1、第二章第二章流體靜力學流體靜力學 無論是靜止的流體還是相對靜止的流體，流體之間沒有相對運動，因而粘性作用表現不出來，故切應力為零。本章學習要求本章學習要求: 流體靜力學主要研究流體平衡時，其內部的壓強分布規律及流體與其他物體間的相互作用力。它以壓強為中心，主要闡述流體靜壓強的特性、靜壓強的分布規律、歐拉平衡微分方程，作用在平面上或曲面上靜水總壓力的計算方法，潛體與浮體的穩定性，并在此基礎上解決一些工程實際問題。 2.1 流體的靜壓強及特性 2.2 流體平衡微分方程 2.3 流體靜力學基本方程 2.4 壓強的單位及測量儀表 2.5 靜止液體作用在壁面上的總壓力 2.6 阿基米德原理及固體在液體中

2、的沉浮問題 2.7 流體的相對平衡主要內容2.1流體靜壓強及其特性流體靜壓強及其特性 一、流體靜壓強一、流體靜壓強APpA 0limAPNoImage面積A的平均流體靜壓力流體靜壓力（流體靜壓強）靜止流體單位面積上所受的作用力NNpnP2.1流體靜壓強及其特性流體靜壓強及其特性 1、0yzxdxdydzpypxpzpnABC2.1流體靜壓強及其特性流體靜壓強及其特性 0yzxdxdydzpypxpzpnABC2.1流體靜壓強及其特性流體靜壓強及其特性 2.1流體靜壓強及其特性流體靜壓強及其特性 2.2流體平衡微分方程流體平衡微分方程 一、流體平衡微分方程一、流體平衡微分方程歐拉平衡方程歐拉平衡

3、方程 0612121）（ dxdydzXdydzpdydzpnx 在平衡流體中取一微元六面體，邊長分別為dx，dy，dz，設中心點的壓強為p(x,y,z)=p，對其進行受力分析： ）（dxdydzX61）（dxdydzZFz61y向受力表面力質量力根據平衡條件，在y方向有 ，即 流體平衡微分方程（即歐拉平衡方程）： 10pYy0,cos xnxFx npp）（Ylt4.swf2.2流體平衡微分方程流體平衡微分方程 物理意義： 處于平衡狀態的流體，單位質量流體所受的表面力分量與 質量力分量彼此相等。 壓強沿軸向的變化率（ ）等于軸向單位體積上的質量力的分量（X，Y，Z）。 pppd pd x d

4、 yd zxyz2.2流體平衡微分方程流體平衡微分方程 2.2.2、流體平衡微分方程的積分、流體平衡微分方程的積分 p = p (x, y, z)壓強全微分 式各項依次乘以dx, dy, dz后相加得： 1()pppX dx Y dy Z dzdxdydzxyzdWZdzYdyXdxdp)()(00WWppW勢函數)()()(000WWpppp2.2流體平衡微分方程流體平衡微分方程 三、帕斯卡原理三、帕斯卡原理 )()()(000WWpppp質量力（與p0無關）表面力如果靜止液體邊界處的壓強p0變為p0p0流體中任意點處的靜壓強變為0pp 處于平衡狀態下的不可壓縮流體中，任意點處的壓強變化值p

5、0將等值地傳遞到流體其它質點處。2.2流體平衡微分方程流體平衡微分方程 四、等壓面四、等壓面 等壓面（equipressure surface）：是指流體中壓強相等（p=const）的各點所組成的面。 只有重力作用下的等壓面應滿足的條件： 1.靜止； 2.連通； 3.連通的介質為同一均質流體； 4.質量力僅有重力； 5.同一水平面。 0 )( ZdzYdyXdxdp提問:圖中所示哪個斷面為等壓面? 0ZdzYdyXdx質量力與等壓面正交2.2流體平衡微分方程流體平衡微分方程 2.3流體靜力學的基本方程流體靜力學的基本方程一、重力作用下靜止液體的壓強分布規律一、重力作用下靜止液體的壓強分布規律

