1、 II精誠凝聚 7=成就夢想 鑼點亮心燈 /(AvA) 照亮人生 .鑼 課題：第1課橢圓 維 目 標 1. 掌握橢圓的第一定義和幾何圖形 ，掌握橢圓的 標準方程，會求橢圓的標準方程，掌握橢圓簡單 的幾何性質； 2. 了解運用曲線方程研究曲線幾何性質的思想方 法；能運用橢圓的標準方程和幾何性質處理一 些簡單的實際問題. 教學重點 橢圓的標準方程 教學難點 橢圓的標準方程 教學方法 六模塊建構式 教學過程 精誠凝聚 =A_A=成就夢想 鑼點亮心燈 /(AvA) 照亮人生 .鑼 【基礎練習】 2 1. 已知 ABC 的頂點 B、C 在橢圓、+ y2=1 上，頂點 A 是橢圓的一個 3 焦點，且橢圓的

2、另外一個焦點在 BC 邊上，則 ABC 的周長是価 2. 橢圓 x2 +4y2 =1 的離心率為13 2 3. 已知橢圓中心在原點，一個焦點為 F ( 23 , 0),且長軸長是短 2 2 軸長的 2 倍，則該橢圓的標準方程是 -+=1 16 4 2 2 4. 已知橢圓 +止=1的離心率e ，則 k 的值為k=4或 k +8 9 2 4 2 2 5 橢圓+ =1 的焦點 F1 F2，P 為橢圓上的一點，已知 25 9 PR 丄 PF2，則 F1PF2的面積為 9 【范例導析】 例 1. (1 )求經過點(-3,5)，且 9x2+4y2=45 與橢圓有共同焦 2 2 點的橢圓方程。 精誠凝聚 =

3、A_A=成就夢想 鑼點亮心燈 /(AvA) 照亮人生 .鑼 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的 點 P (3,0 )在該橢圓上，求橢圓的方程。 【分析】 由所給條件求橢圓的標準方程的基本步驟是： 定位 定橢圓的焦點在哪軸上；定量，即根據條件列出基本量 a、 方程組，解方程組求得 a、b 的值;寫出方程. 2 解：(1) 橢圓焦點在y軸上，故設橢圓的標準方程為y y2 2 a b (a b 0)， 由橢圓的定義知， 3 2 5 2 2 2a 二(-丿(2 2 2)2 a=1010，又T c=2，二=a -=10-4=6， 2 2 所以，橢圓的標準方程為y X =1 10 6 2

4、2 (2)方法一：若焦點在 x 軸上，設方程為 爲+爲=1(a 0 )， a b 點 P (3,0 )在該橢圓上二2 =1即a2 = 9 又 a = 3b , b2 = 1二橢圓 a x 9 2 = 1 a b 0，:點 P (3,0 )在該橢圓上二2 = 1即b2 = 9 又 b b 2 2 a=3b，二a2 =81二橢圓的方程為y-存=1 81 9 方法二：設橢圓方程為 Ax2 By 1 A 0,B OAB . 點 P 1 1 (3,0 )在該橢圓上二 9A=1,即A,又 a = 3b 二B=1或， 9 81 2 2 2 橢圓的方程為 X y2 .1 或y * =1. 9 81 9 求橢圓

5、標準方程通常采用待定系數法，若焦點在 x 軸上，設 2 2 % +占=1 (ab0)，若焦點在 y 軸上，設方程為 a b 2 2 與十耳=1(ab 0 )，有時為了運算方便，也可設為 Ax2 + By2=1 , a b 其中 A 0,B 0, A = B .3 倍, ,即確 b、c 的 (3)2 +(號2)2 =_3麗+1 両=2 麗 的方程為 2 ；十 1.若焦點在 y 軸上，設方程為 2 2 y_+. a2 b a2 =81 方程為 【點精誠凝聚 =人_人=成就夢想 2 鑼點亮心燈 /(AvA) 照亮人生 .鑼 2 2 例 2.設橢圓?+缶=1 心0 )的左焦點、右焦點分別為Fi、F2

6、, 點 P 在橢圓上，.EPF?/求證：.1PRF2的面積S = b2ta n” 【分析】有關橢圓的焦半徑問題用定義解決比較方便 1 解：設 PF)=m，PF2 二 n，貝 U S = mnsin2r，又 F1F2 =2c，由余弦定 2 理得 2c m2 n2 -2mncos2v 2 ”2 、 = m n -2m n-2mn cos) = 2a - 2m n 1 cos2) 2mn 1 cos2v - 4a2 -4c2 =4b2，所以 【點撥】解與 P F1F2 (P 為橢圓上的點)有關的問題,常用正弦定 理或余弦定理，并且結合 PR+PF=2a 來求解。注意解題過程 中的整體消元方法. 2

