1、第3章 有限元基本理論摘要：從一般的邊值問題數值解理論出發，講解了有限元法的基本過程和基本理論。有限元法基本過程包括問題幾何區域的離散、近似解待定參數的確定、方程的建立等；基本理論包括單元的分類、單元形函數的性質、等參單元、單元積分和節點等。本章講述的內容不受應用領域的限制。有限元法是為了解決結構分析而發展起來的一種新的數值方法。經過近50年發展，它不但是結構分析強有力的工具，而且，在結構分析獲得重大成功后，其理論也已日趨成熟，商務化軟件系統也已有一定規模和數量，在其它領域邊值問題的數值計算方面同樣獲得巨大成功。設由邊界圍成區域，其基本解為未知函數的某一連續介質邊值問題。在第一章中我們將此問題

2、轉化成等效積分形式，并用加權殘數法進行數值解；第二章中對具有泛函極值形式的問題采用Litz進行數值解。但是以上兩章并沒有解決數值解中的試探函數（有限元中稱形函數）的選取問題。有限元方法的關鍵是待定參數和形函數的選取及計算，那么采用有限元數值解法，需要經過哪些基本理論和過程呢？§3.1 有限元法概述3.1.1 區域的離散化將區域近似地離散成有限數量的，基本形狀有一定限制的，尺寸遠小于和的子區域集，稱為有限單元（Element）集，它的元素稱單元，記為或，對每個單元給予編號，即(3.1.1)單元e節點單元邊界1e11e3e42e2ei2圖1.2單元位置與形狀由結點控制圖1.3單元協調性圖

3、1.1區域離散成單元單元的基本形狀可根據的幾何維數選擇，例如一維幾何區域為線單元；二維區域可選擇三角形或四邊形單元；而三維區域選擇四面體、五面體和六面體單元等。圖1.1的平面區域被離散成有限個三角形單元，詳細的單元分類和性質請見3.3的討論。控制單元形狀和位置的點稱為單元節點（element node,也有稱結點或接點），簡稱節點（Node），例如圖1.2。節點的集合記為，稱節點集，并給予編號，即(3.1.2)圍成單元的幾何元素稱為單元邊界，例如圖1.2中四邊形單元的四條邊（edge）、四個頂點節點和四個中間節點都屬于單元邊界。單元邊界比之單元在幾何維數上要低，根據幾何維數不同，單元邊界又可以

4、分單元面、單元邊、單元節點。在離散區域時，為了保證問題解的唯一性和連續性，兩相鄰單元的邊界必須保持完全重合，即單元邊界的節點被相鄰單元完全共享。例如圖1.3中的節點1被單元與共享，而節點2被與四個單元共享。如何保證單元之間的問題解的連續性將在3.3、3.4節中討論。3.1.2 確定待定參數集在第一章中已經指出，邊值問題的數值解是待定參數矢量集的線性組合(3.1.3)設節點的問題解的值為，組成的集合記為，即(3.1.4)雖然還不能完全等同近似解的待定參數集，但如果試探函數看成是對插值函數，從矢量運算角度考慮，(3.2.3)可以改寫成和(3.1.5)其中試探函數（插值函數）在有限元中稱為形函數（s

5、hape function），所以在得到后，就獲得了問題的近似解，只是選定合適的形函數。例如，圖1.4由四個四邊形單元組成固體力學平面應力應變問題，則由所有單元節點位移矢量所組成，簡稱位移矢量。所以問題的單元集、節點集和位移矢量分別為在中，并不是所有參數是待定的。在本質邊界上，節點的值是確定，在混合邊界上，節點的受到邊界條件方程的約束。例如固體力學問題位移解法中，位移邊界上節點的位移值屬于已知，混合邊界上節點的位移受混合邊界條件方程約束。但是不管節點的值如何獲得，(3.1.5)的近似式仍然成立。所以在有限元方法對單元討論，暫時把看成待定參數集，只是在后面求界待定參數方程組時，把已知的參數和約束