6、重力作用下靜止流體質量力： 代入流體平衡微分方程 在自由液面上有： z=H 時, p=p0 ( )d pX d x Y d y Z d z代入上式有: 0,XYZg dpgdzpgzC06121）（ dxdydzXSSS pdydzpABCOBCABCnxabsaVppp1.液體靜力學基本方程： 或 當 p0 = 0 時結論： 1）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強隨深度按線性規律增加。 2）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強等于表面壓強加上流體的容重與該點淹沒深度的乘積。 3）自由表面下深度h相等的各點壓強均相等只有重力作用下的同一連續連通的靜止流體的等壓面是水平面。 4）推

7、廣：已知某點的壓強和兩點間的深度差，即可求另外一點的壓強值。 ghpzHgpp00)(mmHgh7608 . 9106 . 1310130030absp2.3流體靜力學的基本方程流體靜力學的基本方程 2.3.3 靜止液體中的等壓面 由于等壓面與質量力正交，在靜止液體中只有重力存在，因此，在靜止液體中等壓面必為水平面。 對于不連續的液體或者一個水平面穿過了兩種不同介質連續液體，則位于同一水平面上各點壓強并不一定相同，即水平面不一定是等壓面。2.3流體靜力學的基本方程流體靜力學的基本方程abspa.絕對壓強（absolute pressure）：是以絕對真空狀態下的壓強（絕對零壓強）為基準計量的壓

8、強，用 表示, 。 2.3.4絕對壓強、絕對壓強、相對壓強、相對壓強、真空度真空度h gpp 12b. 相對壓強（relative pressure）：又稱“表壓強”，是以當地工程大氣壓(at) 為基準計量的壓強。用p表示， , p可“”可“ ”，也可為“0”。 )(aabsppc.真空（Vacuum）：是指絕對壓強小于一個大氣壓的受壓狀態，是負的相對 壓強。 真空值pv 101010pXxpYypZzOmHgpha2109800980002.3流體靜力學的基本方程流體靜力學的基本方程三者之間的關系如圖三者之間的關系如圖 或或歸納如下：歸納如下： 絕對壓強絕對壓強=大氣壓強大氣壓強 + 計示壓

9、強計示壓強 計示壓強計示壓強= 絕對壓強絕對壓強 大氣壓強大氣壓強 真空度真空度=大氣壓強大氣壓強 絕對壓強絕對壓強mmHgh7368 . 9106 . 139800031.幾何意義 2.3.5 流體靜力學的基本方程的幾何意義與能量意義流體靜力學的基本方程的幾何意義與能量意義423024RgdrrgR 測壓管高度位置水頭測壓管水頭靜壓高度位置水頭靜壓水頭2.3流體靜力學的基本方程流體靜力學的基本方程物理意義： 1. 僅受重力作用處于靜止狀態的流體中，任意點對同一基準面的單位勢能為一常數，即各點測壓管水頭相等，位頭增高，壓頭減小。 2. 在均質（g=常數）、連通的液體中，水平面（z1 = z2=

10、常數）必然是等壓面（p1 = p2 =常數）。 表明：液體平衡時，單位重量液體重力勢能與壓力能之和為常數，這里顯示了機械能守恒的意義。 位置水頭z ：任一點在基準面0-0以上的位置高度，表示單位重量流體從某一基準面算起所具有的位置勢能，簡稱位能。 測壓管高度 p/g：表示單位重量流體從壓強為大氣壓算起所具有的壓強勢能，簡稱壓能（壓強水頭）。 測壓管水頭（ z+p/g）：單位重量流體的總勢能。 2.3流體靜力學的基本方程流體靜力學的基本方程2.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器a. 應力單位: 這是從壓強定義出發，以單位面積上的作用力來表示的，N/m2Pa，MPa 106Pa, kN/ m2

11、 kPa，bar 105Pa 0.1MPa 10N/ cm2b. 大氣壓 標準大氣壓：1標準大氣壓(atm)=1.013X105Pa=101.3 kPa c. 液柱高 水柱高mH20：1atm相當于 2zh1at相當于 汞柱高mmHg：1 atm相當于 hpAg1at相當于 OmHgpha233.1098001013002.4.1壓強的計量單位壓強的計量單位kgf/ cm2 0.981bar二二.測壓計測壓計1) 測壓管 測壓管（pizometric tube）： 是以液柱高度為表征測量點壓強的連通管。一端與被測點容器壁的孔口相連，另一端直接 和大氣相通的直管。 適用范圍：測壓管適用于測量較小

