1、 主要內容本章介紹了勒貝格可測集和勒貝格測度的性質.    外測度和內測度是比較直觀的兩個概念，內外測度一致的有界集就是勒貝格可測集. 但是，這樣引入的可測概念不便于進一步討論. 我們通過外測度和卡拉皆屋鐸利條件來等價地定義可測集（即定義3.2.3），為此，首先討論了外測度的性質（定理3.1.1）. 注意到外測度僅滿足次可列可加（而非可列可加）性，這是它和測度最根本的區別.我們設想某個點集上可以定義測度，該測度自然應該等于這個集合的外測度，即測度應是外測度在某集類上的限制. 這就容易理解卡拉皆屋鐸利條件由來，因為這個條件無非是一種可加性的要求. 本章詳細地討論了勒

2、貝格測度的性質. 其中，最基本的是測度滿足在空集上取值為零，非負，可列可加這三條性質. 由此出發，可以導出測度具有的一系列其它性質，如有限可加，單調，次可列可加以及關于單調集列極限的測度等有關結論. 本章還詳細地討論了勒貝格可測集類. 這是一個對集合的代數運算和極限運算封閉的集類. 我們看到勒貝格可測集可以分別用開集、閉集、 型集和 型集逼近. 正是由于勒貝格可測集，勒貝格可測集類，勒貝格測度具有一系列良好而又非常重要的性質，才使得它們能夠在勒貝格積分理論中起著基本的、有效的作用. 本章中，我們沒有介紹勒貝格不可測集的例子. 因為構造這樣的例子要借助于策墨羅選擇公理，其不可測性的證明還依賴于勒

3、貝格測度的平移不變性. 限于本書的篇幅而把它略去. 讀者只須知道：任何具有正測度的集合一定含有不可測子集. 復習題一、判斷題1、對任意，都存在。（ ）2、對任意，都存在。（× ）3、設，則可能小于零。（× ）4、設，則。（ ）5、設，則。（× ）6、。（× ）7、。（ ）8、設為中的可數集，則。（ ）9、設為有理數集，則。（ ）10、設為中的區間，則。（ ）11、設為中的無窮區間，則。（ ）12、設為中的有界集，則。（ ）13、設為中的無界集，則。（× ）14、是可測集是可測集。（ ）15、設是可測集列，則，都是可測集。（ ）16、零測集、區間

4、、開集、閉集和Borel集都是可測集。（ ）17、任何可測集總可表示成某個Borel集與零測集的差集。（ ）18、任何可測集總可表示成某個Borel集與零測集的并集。（ ）19、若，則。（× ）20、若是無限集，且，則是可數集。（× ）21、若，則必為無界集。（ ）22、在中必存在測度為零的無界集。（ ）23、若，都是可測集，且，則。（× ）24、和都是可測集，且，。（ ）25、設為可測集，則。（× ）26、設為可測集，且，則。（× ）二、填空題1、若是可數集，則 0 ；為 可測 集； 0 。2、若為可測集，則 小于或等于 ；若為兩兩不相交的可

5、測集，則 等于 。3、設為可測集，則 大于或等于 ；若還有，則 大于或等于 。4、設為可測集，且，則 等于 。5、設為的內點，則 大于 。6、設為康托三分集，則為 可測 集，且 0 。7、 0 ， + 。8、敘述可測集與型集的關系 可測集必可表示成一個型集與零測集的差集 。9、敘述可測集與型集的關系 可測集必可表示成一個型集與零測集的并集 。三、證明題1、證明：若有界，則。證明：因為有界，所以，存在一個有限區間，使得，從而。2、證明：若，則為可測集。證明：對任意，因為，可得，所以，從而，所以，為可測集。3.設為0，1中的全體有理數，則.（10分）證明 因為為可數集， 記為 ，對任意，取，顯然,

6、 ,讓0得 ，從而是可測集且.證畢.4、證明：有理數集為可測集，且。證明：因為有理數集可數集，從而，所以，為可測集，且。5、證明：若，都是可測集，且，則；若，則上面的結論還是否成立。證明：因為，且，所以，。又，所以，。若，則上面的結論不一定成立。6、若中的區間為可測集，則中的開集為可測集。證明：由中開集的結構得，中的開集或為空集，顯然是可測集；或為至多可數個互不相交的開區間的并集，而區間是可測集，至多可數個可測集的并集還是可測集，所以，它還是可測集。綜上所述，結論成立。7.證明對任意可測集合A和B都有 證：因，又，所以又，故 于是得.移項即證畢.8.證明Cantor集合的測度為零.證：設cantor集合C，并設A是0,1中被挖去的點的集合.A=則,由于A為互不相交的開區間的并，故為可測集，于是