1、航海數學航海數學Nautical MathematicsSeptember 7, 2015武漢理工大學武漢理工大學 航運學院航運學院劉文劉文第一章第一章 航海數值內插法航海數值內插法 插值法是一種古老的數學方法，早在一千多年前的隋唐時期定制歷法時就廣泛應用了二次插值。劉焯將等距節點的二次插值應用于天文計算。 插值理論卻是在17世紀微積分產生后才逐步發展起來的，Newton插值公式理論是當時的重要成果。 由于計算機的使用以及航空、造船、精密儀器的加工，插值法在理論和實踐上都得到進一步發展，獲得了廣泛的應用。在航海數值計算中，經常要用到一些專用表冊，如：航海表、吃水差表等等，這些表冊都是按一定的函

2、數關系編排的，如： 數值內插在航海工程中的意義數值內插在航海工程中的意義 根據已知的x值，查表可求得y值，但是表內不可能一一列出全部y值，當所求的函數值y正好在兩表列數值之間，利用表列數據間的引數求y值的方法稱為內插法。內插法：內插法：利用函數表冊，根據任意居間引數查取相應函數的方法。 內插分類：內插分類：a：按使用目的： 正內插已知引數求函數； 反內插已知函數求引數。b b：按引數的個數：按引數的個數： 單內插、雙內插、三內插c c：按函數的性質：按函數的性質： 線性內插、變率內插、高次內插第一節第一節 比例內插比例內插 (Proportional Interpolation)一比例單內插一

3、比例單內插 (proportional single interpolation)1比例正內插 已知 求 。 比例內插公式：Ox0y0 x1y1xyf(x)xyabced 比例內插的幾何意義：用表列引數兩點的直線代替曲線進行內插，即以弦代替曲線進行內插。結論：1）f(x)為線性函數，求得的y值沒有誤差 2) f(x)為非線性函數，求得的y值有df誤差 Ox0y0 x1y1xyf(x)xyabcedf：對非線性函數，表間距越小，利用線性內插求得的函數值的誤差越小。但是表的篇幅會增大。 Ox0y0 x1y1xyf(x)xyabcedf：只要在誤差允許的范圍內，均可采用線性內插。例211：設物標高h

4、，垂直角，水平距離Dh ctg，利用該式編表如下： （1）求4，h13.4m時的D*？ （2）求5，h13.4m時的D*？ 2. 比例反內插比例反內插 (inverse proportional interpolation) 內插的逆運算，已知求？ 內插的逆運算，已知求？ 比例內插公式 比例反內插公式 二二. 比例雙內插比例雙內插 (proportional double interpolation)當函數有兩個自變量時，用比例雙內插求近似解。比例雙內插是比例單內插的自然推廣。比例單內插是比例雙內插的特殊情形。比例雙內插可按照比例單內插的計算方式進行計算。例212：由例211的計算結果，求h1

5、3.4m，4.4時的D？ 例212：由例211的計算結果，求h13.4m，4.4時的D？ 例212：由例211的計算結果，求h13.4m，4.4時的D？ 例213：由例211的計算結果，求h13.5m，3.5時的D？ 第二節第二節 變率內插變率內插 (Interpolation by Rate of Change) 當函數是非線性函數時，如果用比例內插計算將會導致一定的計算誤差為了盡量減小該誤差，則引進了變率內插。 當函數是非線性函數時，如果用比例內插計算將會導致一定的計算誤差為了盡量減小該誤差，則引進了變率內插。 一一. 變率單內插變率單內插 (single interpolation by

6、 rate of change)利用表中給出的函數變化率進行內插。 變率變率比例比例區別：區別：比例內插只依賴于兩點間連線的斜率；變率內插依兩點間局部斜率的變化而變化。l（1） 用比例內插 y5.5l（2） 用x2變率內插l y44（2.32）5.2l（3） 用x3變率內插l y96（2.33）4.8l（4） 用yx2直接計算l y5.294684916234yxdydx例221：用yx2造表，求x2.3時的y？分析：分析： 比例內插誤差大； x2的變率內插較準。結論：結論：使用變率內插時，為減小誤差，應使用最接近實際引數的表列引數所對應的函數為基準 。yxof(x)x0y0 x1y1xyypyx0yx1變率內插的幾何意義： l準確值yl按x0變率內插，為yx0l按x1變率內插，為yx1l yx0 最接近準確值y 。 l按比例內插，為yp二二. 變率雙內插變率雙內插 (double interpolation by rate of change)令函數的表達形式為在點處的泰勒展開為 即 例222：求h13.4m，4.4時的D？ 總結總結查算由非線性函數造的函數表，不論用比例內插還是變率內插都會導致一定的誤差。在精度允許的情況下可采用任意一種