12、的壓強，但不適合測真空。 1 液體壓力計2()()()(1 ) 1 2 .6()() ()H gABABWWWgppzzh hggg 如何用測壓管測真空度？2.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器2) 微壓計 被測點A的壓強很小，為了提高測量精度，增大測壓管標尺讀數，常采用以下兩種方法： )()(gg （1）將測壓管傾斜放置，此時標尺讀數為l，而壓強水頭為垂直高度h，則 11022Apgzpgz（2）在測壓管內放置輕質而又和水互不混摻的液體，重度 ，則有較大的h。 2211Apgzgz2.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器2 水銀測壓計與U形測壓計 適用范圍：用于測定管道或容器中某點流體

13、壓強，通常被測點壓強較大。 dAgdFFAp 2l sinl lBB等壓面： 132211ABppgzgzgz32100222()()()()H gABWWWgppzzz zzzzggg 2.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器三、壓差計三、壓差計 壓差計 空氣壓差計：用于測中、低壓差 油壓差計：用于測很小的壓差 水銀壓差計：用于測高壓差 適用范圍：測定液體中兩點的壓強差或測壓管水頭差。 壓差計計算 若A、 B中流體均為水，2為水銀， 則 singlghpAAlgFcsinAIAIFIgccccplllsinl002.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器2、U形水銀測壓計形水銀測壓計Pa1

14、Mh1h212等壓面p1=p+1gh1 p2=pa+2gh2所以 ： p+1gh1=pa+2gh2M點的絕對壓強為：p=pa+2gh2-1gh1 2.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器3、U形管差壓計形管差壓計 用來測量兩個容器或同一容器（如管道）流體中不同位置兩點的壓強差。因p1=p2 ，故若兩個容器內是同一流體，即A=B=12.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器當A，B在同一高程Z=0。整理：2.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器poz21解: z1+p1/ g =z2+p2/ gz = z1 z2 =(p2 p1)/ g = (79.68 64.0)103/(9.8800)z

15、 = 2m2.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器P03.5CMNhp解：如圖取MN平面為等壓面以相對壓強計：0=P0+HgghpP0=-Hgghp壓力表讀數C：PC=P0+ghC=ghC-Hgghp= 7.64KPa2.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器BA1hpZ解： 由前述差壓計公式：測壓管水頭差：2.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器例2.4 如圖三組串聯U型水銀測壓計，求A點的壓強。解：2.4壓強單位和測壓儀器壓強單位和測壓儀器討論質量力僅為重力時平衡流體對壁面的作用力。討論質量力僅為重力時平衡流體對壁面的作用力。一、固體平面壁上的作用力一、固體平面壁上的作用力 （大小、方

16、向、作用點）（大小、方向、作用點）考察平面壁考察平面壁AB上的作用力。建立坐標上的作用力。建立坐標 lom如圖。如圖。1、平板上的作用力（大小）、平板上的作用力（大小）微元面積微元面積dA上的壓強：上的壓強：p = p0 + gh微元面積微元面積dA上的微小作用力為上的微小作用力為dFdF = ( p0 + gh ) dA = ( p0 + glsin ) dA2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力整個平板整個平板AB上的作用力上的作用力 F 應為：應為：F = AdF = A p0dA + + A g l sin dA = p0A + g sin AldA式中：式中：

17、 AldA = lCA 式中：式中：lC 平面平面A形心形心C點的點的 l 軸坐標。軸坐標。2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力則則 F = p0A + g sin lC A = ( p0 + ghc )A = pCA式中式中: hC 平面平面A形心形心C處的液深；處的液深； pC C點處的壓強。點處的壓強。上式表明：上式表明：重力作用下，靜止液體對平面壁的作重力作用下，靜止液體對平面壁的作 用力等于用力等于平面形心處的靜壓強平面形心處的靜壓強與平面面積的乘積。與平面面積的乘積。2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力第五節第五節靜止液體作用在壁

18、面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力2. 總壓力作用點（壓心） 合力矩定理（對Ox軸求矩）： 面積慣性矩： 式中：Io面積A 繞Ox 軸的慣性矩。 220ccAAyIdAyIIc面積A 繞其與Ox 軸平行的形心軸的慣性矩。 結論：1）當平面面積與形心深度不變時，平面上的總壓力大小與平面傾角無關； 2）壓心的位置與受壓面傾角無關，并且壓心總是在形心之下.只有當受壓面位置為水平放置時，壓心與形心才重合。 （二）圖解法（二）圖解法 適用范圍：規則平面上的靜水總壓力及其作用點的求解。 原理：靜水總壓力大小等于壓強分布圖的體積，其作用線通過壓強分布圖的形心，該作用線與受壓面的交點便是壓心P。 例題：