6、方程代入方程組，從而減少方程組的數量，詳細討論見下章討論。3.1.3 單元形函數的基本要求在單元中，設有個節點。為了分析方便，節點的編號仍然采用1至，稱之為局部編號以區別節點的整體編號。記第個單元局部節點的問題解在有限元法中采用以下假定：1） 單元內的問題解近似值只是該單元節點問題解的值所決定，與其他單元問題解的值無關。2） 問題解的每個分量都采用相同的形函數。所以單元內近似解的插值的矢量形式和分量形式為(3.1.6)其中為單元內問題解的第個分量，為單元的第個節點的形函數，是第個節點的的第個分量。以上插值顯然是Langrange插值法，只保證了近似解的階連續。如果要提高問題解連續性階數，則需采

7、用Hermite插值法，這時以上第一條假定得取消。為了保證問題解的唯一性和單元之間問題解的連續，（3.1.6）式形函數必須滿足以下性質：2019181615151413121017115654321897圖1.5六面體20結點單元1）唯一性：在每個節點上插值函數的值有 (3.1.7)2）連續性：單元邊界（或是單元面，或是單元邊，或是單元節點）上的形函數值，除了此邊界上節點的形函數外，其他節點的形函數必須為0，即 (3.1.8)單元邊界可以是。例如圖1.5三維20節點的六面體單元，節點1、2、6和5圍成一個單元面，此面上的形函數值除了1、2、5、6、9、10、13和17節點的形函數外，其他節點的

8、形函數必須等于0；節點1、2組成的單元邊，此邊上的形函數值除了1、2和13節點外，其他節點的形函數必須等于0。把此原則推廣到單元的節點上便得到以上第一條性質。滿足(3.1.8)式也就滿足了單元與單元的交接邊界上，問題解的插值是連續的。3） 常數性：如果單元上每個節點的問題解值相同，則此單元內每個坐標的問題解值也相同，即：所以有： (3.1.9)常數性在固體力學中可解釋為保證單元的插值能反映剛體位移。以上三點性質是選擇單元形函數的必要條件。例1.研究圖1.6所示平面問題節點三角形單元的形函數。對于任意一點坐標，節點1、2、3（按逆時針方向）的形函數分別取為 (3.1.10-1) (3.1.10-

9、2) (3.1.10-3)其中為三角形面積，含義見圖1.6。此3個節點的形函數滿足了以上提出的三點性質要求，顯然它們都是坐標的線性插值函數。3.1.4 建立待定參數計算方程因為有限元法中單元內的問題解近似值只取決所在單元節點的問題解值，與其他節點的解值無關，所以對于迦遼金法，其區域和邊界的等效積分(1.4.6)可以變成 (3.1.11)等效“弱”積分形式(1.4.7)變成 (3.1.12)同理，對于最小勢能原理(2.3.12)變成(3.1.13)其他幾種變分也可以化成對區域單元的積分和對邊界上單元邊界面的積分之和。對于導數不超過兩階的物理問題，不管采用哪種形式建立的數值計算方程，最終可以得到(

10、3.1.14)這樣形式的方程。如果是對于固體力學問題，為剛度矩陣，其中的系數由單元的材料參數（例如彈性力學中的與）、物理參數（例如板結構中的板厚度）、形函數和形函數導數組合而成的代數式對單元的積分，而且是若干單元的積分和，即(3.1.15)而矢量的分量由單元的體力與形函數組合代數式的積分，應力邊界上面力與形函數組合在單元面上的積分所合成，即(3.1.16)具體如何獲得，每個量代表什么物理意義將在下章討論。雖然形函數為一般的多項式，但是由于形函數形式很多，對不同的類型、不同的結構和材料（3.1.12）和（3.1.13）表達形式都有所不同，所以對它們的單元積分也是采用數值積分方法，并以高斯積分方法

