1、聿例題1:已知ABC的底邊BC=2，高AD=1，在BC上任取一點M,過M作MN/AC,交AB于N,作MP/AB交AC于P,試求M點在何處時，MNP的面積最大？高中數學培優講座肆袁螞第四講：平面幾何證明基本方法一一代數法（參量、三角、坐標、向量）唐袂（一）參量法、三角法腿膈量對于某些平面幾何問題，倘若能將其看做代數問題的實際應用或轉化為代數問題 來處理，則既不失幾何證明或求解的優美，又能為我們提供了更為靈活、廣闊的求解 途徑。通過代數概念，應用代數知識，借助參數、三角、坐標、向量等代數工具，將 幾何問題轉化為代數運算，從而解決平面幾何問題，這種方法稱之為代數法蒲膈芳期1.1參量法、三角法:剖析眾

2、多的數學間題，尤其是綜合性較強的數學題，常因條 件之間的關聯比較隱蔽、松散而表現得錯綜復雜，這時，我們如能仔細分析比較題設 條件之間或條件與結論之間的異同點，以及潛存著的數量關系或位置關系上的特殊聯系，抓住其中的共性量，將其作為承上啟下。左右逢源的參（媒介）量，圍繞它來展開變換、推證和運算而最后又消去它，這樣常能方便地認清解題途徑，恰當而適時地將 各條件納人解題過程，并運用各有關條件和定理、性質，靈活地獲得所需的結論。我們把這種引人量求解數學間題的方法稱之為參量法，參量法是一種代數法薄（2）線段比參量：羈例題2:如圖，在四邊形 ABCD中， ABD、 BCD、 ABC的面積比是 3:4:1，點

3、 M、N分別在 AC、CD上， 且滿足 AM : AC = CN : CD ,若B、M、N三點共線，求 證：M、N分別是AC、CD的中點.希求解平面幾何問題的參量法，常引人線段、比值、角度等作為參量。特別應當注 意到引入角度參量后，運用三角知識，進行三角運算以及運用正弦定理、余弦定理等 來溝通幾何與三角的關系而求解平面幾何間題的方法又稱之為三角法.蟻（1）線段參量：線段是幾何圖形的基本元素之一，它對幾何圖形的位置、形狀、大小等，起著十分明顯的作用.在解決幾何問題時，選取一條或幾條線段，用一個或幾個字母表示它們，以便于結合代數知識對線段進行必要的運算或由線段表達式的變形來溝 通已知與可知，未知與

4、需知以及它們之間的聯系Bm D芨 n 螃曹 莆蠅曹蟆裳螂節賺w荒> （3）角參量：襖 例題3：如圖，設 A1、A2是 ABC的BC邊上的兩點,2若 /BAA =/CAA2 ，求證：.AB-7 ="& BA2AC2 CA1 CA2薜高中數學培優講座輯第四講：平面幾何證明基本方法一一代數法（參量、三角、坐標、向量）肇（二）坐標法、向量法妨1.2坐標法:在求解平面幾何間題時，我們把通過建立坐標系，將幾何的基本對象（點）和代數的基本對象（數）聯系起來，使平面圖形問題轉化為有關點的坐標的代數問題來研究求解的方法稱之為坐標法.坐標法是16世紀數學領域最重要的成果之一。今天，坐標法的

5、內容更加豐富多彩，它提供了把幾何量代數化的多種途徑，它是數形結合的橋梁.采用坐標法求解平面幾何問題，需注意的是：（1）盡可能將平面幾何問題化為簡單的代數問題。為此，需要選擇恰當的坐標系，采用便于推導的方程形式，結合并利用幾何知識，注意各表達式的幾何意義等；（2）要善于運用各種代數技巧，還要注意式的對稱性、輪換性，選用合適的坐標系，巧妙地消元，并有條不紊地推演計算.劉（1）證明角相等：也例題1:如圖，給定任一銳角ABC及高AH,在AH上任取一點D,連BD并延長交AC于E,連CD且延長交AB于F,求證：/AHE=/AHF.0芾（2）證明三點共線（平行）犀例題3：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD

6、,BC=CD，過AC、BD的交點兩條直線，分別交AD于E,交BC于F,交AB于G,交CD于H,GF、EHBD于I、J,求證：IO=OJ.O任作分別交董1.3向量法:我們把運用向量研究、求解有關數學問題的方法稱之為向量法，向量法的特初例題2：設H為銳角ABC的垂心，由A向以BC為直徑的圓作切線AP、AQ,切點是形數結合，運算有法可循，因此向量法既有綜合法的靈巧，又有坐標法的方便，能把綜點分別為 P、Q,求證：P、H、Q三點共線.合法與坐標法有機地結合在一起甲因而平面幾何問題如用向量法來研究與求解，往往顯得明yAQ快、簡潔和容易人手，它克服了幾何綜合論證中常常需要添置若干輔助線而顯得不易捉摸的缺點

7、，同時又因為向量公式不依賴于坐標系，故向量法較之坐標法也具有一定的優越性覆（1）證明線段問題:設ABC的條中線交于點AB2BC2CA2=3(OA2OB2OC2).蒙（3）證明線段相等:DxC蟆（2）證明垂直問題:刷例題2：如圖，設O是等腰三角形ABC的外心，D是AB的中點，E是ACD的重心，且AB=AC,求證：OELCD.螃筮祎瞧（3）證明角度問題：薄例題3:如圖，在ABC中，AB>AC,BE、CF分別為AC、AB邊上的中線，且BE、CF交于點O。求證：/OBC>/OCB.以下無正文僅供個人用于學習、研究；不得用于商業用途tojibkoAJiajiioAeakpTOpwenojibsymaiflOidyHeHMiac,1eaob團hhhaoji>kheiHcnojib3OBaTbCHbMOMMepnecKHxuejiax.Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfurStudien,Forschung,zu