19、用圖解法計算解析法中例例題：用圖解法計算解析法中例1的總壓力大小與壓心位置。的總壓力大小與壓心位置。 2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力例例2.5 題：某水壩用一長方形閘門封住放水口。閘門題：某水壩用一長方形閘門封住放水口。閘門 高高 L = 3 m ，寬，寬 B = 4 m ，閘門兩邊水位分別為，閘門兩邊水位分別為 H1= 5 m ，H2 = 2 m ，閘門垂直放置，試確定：閘門，閘門垂直放置，試確定：閘門的受力情況及作用點的受力情況及作用點. 解：解：1、作用在閘門右側的總壓力為：、作用在閘門右側的總壓力為：總壓力總壓力 F1 的作用點：的作用點：作用在閘門左側

20、的總壓力為：作用在閘門左側的總壓力為：總壓力總壓力 F2 的作用點：的作用點： 例例2.6 2.6 傾斜閘門AB，寬度為B=1m（垂直于圖面），A處為鉸接軸，整個閘門可繞此軸轉動，如圖2.20所示。已知：H=3m；h=1m；閘門自重鉸接軸處的摩擦力可略去不計。求：升起此閘門時所需垂直向上的拉力。根據式（2.5.5），壓力中心D到鉸軸A的距離為由圖2.20知，x的值應為根據理論力學矩平衡原理。當閘門剛剛轉動時，力P,T對鉸接軸A的力矩代數和為零，即因此AgVdAghPzzz)(1）水平分力Fx 結論：作用于曲面上的靜水總壓力F的水平分力Fx等于作用于該曲面的垂直投影面（矩形平面）上的靜水總壓力，

21、方向水平指向受力面，作用線通過面積Az的壓強分布圖體積的重心。 Ylt3.swf2.5.2作用在曲面壁上的總壓力作用在曲面壁上的總壓力2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力xxAxxAxxxAghAghgzdAgzdAgzdAgzdAPxx0021)( )(AgVdAghPzzz)(1）水平分力Fx 結論：作用于曲面上的靜水總壓力F的水平分力Fx等于作用于該曲面的垂直投影面（矩形平面）上的靜水總壓力，方向水平指向受力面，作用線通過面積Az的壓強分布圖體積的重心。 Ylt3.swf2.5.2作用在曲面壁上的總壓力作用在曲面壁上的總壓力2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止

22、液體作用在壁面上的總壓力HRgRR 222221221 Ylt6.swf2）垂直分力Fz 式中：Vp 壓力體體積 結論：作用于曲面上的靜水總壓力F的鉛垂分力Fz等于該曲面上的壓力體所包含的液體重，其作用線通過壓力體的重心，方向鉛垂指向受力面。 2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力xxAxxAxxxAghAghgzdAgzdAgzdAgzdAPxx0021)( )(xxAxxAxxxAghAghgzdAgzdAgzdAgzdAPxx0021)( )(三、壓力體的概念三、壓力體的概念 積分式積分式 Azh dAz 純幾何體積。純幾何體積。定義：定義：由所研究的由所研究的曲

23、面曲面A，通過曲面，通過曲面A的周界（外的周界（外緣）所作的緣）所作的垂直柱面垂直柱面，以及對曲面，以及對曲面A有作用的有作用的液體液體自由液面自由液面（或其延伸面）所圍成的封閉體積，用（或其延伸面）所圍成的封閉體積，用VF表示，稱為壓力體。表示，稱為壓力體。壓力體液重：壓力體液重： gVF 2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力實壓力體實壓力體 壓力體與受壓面同側。壓力體與受壓面同側。虛壓力體虛壓力體 壓力體與受壓面異側。壓力體與受壓面異側。2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力 曲面壓力體及其繪制方法一 曲面壓力體及其繪制方法二 曲面壓力體及