11、為多數。詳細剛度矩陣、力矢量、高斯積分、位移與約束條件的解除、方程的求解等內容將在后面章節中討論。§3.2 節點與節點密切相關的一個重要的概念是自由度，所謂自由度是問題解的維數。自由度的多少也同時決定了邊界條件維數。在固體力學中，最多自由度可達6個，三個線位移和三個角位移，對應的應力邊界條件是線力和力矩，一般結構是以上6這個自由度的子集。例如平面應力應變結構為；平板結構為；三維實體結構為；平面框架結構為；三維框架結構為全部6個等。當然結構不同建立的基本微分方程也不同，從而導致對應單元的計算方法不同，例如梁單元、平面應力單元、三維實體單元等等。節點在有限元法中承載許多模型方面信息：1）

12、表達位置的坐標；2）連接單元；3）在它之上施加邊界條件；4）放置數值分析的計算結果。前兩點表達了節點組成有限元網格的幾何信息，而后兩點表達了節點模型中的物理信息。有限元法在求解方程組例如方程式（3.1.13）前，必須把任何邊界條件簡化成節點邊界條件。例如固體力學中，設某邊界屬于某邊界條件的幾何元素，則必須由有限而且完整的單元邊界去離散。如果是位移邊界，則離散后上的根據位移邊界條件方程在上獲得上任一節點的位移值，是節點坐標如果是應力邊界條件，則離散后把作用在上的作用力，按照靜力等效原則分配到節點上。如果是混合邊界條件，一些自由度方向（不一定是坐標方向）按照位移邊界條件處理，留下的自由度方向按照應

13、力邊界處理。例2圖2.1a為一平面應力問題的力學模型，幾何形狀為正方形。假如單元全部采用四節點的四邊形單元，并有限元網格時在垂直方向均勻劃分，則此問題的有限元模型為圖2.1b。節點除了需要接受處理后的邊界條件外，還需要保存計算后的結果。例如在固體力學問題，對于位移是未知的節點保存位移（假如是位移解），位移已知的節點保存支座反力。而混合邊界條件上部分自由度方向位移，其余保存支座反力。所以總結地講，對于固體力學，所有節點（不僅僅是區域邊界上的節點）需要保存的信息，作為已知條件，需要保存已知或已知作用力；作為計算結果保存位移或支座反力。這種思想理解為本質邊界條件和自然邊界條件，也可以應用到其他領域問

14、題的處理上。§3.3 單元及其幾何分類3.3.1 單元單元是有限單元的簡稱，單元是對問題區域的幾何離散。在有限元計算過程中，在結構（結構決定了基本方程和邊界條件方程的形式）確定的情況下單元還需要包含幾何、材料參數、物理參數三方面的信息。在幾何上按照求解問題物體形狀的幾何測度（幾何維），有限單元可分為一維、二維和三維單元。一維單元是對問題可以抽象為一維幾何形狀物體的離散，例如工程中的桿件結構、弦等；二維單元是對問題可以抽象為二維幾何形狀物體的離散，例如平面問題、薄板殼結構等；同樣的三維單元是對三維幾何形狀物體的離散。其中三維問題最有廣泛意義。除此之外，還有一些應用領域特殊的單元，例如在

15、固a.一維線性單元b.一維拋物線單元c.一維三次拋物線單元圖3.1一維單元(a) (b) (c) (d) (e)(f) (g) (h) (i) (j)a 線性三角形單元b拋物線三角形單元c含中間結點的拋物線三角形單元d三階拋物線三角形單元e含中間結點三階拋物線三角形單元f線性四邊形單元 g拋物線四邊形單元 h含中間結點的拋物線四邊形單元i三階拋物線四邊形單元j含中間結點三階拋物線四邊形單元圖3.2二維單元(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)a 線性四面體單元b拋物線四面體單元c三次拋物線四面體單元d線性五面體單元e拋物線五面體單元f三次拋物線五面體單元g線性六面體單元h拋物線

