1、常微分方程第二階段試題一. 單選題1. 函數(shù)y cos（x C）（其中C為任意常數(shù)）所滿足的微分方程是（）（A）y sin（x C） ；（B）y2 y21;（C）ysin（x C） ；（D） y 2 2y2 2。2. 二階線性齊次微分方程的兩個解y i（x）, y2（x）成為其基本解組的充要條件是（）（A）線性無關（B）朗斯基行列式為零（C±Lx2=C（常數(shù)）（D）線性相關2（X）3. 二階線性齊次微分方程的兩個解y i（x）, y2（x）不是基本解組的充要條件是（）（A ）線性無關（B）朗斯基行列式不為零（C） 4勺 C（常數(shù)）（）線性相關2（X）dx4. 線性齊次微分方程組A（t

2、）x的一個基本解組的個數(shù)不能多于（）dt（A） n-1（ B）n（ C） n+1（ D） n+25. n階線性齊次微分方程線性無關解的個數(shù)不能多于（）個.（A）n（B） n-1（C） n+1（D） n+26. 設常系數(shù)線性齊次方程特征方程根r1,21,r3,4i，則此方程通解為（）(C) y C1e x C2 cosx C3xsi nx ；(D) y C1e x (C2 x)cosx C3sinx7.方程y" 2y' xe2x的特解具有形式（）。(A)y* Axe2x;(B)y* (Ax B)e2x;2 x(C) y* x(Ax B)e ;(D)22 xy* x (Ax B)

3、e 。(A) y (C1 C2x)e x C3cosx C4 sinx ；(B) y C1e x C2 cosx C3sin x ;8.微分方程y y xsin2x的一個特解應具有形式（）(A) (Ax B) cos2x (CxD) si n 2x(B) (Ax2Bx)cos2x(C) Acos2xBsi n2x(D) (AxB)cos 2x9.微分方程y2y 10的通解是（)(A) y (C1C2x)e % ；(B)yC1ex C2e x ；(C) y C1C2e 2xx ；(C)y1C1 cos x C2 sin xx。2210.容易驗證：y1 coswx, y2sin wx(w0）是二階

4、微分方程yw2y 0的解，試指出F列哪個函數(shù)是方程的通解。（式中C1,C2為任意常數(shù)）（）(A)yC1 coswxC2 sin wx(B)yC1 coswx2 sin wx(C)yC1 coswx2C1 sinwx(D)yG coswxC2 sin wx11. 微分方程y y ex 1的一個特解應有形式 ()(A) aex b ；(B) axex bx ；(C) aex bx ；(D) axex b12. 微分方程yysin x的一個特解應具有形式()(A) Asinx(B) Acosx(C) Asix Bcosx(D) x(Asinx Bcosx)Bx)cos2x(C) A cos2 x B

5、si n2x14.微分方程y'' 2y'(A) y (C1 C2x)e1 0的通解是()(B) y(D) (AxB)cos 2x(C) yC1C2e2xx .1X ；2C1exC?e x;(C) yC1 cosx C2 sinx15. 設線性無關的函數(shù)解，CC2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是( (A) Cy(C) Cy16. 方程y(A) y(C) y17. 求方程(A) y (C) y18函數(shù)1(x),2(x)在區(qū)間關的().(A)充分條件；(B)(C)充分必要條件；(D)19設函數(shù)1(x),2(x)方程xy1, y2, y3都是二階非齊次線性方程C2y2 y3

6、；C2 y2 (1 C1 C2) y3 ； y 0的通解是(sinx C1 ；sinx cosx C1 ；y 6y 9y xe(ax b)e 3x；3xaxe ；).(B)(D)(B ) C1 y1 C2 y2(D) C1 y1 C2 y2(Ci(11x o2y P(x)y q(x)y = f(x)的)C2 ) y3 ；C1 C2)y3y sinx cosx G ; y C1 si nx3x的特解時，應令(2(B) y x (ax(D) y x(axC2 cosx C3 .)3xb)e ;3xb)e oa,b上的朗斯基行列式恒為零，是它們在a, b上線性相必要條件； 充分非必要條件.p(t)x