24、其繪制方法三 曲面壓力體及其繪制方法四 曲面壓力體及其繪制方法五 曲面壓力體及其繪制方法六2121xxxxxgzdAgzdAdPdPP Ylt2.swf22ZXFFF)(tan1XZFF3）總壓力 作用在曲面上的靜水總壓力 與水平面的夾角： 作用線：必通過Fx ，Fz的交點，但這個交點不一定位于曲面上。對于圓弧面，F作用線必通過圓心。 F的作用點作用在F作用線與曲面的交點。 ghp0yF0 xP2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力曲面上的靜水總壓力的計算步驟 計算水平分力 正確繪制曲面的鉛垂投影圖，求出該投影圖的面積及形心深度，然后求出水平分力； 計算鉛垂分力 正確繪

25、制曲面的壓力體。壓力體體積由以下幾種面圍成：受壓曲面本身、通過曲面周圍邊緣作的鉛垂面、液面或液面的延長線。鉛垂分力的大小即為壓力體的重量； 總壓力的合成 總壓力的大小利用水平分力及鉛垂分力通過求合力的方法求得。 2.5靜止液體作用在壁面上的總壓力靜止液體作用在壁面上的總壓力 () ()022p d yp d ypd x d zpd x d z d x d y d zyy 浮力 浮力：即在阿基米德定律中，物體所受到的具有把物體推向液體表面傾向的力的合力，即為浮力。浮力方向總是鉛垂向上。 浮心：即浮力的作用點，該浮心與所排開液體體積的形心重合。 浸沒物體的三態 浸沒于液體中的物體不受其他物體支持時

26、，受到重力G和浮力FZ作用，所以物體有下列三態： （1）沉體：當GFZ，下沉到底的物體。 （2）潛體：當G=FZ，潛沒于液體中任意位置而保持平衡 即懸浮的物體。 （3）浮體：當GFZ，上浮至水面呈漂浮狀態的物體。 2.6阿基米德原理及固體在液體中浮沉問題阿基米德原理及固體在液體中浮沉問題2.6阿基米德原理及固體在液體中浮沉問題阿基米德原理及固體在液體中浮沉問題2.6.1阿基米德定律阿基米德定律-浮力定律浮力定律完全完全浸沒在流體中的物體稱為潛體潛體。當物體部分浸沒在流體中，部分露出在自由液面之上時稱為浮體浮體。PcABABAXXAzVghgVhdAghdAgFXX （1）水平方向的受力問題 在

27、水深為z的地方，自潛體中劃取一垂直投影面積為dAx1=dAx2=dAx的微元水平棱柱體，如圖2.24a所示。由式（2.5.9），此棱柱體在軸方向所受的水平壓力為 參照式（2.5.12），將上式右邊對潛體的垂直投影面積Ax進行積分，則此潛體在x軸方向上所受的水平壓力為 則Vg1gs（2）垂直方向的受力問題g1VPzgMgsssssz11g1s0VV)(PGG 采用類似的方法，自潛體中劃取一個上部水深為Z1、下部水深為Z2、水面投影面積為 的微元垂直棱柱體，如圖2.24（b）所示。參考（2.5.9），此棱柱體在Z軸方向所受的垂直壓力為 參照（2.5.11），將上式右邊對潛體的水平投影面積 進行積分

28、，此潛體在 軸方向上所受力的壓力為 (2.6.1) 可以證明浮力作用線通過物體所排開的流體體積的重心，對均質物體來說，重心也是該物體體積的幾何中心，稱浮心。2.6.2 固體在液體中的浮沉問題（1）固體有液體介質中的重量設： 表示浸沒在液體介質中的固體體積； 表示浸沒在固體的重度； 表示液體介質中的重度。固體在液體介質中所受的浮力 固體在液體介質中的重量為a 物體在靜止流體中所受到的靜水總壓力，僅有鉛垂向上的分力，其大小恰等于物體（潛體、浮體）所排開的液體重量。 ）（ZdzYdyXdxdp二、潛體二、潛體的平衡與穩定性的平衡與穩定性 潛體的平衡條件是：重力G與浮力FZ大小相等，方向相反，作用在同