16、六面體單元i三次拋物線六面體單元圖3.4三維單元體力學有限元方法中，存在質點單元、剛體單元、彈簧單元、阻尼單元、粘彈性單元和偽單元等一些特殊的單元。基本的有限單元除了按照幾何測度分類外，根據單元的插值函數多項式階數的需求，在單元的邊界線（見圖3.1）上，可以有兩個節點、三個節點甚至四個節點，分別稱線性單元、拋物線單元和三次拋物線單元。邊界上的節點的數量越多，插值函數多項式的階數也越高，問題求解的精度也越高，但是求解問題的未知數數量也隨之增加。對于特殊情況，除了單元邊界上存在節點外，單元內部也可能存在節點（見圖3.2）。每一個單元必須選擇一種材料（一種材料可以有多個單元），在固體力學中，材料參數

17、是根據材料本構關系需要而確定需要什么參數，與問題結構無關。材料性質可以分線彈性材料、彈塑性材料、蠕變材料等。不同材料有不同的材料選擇模式。對于各向異性材料需要輸入不同方向的材料參數。材料性質是由材料參數表描述，材料的參數可以獨立與單元存在，可以在單元生成之前建立。c物理參數是對單元幾何特性的補充，例如二維單元的厚度、梁單元橫截面的性質等。單元厚度是二維單元向第三個幾何方向的幾何補充，梁橫截面是一維單元向第二、第三個幾何方向的幾何補充。與材料特性一樣，物理參數也是單元計算中需要的參數，可以在網格生成前建立。但并不是所有單元都需要物理參數，是否需要取決求解的問題結構，對于平面應變、板殼單元，需要參

18、考單元厚度物理參數，對于梁單元，需要參考梁橫截面物理參數，而對于平面應力、軸對稱、三維等問題，則不需要物理參數。3.3.2 單元幾何分類一、一維基本有限單元在固體力學有限單元方法中，一維單元主要用來解決桿件與繩結構問題，像桁架、框架、網架和懸索等結構，所以一維單元在土建工程中有著廣泛的應用。一維線性單元、拋物線單元和三次拋物線單元（見圖3.1）。二、 二維基本有限單元二維基本有限單元分三角形和四邊形兩種基本幾何形狀，平面單元適應平面問題和空間曲面的幾何區域離散。在固體力學中，平面單元用在平面應力、平面應變、軸對稱、板殼等結構等的有限元方法中。三角形和四邊形型單元又分線性單元、拋物線單元和三次拋

19、物線單元（見圖3.2）。三、三維基本有限單元三維基本有限單元分四面體、五面體和六面體三種基本幾何形狀，原則上講，三維有限基本單元內部也可以有中間節點，但是使用情況比較少，在圖3.3中沒有繪出。圖3.3中把單元邊界都繪制成線性邊界，實際擬合是可以用曲線和曲面。三維單元適應任何能夠適用有限元方法三維問題的幾何區域離散問題。3.3.3 單元的幾何協調條件單元是對求解問題幾何區域的離散，離散后，問題的幾何區域被單元的集合所替代。為了保持所求解狀態結果的連續性和一定的精度，單元的劃分并不是隨意的，必須滿足一定的幾何協調條件和形狀要求。顯然，單元的幾何性質是由節點控制的，節點的狀態解構成了有限元的最終解。

20、在生成的網格中，單元與節點必須保證協調性：1 對于連續的區域，在離散后，單元與單元之間不能重疊，非邊界單元的單元邊界與另外單元的邊界公享，公享部分的單元邊界包括公享單元面、單元邊和單元節點；2 單元的形狀不能太奇形，理想的形狀是等邊和等角度的幾何形狀。§3.4 一維Lagrange插值法與Hermite插值法插值函數，即單元的形函數，常用的有Lagrange插值法和Hermite插值法兩種。Lagrange插值法只考慮問題解的節點值，只保證了近似解的階連續；而Hermite插值法在考慮問題解的節點值時，同時考慮階導數值，所以達到了近似解的階連續，稱為階Hermite插值。顯然Lagr

