（順時針為正），根據投影關系，可得（順時針為正），根據投影關系，可得 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 OjM =MjFxjNjFFQjyjFejiFyiQiFxiFFNiiM=Miyxyx38 出版社 科技分社 寫成矩陣形式寫成矩陣形式 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 NQNQcossinsincoscossinsincosixiyiixiyiiijxjyjjxjyjjjFFFFFFMMFFFFFFMMaaaaaaaa （9.14）39 出版社 科技分社 或簡寫為或簡寫為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 ( )( )QNQ

44、cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001eeNixiiyiiixjjyjjjjFFFFMMFFFFMMaaaaaaaa（9.15）eeFTF（9.16）其中其中40 出版社 科技分社 稱為稱為單元坐標轉換矩陣單元坐標轉換矩陣。它是一個正交矩陣，即有。它是一個正交矩陣，即有 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001aaaaaaaaT（9.17）1TTT（9.18） 如需將如需將 轉換為轉換為 ，則可使用下式，則可使用下式e

45、FeF-1TeeeFT FT F（9.19） 上述轉換關系也同樣適用于桿端位移上述轉換關系也同樣適用于桿端位移 和和 之之間的轉換，即有間的轉換，即有 ee41 出版社 科技分社 9.4.2 整體坐標系中的單元剛度矩陣整體坐標系中的單元剛度矩陣 類比單元坐標系中的單元剛度方程類比單元坐標系中的單元剛度方程 ，可以寫出可以寫出整體坐標系中的單元剛度方程整體坐標系中的單元剛度方程式中式中 就是整體坐標系中的單元剛度矩陣。就是整體坐標系中的單元剛度矩陣。 下面來推導下面來推導 ：將將 左右兩邊先前左右兩邊先前乘乘 ，得，得 ，再參考式（，再參考式（9.19），左邊），左邊即為即為 ，再將式（，再將式

46、（9.20）代入右邊，可得）代入右邊，可得 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 eeT（9.20）TeeT （9.21）eeeFK eeeFK （9.22）eKeKeeeFK TTTTeeeT FT K eFTeeeFT K T42 出版社 科技分社 比對式（比對式（9.22），可得），可得 將式（將式（9.8）和（）和（9.17）代入上式右邊進行矩陣）代入上式右邊進行矩陣運算，可得整體坐標系中的一般單元的單元剛度矩運算，可得整體坐標系中的一般單元的單元剛度矩陣為陣為其中其中 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.23）TeeKT K T12312345245635

47、612345622eSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSK（9.24）43 出版社 科技分社 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.25）22132332224352612cossin12()sincos6sin12sincos6cos2EAEISllEAEISllEISlEAEISllEISlEISlaaaaaaaa44 出版社 科技分社 整體坐標系中的單剛中的元素整體坐標系中的單剛中的元素 ，其值等于當，其值等于當單元的第單元的第m個桿端位移方向發生正向單位桿端位移個桿端位移方向發生正向單位桿端位移1（其它桿端位移為零）時，引起的第（其它桿端位移為零）時，引起的第l個

48、桿端位移個桿端位移方向的桿端力。例如下圖給出了一般單元單剛系數方向的桿端力。例如下圖給出了一般單元單剛系數和的物理意義。和的物理意義。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 ( )elmk23k62k(a)y的物理意義k23x的物理意義(b)62kyxi=1ijk23j,AIE, ,lvi=1ii162kOOIE,A,l45 出版社 科技分社 仍具有類似仍具有類似 的一些性質：的一些性質： 是對稱方陣，這仍可用線彈性結構反力互等是對稱方陣，這仍可用線彈性結構反力互等定理證明；定理證明； 一般單元的一般單元的 是奇異矩陣，這是因為坐標變是奇異矩陣，這是因為坐標變換未改變一般單元是自由單

49、元的性質；換未改變一般單元是自由單元的性質； 除與單元本身屬性有關外，還與兩坐標系除與單元本身屬性有關外，還與兩坐標系的夾角的夾角a a有關。這是有關。這是 同同 的明顯區別。的明顯區別。 9.5 用直接剛度法形成結構剛度矩陣用直接剛度法形成結構剛度矩陣 在對結構進行離散化和單元分析后，就需要將在對結構進行離散化和單元分析后，就需要將各單元重新集成為原結構，進行結構整體分析，從各單元重新集成為原結構，進行結構整體分析，從本節開始將介紹結構整體分析的方法。本節開始將介紹結構整體分析的方法。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 eKeKeKeKeKeKeK46 出版社 科技分社 9.5