29、一 鉛垂直線上。 ）（ gdzadydp 潛體平衡的穩定性：是指遇到外界擾動，潛體傾斜后，恢復它原來平衡狀態的能力。 潛體的穩定平衡條件：重力G與浮力FZ大小相等，且重心C在浮心D之下。 潛體平衡的三種情況 隨遇平衡：重心C與浮心D重合 穩定平衡：重心C在浮心D之下 不穩定平衡：重心C在浮心D之上 2.6阿基米德原理及固體在液體中浮沉問題阿基米德原理及固體在液體中浮沉問題ghpygaZHgpp00）（0 ）（gdzady2.6阿基米德原理及固體在液體中浮沉問題阿基米德原理及固體在液體中浮沉問題三、三、浮體浮體的平衡與穩定性的平衡與穩定性 浮體的平衡條件：重力G與浮力Fz大小相等，方向相反，作用

30、在同 一鉛垂直線上。 浮體的平衡穩定性 對于浮體，重心C高于浮心D時，它的平衡也有穩定的可能，這是因為浮體傾斜后，浸沒在水中的那部分形狀改變了，浮心位置也隨之移動。 CygaZ2.6阿基米德原理及固體在液體中浮沉問題阿基米德原理及固體在液體中浮沉問題 相對平衡流體所受的質量力：重力相對平衡流體所受的質量力：重力慣性力慣性力2- -7 液體的相對平衡液體的相對平衡 除了重力場中的流體平衡問題以外，還有一種除了重力場中的流體平衡問題以外，還有一種在工程上常見的所謂液體相對平衡問題：液體質點在工程上常見的所謂液體相對平衡問題：液體質點彼此之間固然沒有相對運動，但盛裝液體的容器或彼此之間固然沒有相對運

31、動，但盛裝液體的容器或機件卻對地面上的固定坐標系有相對運動。如果我機件卻對地面上的固定坐標系有相對運動。如果我們把運動坐標取在容器或機件上，則對于這種所謂們把運動坐標取在容器或機件上，則對于這種所謂的非慣性坐標系來說，液體就成為相對平衡了。的非慣性坐標系來說，液體就成為相對平衡了。工程上常見的流體的相對平衡有兩種：工程上常見的流體的相對平衡有兩種： 1、作勻加速直線運動容器中的液體；、作勻加速直線運動容器中的液體； 2、作等角速旋轉運動容器中的液體。、作等角速旋轉運動容器中的液體。0CZygagp）（0ZyHHygaZss2.7液體的相對平衡液體的相對平衡 根據達朗貝爾原理,在運動的液體質點上

32、加上慣性力便可將液體質點隨容器運動的動力學問題按靜力學來研究。Cgzyx 222222 Cgzr22202022zgr0CZygagp）（0ZyHP0積分：積分：grz2220gvgRHC22222 2.7液體的相對平衡液體的相對平衡 二、討論作等角速旋轉運動容器內液體的相對平衡討論作等角速旋轉運動容器內液體的相對平衡 如圖所示，盛有液體的圓如圖所示，盛有液體的圓柱形容器繞鉛垂軸柱形容器繞鉛垂軸z 以角速度以角速度作旋轉運動，液體被甩向外作旋轉運動，液體被甩向外周。當旋轉角速度周。當旋轉角速度穩定不變穩定不變時，液體形成如圖所示的自由時，液體形成如圖所示的自由表面，液體質點之間不再有相表面，液

33、體質點之間不再有相對運動對運動,液體連同容器作整體液體連同容器作整體回轉。如果將運動坐標系固結回轉。如果將運動坐標系固結在回轉容器上在回轉容器上,且坐標原點取且坐標原點取在自由液面的最低點，則液體在自由液面的最低點，則液體對運動坐標系形成相對平衡。對運動坐標系形成相對平衡。 ru 容器作等角速回轉運動容器作等角速回轉運動下面討論其靜壓強分布規律和等壓面方程。下面討論其靜壓強分布規律和等壓面方程。單位質量液體所受質量力的各分量為：單位質量液體所受質量力的各分量為： fx = 2 r cos= 2x fy = 2 r sin = 2y fz = g 式中：式中：r 流體質點到旋轉軸的距離；流體質點