7、2 例 3點 A、B 分別是橢圓 x y =1 長軸的左、右端點，點 F 是橢圓 36 20 的右焦點，點 P 在橢圓上，且位于 x 軸上方，PA_PF。 (1) 求點 P 的坐標； (2) 設 M 是橢圓長軸 AB 上的一點，M 到直線 AP 的距離等于| MB |， 求橢圓上的點到點 M 的距離 d 的最小值。 【分析】列方程組求得 P 坐標；解幾中的最值問題通常可轉化為 函數的最值來求解，要注意橢圓上點坐標的范圍. 解：(1)由已知可得點 A( 6,0),F(0,4), 設點 得 2 2 x y 1 36 20 i(x+6)(x_4) + y2 =0 貝 U 2x2+9x 18=0, x

8、=3 或 x= 6. 2 由于 y 0,只能 x = 3 ,于是y =創1. 2 _ 2 點 P 的坐標是(3, 5 3) 2 2 (2) 直線 AP 的方程是 x 3 y +6=0. 設點 M(m,0),則 M 到直線 AP 的距離是 2 于是m 6mn 2b2 1 cos2 二 2 ，從而有S=; 1 爲 2 sin 2 二=b tan v 得點:. P(x, y),則 AP= ( x+6, y ) , FP= ( x 4, y ),由已知可 =m-6 ,又6 m 6,解得 m =2. 精誠凝聚 =A_A=成就夢想 鑼點亮心燈 /(AvA) 照亮人生 .鑼 橢圓上的點(x, y )到點 M

9、 的距離 d 有 5 4 9 n d =(x-2) y = x 4x 4 20 - x (x - ) 15, 9 9 2 由于一 6 m 0)上變化，則 x2 2y 的最大值為 4 b b b 4 (0 ： b ： 4) 4 2b (b4) 別為4-5和2-5，過P點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個 6.與橢圓 =1=1 具有相同的離心率且過點 (2, - 3)的橢圓的標 =1=1 的二個焦點，頂點 2 2 81 2 ababF F如 1212 a2 -121 + 242) 哼(2*12? 242)=81 121, 即 ab _99,當 S 取最小值時,有 a2 -12 仁 1212 *

10、 2 a2 -121 4.若橢圓 的最2 II精誠凝聚 7=成就夢想 鑼點亮心燈 /(AvA) 照亮人生 .鑼 解：設兩焦點為 Fi、F2，且已|=4?，|PF2|=? 從橢圓定義知 2a=|PFi |+壓|=2 5 即 a = 75 . 從|PFi卜PF?知PF?I垂直焦點所在的對稱軸, 2 久 2 久 2 2 所求橢圓方程為x 3yx 3y =1=1 或3x3x y y 5 10 10 5 2 11. 設 P 是橢圓X X2 y2 = 1 a 1 短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個 a 動點，求|PQ|的最大值。 解析：依題意可設 P(0,1) , Q(x,y),則 |PQ|= x2 y-1

11、2，又 因為 Q 在橢圓上， 所以，x2=a2(1 y2)， |PQ| 2= a2(1 - y2)+y2- 2y+1=(1 - a2) y2 - 2y+1+a2， 2 12 1 2 =(1 -a2)(y- III 2)2- 1 2+1+a2 。 1 -a 1 -a 因為 |y| 1,若 a 2,貝 U 1 2 1, 1 -a 所以在 Rt PF2F1中, sin ZPF1F-P=- |PFi| 2 可求出.PF1F- 6 H 2c = PF| cos= 6 ,從而b2 10 3 1 當 y= 1 2 時，|PQ| 1 a 精誠凝聚 =A_A=成就夢想 鑼點亮心燈 /(AvA) 照亮人生 .鑼

12、若 1a 2,則當 y=- 1 時，|PQ|取最大值 2。 12. 已知橢圓的焦點是 F1 (- 1, 0) ,F2 (1，0) ,P 為橢圓上的一點， 且鬥冋 是|PF1|和|PF2| 的等差中項。(1)求橢圓方程； (2)若點 P 在第三象限，且/ P 布=120 ,求 tan / RPE。 解：(1)由題設 2|F1F2|=|PF 1|+|PF 2| , c=10A 2a=4,： b= 3。橢圓 2 2 方程為 X . y =1。 4 3 (2)設/ RPF= B ,則/ PE F 1=60 9 ,由正弦定理并結合等比定 理可得到 IF1F2I |PF2 | |PF1 | | PF2 | | PF1 | , si n= si n120 si n(60) sin 120 si n(60 ) 化簡可得 5sin 日=*3(1 + cos日), tan =sin = 3 , 2 1 cos 5取最大值 a2 a2 -1 a2 -1 II精誠凝聚 7=成就夢想 鑼點亮心燈 /(AvA) 照亮人生 .鑼 從而可求得 tan / FiPF2=5 朽。 11 第 1 課時橢圓 板書 基礎練習