50、.1 結構剛度方程結構剛度方程 結構整體分析的目標就是在整體坐標系中，用結構整體分析的目標就是在整體坐標系中，用單元分析的結果形成結構剛度方程。單元分析的結果形成結構剛度方程。結構剛度方程結構剛度方程反映的是結構的結點位移和結點力之間的關系，同反映的是結構的結點位移和結點力之間的關系，同位移法中的典型方程相對應。結構剛度方程可寫為位移法中的典型方程相對應。結構剛度方程可寫為 式中，式中，K代表代表結構剛度矩陣結構剛度矩陣，簡稱，簡稱總剛總剛； 代表代表結結點位移未知量列陣點位移未知量列陣；P代表代表綜合結點荷載列陣綜合結點荷載列陣。 為求解結點位移未知量列陣為求解結點位移未知量列陣 ，需要先形

51、成，需要先形成K和和P，本節將討論總剛，本節將討論總剛K的形成，而下節將討論的形成，而下節將討論P的形的形成。成。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 KP（9.26）47 出版社 科技分社 9.5.2 結點位移分量的統一編碼結點位移分量的統一編碼 經單元分析后，需要將各單元在約束的連接下經單元分析后，需要將各單元在約束的連接下重新形成原結構。因此，整體分析首先應當正確合重新形成原結構。因此，整體分析首先應當正確合理地反映結構各單元所受約束的情況，對結構的支理地反映結構各單元所受約束的情況，對結構的支承（外約束）情況和結點（內約束）情況進行描述。承（外約束）情況和結點（內約束）情況

52、進行描述。具體來說，就是具體來說，就是需要對結點位移分量進行統一編碼需要對結點位移分量進行統一編碼。 1）后處理法和先處理法）后處理法和先處理法 形成整體剛度方程時，考慮結構約束的常用方形成整體剛度方程時，考慮結構約束的常用方法有兩種法有兩種后處理法后處理法和和先處理法先處理法，所謂，所謂“后后”和和“先先”是指在形成結構剛度方程之后，還是之前引是指在形成結構剛度方程之后，還是之前引入支承條件。入支承條件。 后處理法在單元分析完成以后，并不急于處理后處理法在單元分析完成以后，并不急于處理支承條件，不論單元桿端位移未知還是已知，都將支承條件，不論單元桿端位移未知還是已知，都將其對應的單剛元素和單

53、元桿端力分量集成進入總剛其對應的單剛元素和單元桿端力分量集成進入總剛 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 48 出版社 科技分社 K和綜合結點荷載列陣和綜合結點荷載列陣P中，從而形成一個中，從而形成一個“浮于浮于空中空中”的無支承的體系的剛度方程，稱為的無支承的體系的剛度方程，稱為結構原始結構原始剛度方程剛度方程。接下來才考慮支承情況，修正結構原始。接下來才考慮支承情況，修正結構原始剛度方程中的剛度方程中的K和和P，以防止因總剛奇異而解不出，以防止因總剛奇異而解不出結點位移結點位移 。 先處理法則是在單元分析完成后，就考慮每個先處理法則是在單元分析完成后，就考慮每個單元的支承情況，

54、只讓未知（而避免已知）單元桿單元的支承情況，只讓未知（而避免已知）單元桿端位移對應的單剛元素和單元桿端力分量集成進入端位移對應的單剛元素和單元桿端力分量集成進入K和和P，因而形成的結構剛度矩陣實際上已經包含，因而形成的結構剛度矩陣實際上已經包含了全部約束信息，無需再修正。了全部約束信息，無需再修正。 因為沒有已知位移分量對應的部分，先處理法因為沒有已知位移分量對應的部分，先處理法相對后處理法來說，結構剛度方程的規模會縮減，相對后處理法來說，結構剛度方程的規模會縮減，求解更加容易。同時，先處理法在處理鉸結點、求解更加容易。同時，先處理法在處理鉸結點、 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分