34、到旋轉軸的距離； x、y r 在兩水平坐標軸上的投影。在兩水平坐標軸上的投影。 此時作用在液體上的質量力有兩種：此時作用在液體上的質量力有兩種： 重力重力 W = mg 虛構的離心慣性力虛構的離心慣性力 F = m2 r（方向與向心（方向與向心加速度的方向相反）加速度的方向相反） 將各單位質量力的分量代入等壓面微分方程式，將各單位質量力的分量代入等壓面微分方程式，可得：可得：2x dx + 2y dy g dz =0 gugrz222220 作不定積分得：作不定積分得：一、等壓面方程一、等壓面方程 在等壓面上在等壓面上 p = C 則則 dp = 0 由平衡微分方程式的綜合表達式可得由平衡微分

35、方程式的綜合表達式可得等壓面等壓面微分方程式微分方程式： xdx+ydy+zdz=0 或或:自由表面方程：自由表面方程：在自由表面上，當在自由表面上，當r=0時，時，z=0，可得積分常數，可得積分常數C=0，故自由表面方程為：故自由表面方程為：rdrgrrdrzRRV2220220 0aabspppYlt5.swf或或:等角速旋轉容器中等角速旋轉容器中液體的等壓面方程液體的等壓面方程可見等壓面是一簇繞可見等壓面是一簇繞 z 軸的旋轉拋物面。軸的旋轉拋物面。上式中上式中：z 0 超高（自由表面上任一點的超高（自由表面上任一點的z坐標，即坐標，即自由表面上的點比拋物面頂點所高出的鉛直距離）自由表面

36、上的點比拋物面頂點所高出的鉛直距離）液面的最大超高為：液面的最大超高為：式中：式中：R 容器的內半徑；容器的內半徑； vc 容器內半徑處的圓周速度。容器內半徑處的圓周速度。grzzs2220ru gRzz2220式中：式中：該點的圓周速度。該點的圓周速度。HRZZRZR2022)(21則則 在在Oxy 坐標平面以上的旋轉拋物體內的坐標平面以上的旋轉拋物體內的液體體積為液體體積為 上式說明上式說明,圓柱形容器中的旋轉拋物體的體積圓柱形容器中的旋轉拋物體的體積,恰好是高度為最大超高的圓柱形體積之半。恰好是高度為最大超高的圓柱形體積之半。Hzz20gRHz22122gRHz221220例2.9 如圖

37、圓桶，內徑R，原盛水深H，現以角速度旋轉，試求運動穩定后容器中心及邊壁處水深。解：Z0HP0Z由自由液面公式HygaZss容器邊點與中心點處水深差：2/92. 3)(smZHygass幾何上，旋轉拋物體體積是同底等高圓柱體體積的 一半化簡：dAdAzdAzdPdPPzzzzzzghgg 2121聯立得：zczAXXAghhdAgFdFz2.7液體的相對平衡液體的相對平衡例2.10水車沿直線等加速行駛，長3m，寬1.5m，高1.8m。盛水 深度1.2m，問試使水不溢出，加速度a允許值是多少？0CZygagp）（0Zy1.81.2解：由自由液面方程所以：2.7液體的相對平衡液體的相對平衡例例2.1

38、1 有一圓筒，直徑為0.60m，高1m，里面盛滿了水。如果它繞其中心軸以60r/min的轉速旋轉，問：（1）能有多少水溢出？（2）作用于距中心線0.2m處容器地面上的壓強為多大？解解（1）先求旋轉角速度溢出水的體積應等于拋物體的體積，如圖2.31所示。即代入式得0Cpg H根據題意，求HNoImageNoImage代入式得NoImage(2)半徑0.2m處A點對應水面B與最低水面C的垂直距離z由下式求得NoImageA點處的水深hh/m=1-H+z=1-0.18+0.081=0.901NoImageNoImage小小 結結 流體靜力學主要研究流體在靜止狀態下的力學規律。靜止流體中流體靜力學主要研究流體在靜止狀態下的力學規律。靜止流體中粘性不起作用，表面力只有壓應力。所以流體靜力學的核心問題是以粘性不起作用，表面力只有壓應力。所以流體靜力學的核心問題是以壓強為中心，主要闡述流體靜壓強的特性、歐拉平衡微分方程、靜壓壓強為中心，主要闡述流體靜壓強的特性、歐拉平衡微分方程、靜壓強的分布規律、作用在平面壁或曲面壁上的靜壓力的計算方法等。強的分布規律、作用在平面壁或曲面壁上的靜壓力的計算方法等。掌握以下基本概念：絕對壓強、相對壓強、真空度、測壓管水頭、壓掌握以下基本概念：絕對壓強、