21、ange插值是屬于0階Hermite插值。在有限元的一般系統中，為防止計算規模的急劇增加和插值函數過于復雜，大都采用Lagrange插值法。如果問題解的本身需要考慮的導數連續性，常常其導數也作為問題解的維。固體力學中的梁板結構，把轉角也作為問題解的維。例如空間梁結構同時考慮了和三個角位移；平板結構考慮了等。下面僅以一維單元圖示說明兩種插值方法的區別，詳細討論請參考有關有限元書籍。對于一維單元，從圖4.1可以看出，Lagrange插值法就是簡單的線性插值和拋物線，單元內問題的近似解可以寫成(3.1.6)形式。Lagrange插值法的特點是形函數的數量與節點的數量相同，問題解整個離散區域保持階連續

22、，即在單元連接處只是連續但不可導。一階Hermite插值法可以寫成 (4.4.1)或 (4.4.2)Hermite多項式具有以下性質 (4.4.3)一階Hermite插值形函數具有三階多項式。而二階Hermite插值形函數具有五階多項式，形式可以寫成 (4.4.4)Hermite插值法不但形函數的階數高，而且形函數的數量與節點數量也不同。§3.5 等參單元所謂等參單元就是單元形函數的數量與節點數量一致，而且同一類單元（例如面單元的8節點四邊形單元），則采用相同的形函數，單元的幾何形狀采用等參變換。例如上面例舉的三節點三角形單元的形函數是以面積比（）為參數的等參單元，與具體的節點坐標無

23、關。等參單元屬于Lagrange插值法，所以它符合3.3.1小節提出的形函數三點基本要求。3.5.1 坐標變換對單元的形函數，不是取整體坐標的函數，而是統一取局部等參數坐標的函數，即 (3.5.1)避免了因坐標不同而形函數不同的困難。局部參數坐標更多的是采用正則坐標，其含義可見圖5.1，面積參數坐標一般用在三角形單元和四面體單元上。在單元的局部參數坐標上，問題解可表達為 (3.5.2)整體坐標與局部等參數坐標的變換關系為 (3.5.3)3.5.2 導數變換對可表示成 (3.5.4)根據對稱性，可以寫出其他兩局部參數坐標的導數，并寫成矩陣形式 (3.5.5) 式中為Jacobi矩陣，記

24、為，利用(3.5.3)可以計算出Jacobi矩陣。求(3.5.5)逆得 (3.5.6)3.5.3 積分變換在形成近似解的計算方程時，常常用到對單元體的體積分、單元面的面積分和單元邊的邊積分。例如固體力學中的單元剛度矩陣系數是由單元體積分形成（見3.1.4式），右端的力矢量元素由單元體力的體積分、單元面上面分布力的面積分和單元邊上線分布力的線積分形成（見3.1.5式）。對于單元體局部參數坐標的體積微元(3.5.7)而局部參數坐標矢量微分(3.5.8)所以(3.5.9)對單元面積分，取某參數坐標為常數，例如在面上面微元為 (3.5.10)把(3.5.8)的第二和第三子式代入可計算得 (3.5.11

25、)對于單元邊積分，取兩參數坐標為常數，例如在邊上 (3.5.12)把(3.5.8)的第三子式代入可計算得 (3.5.13)有了以上的單元體、面和邊積分變換，可以把對整體坐標的積分變換成局部參數坐標的積分 (3.5.14) (3.5.15) (3.5.16)以上推導是建立在三維坐標系之上，如果是二維、一維問題，以上公式需要進行退化處理，例如二維問題Jacobi矩陣為 (3.5.17)對(3.5.15) 、(3.5.16) 和(3.5.17)這樣的數值積分，雖然許多領域問題的被積函數也可常常寫出其解析形式，但是因為單元形式和領域問題的多樣性，加上數值積分仍然能保持極高的精度，所以對這些積分也采用數值解，一般采用高斯積分法。具體計算方法請參考有關有限元書籍。§3.6 等參單元形函數的構造技巧前面講了等參單元的坐標變換、形函數導數求解和積分計算，但是還沒有構造出等參單元的形函數。等參單元的形函數需要一定技巧，非常有規律，很容易掌握。3.6.1 三節點三角形等參單元的形函數圖6.1所示，對于節點1，有單元邊沒有通過它，所以取顯然滿足了利用得 (3.6.1-1)同理得 (3.6.1-2) (3.6.1-3)3.6.2