7、 q(t) 0在區(qū)間a,b上的兩個解，則其朗斯基13. 微分方程yy xcos2x的一個特解應具有形式(A) (Ax B)cos2x (Cx D)sin2x(B) (Ax2行列式不為零，是它們在a, b上線性無關的().(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充分必要條件；(D)充分非必要條件.20設函數(shù)1(x), 2(x)方程x p(t)x q(t) 0在區(qū)間a,b上的兩個解，則其朗斯基 行列式區(qū)間a,b上某一點不為零，是它們在a, b上線性無關的().(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充分必要條件；(D)充分非必要條件.21 函數(shù)1(x), 2(x)在區(qū)間a,b上的朗斯基行列式在a, b

8、上某一點處不為零，是它們在a, b上線性無關的()(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充分必要條件；(D)充分非必要條件.22. n階線性非齊次微分方程的所有解是否構成一個線性空間?()(A)是；(B)不是；(C)也許是；(D)也許不是.23. 兩個不同的線性齊次微分方程組是否可以有相同的基本解組?()(A)不可以(B)可以(C)也許不可以(D)也許可以24. 若(x)是線性齊次方程組dY A(x)Y的一個基解矩陣，T為非奇異nxn常數(shù)矩陣,dx那么(x)T是否還是此方程的基解矩陣.()(A)是(C)也許是25.方程組 xA(t)x (B)(D)不是 也許不是(A) n個線性無關的解Xi (

9、t),x2(t),Xn (t)稱之為方程組的一個基本解組(B) n 個解 xi(t), X2(t),Xn(t)稱之為方程組的一個基本解組(C) n個線性無關的解Xi (t),x2(t),Xn (t)稱之為方程組的一個基解矩陣(D) n個線性相關的解Xi (t),x2(t),Xn (t)稱之為方程組的一個基本解組26.若(t)和(t)都是x A(t)x的基解矩陣，則()(A)(t)=(t)+ c其中c為非奇異常數(shù)矩陣(B)(t) =(t)+ c 其中c常數(shù)矩陣(C)(t)=(t) c其中c為非奇異常數(shù)矩陣(D)(t) =(t) c其中c為常數(shù)矩陣27.若(t)是 XA(t)x的基解矩陣，貝U x

10、 A(t)xf(t)滿足X(to)的解( )(A)(t)tit(s)f (s)dst0(B)it(t)i(to)(t) tt0(t)f (s)ds(C)(t)ti(t) t(s)f(s)dst0(D)it(t) i(to)(t)tt0i (s) f (s)ds28方程組xA(t)x的()稱之為xA(t)x的一個基本解組。(A)n個線性無關解(B) n個不同解(C)n個解(D) n個線性相關解29.n階齊線性微分方程的()稱方程的一個基本解組。(A)n個線性相關解(B)n個不同解(C)n個解(D)n個線性無關解30.A、B為n n的常數(shù)矩陣，則下列式子錯誤的是()(A) eAA i(B) (e

11、)e Ak 0 k!(C) eA B eAeB(D) eT 如 T 1(eA)T T為非奇異矩陣二. 填空題1. 以y4e3xcos2x為特解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為 。2. 若Xi(t), X2(t)|H，Xn(t)為n階齊線性微分方程的n個解，則它們線性無關的充要條件是3. 形如的方程稱為歐拉方程。4. 若(t)和 (t)都是x A(t)x的基解矩陣，則和(t)具有的關系是 5. 以y1e2x, y2xe2x為特解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為 。6. x2x x 0的通解是7. 若(t)和 (t)都是x'A(t)x的基解矩陣，則(t)和(t)具有的關系是 8若 是x A(t

12、)x的基解矩陣，則 xA(t)x滿足x(to)的解9. 設(t)是xAx的基解矩陣，(t)是x A(t)x f(t)的某一解，則它的任一解可表為。10. 若Xi (t)(i 1,2，卅，n)為齊線性方程的n個線性無關解，則這一齊線性方程的所有解可表為 11. 若Xi(t)(i1,2,n)為齊線性方程組的n個線性無關解，則這一齊線性方程組的所有解可表為12. 若Xi(t)(i1,2,n)為齊線性方程組的n個線性無關解，則這一齊線性方程組的基解矩陣為_13若(t)是xA(t)x的基解矩陣，則 x A(t)x f (t)滿足x(to) 的解14 .函數(shù)組et, e t ,e2t的伏朗斯基行列式為 。

