1、基本不等式的證明基本不等式的證明 無錫輔仁高中無錫輔仁高中 魏魏 民民問問 題題 情情 境境 1 1 對任意實數(shù)對任意實數(shù)x、y，有，有 恒成立，即恒成立，即 . 探究：探究： 1. 分別用分別用 代替上面不等式中的代替上面不等式中的x、y， 會得到什么式子會得到什么式子 ？ 2. 對上述實數(shù)對上述實數(shù)a、b，須有何限制條件？，須有何限制條件？ 20 xy,ab222xyxy3. 上述不等關(guān)系中，何時取到上述不等關(guān)系中，何時取到“=”？2abab0,0abab當(dāng)且僅當(dāng)時問問 題題 情情 境境 2 2 如圖如圖, AB為半圓的直徑為半圓的直徑, C為圓周上一動點為圓周上一動點, H為垂足為垂足.

2、 設(shè)設(shè)AH=a, HB=b,半弦半弦CH不大于半徑不大于半徑COOHBCACHAB把把 稱為稱為a, b的的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)， 把把 稱為稱為a, b的的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù).2abab探究：探究：1試指出圖中哪些線段的長度分別等于試指出圖中哪些線段的長度分別等于a, b的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平均數(shù) 和幾何平均數(shù)？和幾何平均數(shù)？ 2能否比較出兩者的大小關(guān)系？能否比較出兩者的大小關(guān)系？ ,2abCOCHab2abab2ababab數(shù)：數(shù)：形：半弦不大于半徑形：半弦不大于半徑2abab 20ab如果如果 ，那么，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”）. 2abab這個不等式稱為這個不等式

3、稱為基本不等式基本不等式. 0,0ab 剛才，我們從數(shù)和形兩個角度找到也證剛才，我們從數(shù)和形兩個角度找到也證明了基本不等式明了基本不等式. 那么那么, 這個基本不等式還有其他哪些證明這個基本不等式還有其他哪些證明方法呢方法呢?證明不等式本質(zhì)上就是比較大小，證明不等式本質(zhì)上就是比較大小，那么比較大小最常用的方法是什么呢？那么比較大小最常用的方法是什么呢？ 比較法，作差比較法，作差(或作商或作商)說明：比較法證明不等式的步驟：說明：比較法證明不等式的步驟： 作差（或作商）作差（或作商）， 變形：變形：通分、通分、因式分解、配方等因式分解、配方等， 判斷差式的符號判斷差式的符號， 結(jié)論結(jié)論. 2ab

4、ab22122abab21()2ab2abab(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”).02736求證求證: 剛才在做差后的配方變形是不少同學(xué)沒有想到的，剛才在做差后的配方變形是不少同學(xué)沒有想到的， 確實有些不等式的證明用比較法還是很困難的確實有些不等式的證明用比較法還是很困難的例如例如,請看請看2abab22abab2242abaabb2202aabb要證要證 ， 只要證只要證 ，只要證只要證 ，只要證只要證 ，因為最后一個不等式成立，所以原不等式成立因為最后一個不等式成立，所以原不等式成立,20ab只要證只要證 .當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”.2abab2 abab02aabb20

5、ab要證要證 ,只要證只要證 ,只要證只要證 ,只要證只要證 .因為最后一個不等式成立，所以原不等式成立因為最后一個不等式成立，所以原不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”.條件條件難入手難入手結(jié)論結(jié)論顯然成立顯然成立結(jié)論結(jié)論變形變形再變再變簡單點簡單點再簡單點再簡單點再變再變273614182abab20ab條件條件難入手難入手結(jié)論結(jié)論不過，有的同學(xué)覺得還是習(xí)慣于傳統(tǒng)的不過，有的同學(xué)覺得還是習(xí)慣于傳統(tǒng)的從已知條件出發(fā)推導(dǎo)出要證的結(jié)論從已知條件出發(fā)推導(dǎo)出要證的結(jié)論.20,ab20,abab 2,abab 2abab(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”).證明：證明：綜合法：綜合法：

6、從已知或從已知或事實事實出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出要證的出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出要證的不等式不等式. 分析法的優(yōu)點是利于思考，因為它方向分析法的優(yōu)點是利于思考，因為它方向明確，易于明確，易于發(fā)現(xiàn)思路發(fā)現(xiàn)思路. 綜合法的優(yōu)點是易于表述，條理清楚，綜合法的優(yōu)點是易于表述，條理清楚，形式簡潔形式簡潔. 證證明明不等式時常常用分析法尋找解題思不等式時常常用分析法尋找解題思路，再用綜合法寫出證明過程路，再用綜合法寫出證明過程 如果如果 ，那么，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”）. 2abab這個不等式稱為這個不等式稱為基本不等式基本不等式. 0,0ab基本不等式的變式：基本不等式的變

7、式：2abab0,0ab例例 證明下列不等式證明下列不等式 （1） (a0)； 12aa思考思考1：第（第（1）題若將）題若將a0 改為改為a0) ； 12aa12aa (a1). 131aa思考思考2：第（第（2）題若將）題若將 a 1改為改為a 1，求求 的取值范圍的取值范圍. 11aa課課 堂堂 小小 結(jié)結(jié)在應(yīng)用基本不等式時，要注意哪些問題在應(yīng)用基本不等式時，要注意哪些問題? 不等式的證明有哪幾種常用的方法呢？不等式的證明有哪幾種常用的方法呢？基本不等式成立的條件是基本不等式成立的條件是a0，b0，及當(dāng)且僅當(dāng)及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立時等號成立比較法比較法，分析法分析法，綜合法綜合法2a