55、社 49 出版社 科技分社 忽略軸向變形等情況時也更靈活，因此本章后面將忽略軸向變形等情況時也更靈活，因此本章后面將只介紹先處理法。只介紹先處理法。 2）結點位移分量的統一編碼）結點位移分量的統一編碼 從從9.2節我們知道，平面剛架的每個結點有三個節我們知道，平面剛架的每個結點有三個位移分量，即整體坐標系位移分量，即整體坐標系x方向、方向、y方向和轉角方向方向和轉角方向上的上的u、v、q q，我們需要找出這些結點全部位移分，我們需要找出這些結點全部位移分量中的未知位移分量進行編號。下面給出結點位移量中的未知位移分量進行編號。下面給出結點位移分量編碼的約定：分量編碼的約定： (1)基本約定基本約

56、定 按結點編號的順序，對每個結點，依按結點編號的順序，對每個結點，依u、v、q q的順序，考查它們的位移分量是否被約束。對未被的順序，考查它們的位移分量是否被約束。對未被約束的結點位移分量（即結點位移未知量），按順約束的結點位移分量（即結點位移未知量），按順序對它們進行編碼；對被支承約束或為已知的結點序對它們進行編碼；對被支承約束或為已知的結點 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 50 出版社 科技分社 位移分量，則用編碼位移分量，則用編碼“0”表示。位移分量編碼統一表示。位移分量編碼統一標在結點碼后的括號中。如下圖所示結構中，結點標在結點碼后的括號中。如下圖所示結構中，結點2和和

57、3的三個位移分量，及結點的三個位移分量，及結點5的轉角位移分量未的轉角位移分量未被約束，按順序編號；而其它結點位移分量都被約被約束，按順序編號；而其它結點位移分量都被約束，所以編束，所以編“0”號。號。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 11(0,0,0)232(1,2,3)3(4,5,6)4(0,0,0)5(0,0,7)4一般情況下結點位移分量的統一編碼一般情況下結點位移分量的統一編碼 51 出版社 科技分社 (2)鉸結點的處理方法鉸結點的處理方法 先來定義兩類鉸結點：鉸結的桿件全部是鏈桿先來定義兩類鉸結點：鉸結的桿件全部是鏈桿或桁桿的全鉸結點，稱為或桁桿的全鉸結點，稱為全桁鉸

58、結點全桁鉸結點，簡稱，簡稱全桁鉸全桁鉸。鉸結的桿中有梁式桿的鉸結點，稱為鉸結的桿中有梁式桿的鉸結點，稱為梁鉸結點梁鉸結點，簡，簡稱稱梁鉸梁鉸。下面分別說明這兩類結點位移分量的編碼。下面分別說明這兩類結點位移分量的編碼方法：方法： a. 全桁鉸結點全桁鉸結點 全桁鉸結點一般出現在桁架和組合結構中，由全桁鉸結點一般出現在桁架和組合結構中，由于桿端轉角對桁桿單元來說無意義，為此約定相應于桿端轉角對桁桿單元來說無意義，為此約定相應轉角的位移分量編碼為轉角的位移分量編碼為“0”。如圖（。如圖（a）所示的桁）所示的桁架，四個鉸結點都是全桁鉸，所以每個轉角位移分架，四個鉸結點都是全桁鉸，所以每個轉角位移分量

59、的編碼都填入量的編碼都填入“0”。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 52 出版社 科技分社 又如圖（又如圖（b）所示組合結構的）所示組合結構的7結點，它所鉸結結點，它所鉸結的、三個單元也都是鏈桿，所以的、三個單元也都是鏈桿，所以7結點是結點是全桁鉸，它的第三個位移分量編碼應該填全桁鉸，它的第三個位移分量編碼應該填“0”。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 6543214(5,0,0)3(0,0,0)2(3,4,0)1(1,2,0)1(0,0,1)2(2,3,4)3(5,6,7)5(9,10,11)6(12,0,13)4(5,6,8)7(14,15,0)線位移一致無

60、意義分量無意義分量無意義分量無意義分量無意義分量12356C(a) 桁架(b) 組合結構74線位移一致6543214(5,0,0)3(0,0,0)2(3,4,0)1(1,2,0)1(0,0,1)2(2,3,4)3(5,6,7)5(9,10,11)6(12,0,13)4(5,6,8)7(14,15,0)線位移一致無意義分量無意義分量無意義分量無意義分量無意義分量12356C(a) 桁架(b) 組合結構74線位移一致53 出版社 科技分社 梁鉸結點梁鉸結點 梁鉸可能既鉸結了鏈桿又鉸結了梁式桿，處理梁鉸可能既鉸結了鏈桿又鉸結了梁式桿，處理梁鉸的方法是：梁鉸的方法是： 對梁鉸所鉸結的全部梁式桿，選取一