13、15若xi (t)(i 1,2,n)為xA(t)x的一個基本解組，x(t)為x A(t)x f(t)的一個特解，則x A(t)x f (t)的所有解可表為 。16. 若xi (t)(i1,2, n)為齊線性方程的一個基本解組，x(t)為非齊線性方程的一個特解，則非齊線性方程的所有解可表為 。17. 若(t)是x'A(t)x的基解矩陣，則向量函數(shù)(t)= 是x' A(t)x f (t)的滿足初始條件(to) 0的解；18. 若(t)是x A(t)x的基解矩陣向量函數(shù)(t)=_是x A(t)x f (t)的滿足初始條件(t0) 的解。19. 若矩陣A具有n個線性無關的特征向量 V1

14、,V2,Vn，它們對應的特征值分別為1, 2, n，那么矩陣(t) = 是常系數(shù)線性方程組 x'Ax的一個基解矩陣。20. 若X1(t),X2(t),.X3(t)為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關的充要條件是21.若x,t),X2(t),X3(t)為一階齊線性方程組的n個解，則它們線性無關的充要條件是22. 方程組x/ A(t)x的稱之為x/A(t)x的一個基本解組。23. 若 (t)是常系數(shù)線性方程組 x/ Ax的基解矩陣，則 expAt =。24. 形如的方程稱為歐拉方程。25. n階線性齊次微分方程線性無關解的個數(shù)最多為 個.26. n階非齊次線性微分方程的任意兩解 必為其

15、相應的齊次線性微分方程的解三. 求高階微分方程的解d2 x t dx 11.試驗證 一;x 0有基本解組t, et，并求方程dt21 t dt 1 td2xt dx1 t dtt-1的通解。x2.2y y y 2e3.x x sint cos2t4. x x cost5. x 6x 9x et6. 求方程x'' 6x' 5x e2t的解。7.求微分方程yy y20的通解。8.y3y1 09求yay 20,滿足y x 00,y x 0 1的特解四求解下列方程組的解x 2x 3y1解方程組y 3x 2y2.已知x 2x 3y的基解矩陣為y 3x 2y5t e5te t ，求

16、方程組2x 3y 5t3x 2y 8et的通解3.dxdtdydt3y2x y5.4.dxdtx y2x 3ydxx y dtdy4x y dt2 16若A試求方程組x Ax的解 (t), (0)1 4i并求expAt1 27.試求方程組x=Ax的一個基解矩陣，并計算expAt，其中A為43五.應用題1.試求y1x的經過點M(0 1)且在此點與直線 y 3 x 1相切的積分曲線2.求微分方程y2y 3y 0的一條積分曲線，使其在原點處與直線4x相切。六.綜合題1.設 f (x) sin xx(x t) f (t)dt，其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，求f(x)2.設f (x)具有二階連續(xù)導數(shù)， f (

17、0)0 , f (0) 1，且為一全微分方程，求f (x)及此全微分方程的通解。七證明題1.設 xjt), X2(t),，Xn!(t)是方程 x(n)ai(t)xn 1). an i(t)x an(t)x f (t)的 n+1 個線性無關解，證明微分方程的任一解恒能表為：x(t)GXi(t)C2X2(t)C22. n階線性齊次微分方程一定存在n個線性無關解。t23.試驗證t =2tt是方程組10x'=21 捲2 x,x=7X2的基解矩陣。訥Cn X i(t)且C，在任何不包含原點的區(qū)間4.設t為方程 x'=Ax( A為n n常數(shù)矩陣)的標準基解矩陣(即(0)=E )，證明2.設f (x)具有二階連續(xù)導數(shù)， f (0)0 , f (0) 1，且為一全微分方程，求f (x)及此全微分方程t 1(t0)=(t- t0)其中 t0為某一值.5.試證：如果(t)是x/ Ax滿足初始條件(t°)的解，那么(t)eA(t t0)6. 假設m不是矩陣A的特征值，試證非齊線性方程組x Ax cemt 有一解形如 (t) pemt，其中c，p是常數(shù)向量。7. 假設y=(x)是二階常系數(shù)線性微分方程初值問題y'' ay' by 0y(0) 0,y'(0) 1x的解，