1、三角函數性質與圖像 知識清單:注意:反三角數符號只表示 . 這個范圍的角,其他范圍的角需要用誘導公式變到這個范圍 . 備注: 以上性質的理解記憶關鍵是能想象或畫出函數圖象 . . 函 數 s i n (y A x =+的 圖 像 和 性 質 以 函 數 sin y x =為 基 礎 , 通 過 圖 像 變 換 來 把 握 . 如 sin y x=圖 例 變 化 為 sin( y A x =+(A>0, >0 相應地,的單調增區間 2, 222k k -+變 為2222k x k -+ 的解集是的增區間 . 注 : sin(+=x y 或 cos( y x =+(0的周期 2=T ;

2、 sin( y x =+的對稱軸方程是 2x k =+(Z k ,對稱中心 (, 0 k ;cos( y x =+的對稱軸方程是 x k =(Z k ,對稱中心 1(, 02k +;tan(+=x y 的對稱中心(0, 2k .課前預習1.函數 sin cos y x x =-的最小正周期是 .2. 函數 12sin( 23y x =+的最小正周期 T3.函數 sin2x y =的最小正周期是( (A2(B (C 2 (D 44.函數 ,0(26sin(2-=x x y 為增函數的區間是 ( (A3,0(B127,12(C 65,3(D, 655.函數 22cos(363y x x =- 的最

3、小值是( ( 2A -( B -( 1C - (1D 6.為了得到函數 62sin(-=x y 的圖象,可以將函數 x y 2cos =的圖象( (A向右平移 6個單位長度 (B向右平移 3個單位長度 (C向左平移6個單位長度 (D向左平移3個單位長度7.將函數 sin y x =的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的 2倍,縱坐標不變,再把所得圖象上所有點向左平移 3個單位,所得圖象的解析式是 _.8.函數 sin y x x =+在區間 0, 2的最小值為 _. 10.已知 f (x =5sinx cos x -35cos 2x +325(x R 求 f (x 的最小正周期;求 f (x 單調區

4、間;求 f (x 圖象的對稱軸,對稱中心。11.求函數 f (x =121log cos(34x +的單調遞增區間典型例題EG1、三角函數圖像變換將函數 12cos( 32y x =+的圖像作怎樣的變換可以得到函數 cos y x =的圖像?變式 1:將函數 cos y x =的圖像作怎樣的變換可以得到函數 2cos(2 4y x =-的圖像?變式 2:將函數 12cos( 26y x =-的圖像作怎樣的變換可以得到函數 cos y x =的圖像?變式 3:將函數 1sin(2 33y x =+的圖像作怎樣的變換可以得到函數 sin y x =的圖像?EG2、三角函數性質求下列函數的最大、最小

5、值以及達到最大 (小 值時 x 的值的集合.(1 34sin(2 23y x =+; (2 6sin(2.52 2y x =-+變式 1:已知函數 ( 2sin (0 f x x =>在區間 , 34-上的最小值是 2-,則 的最小值等于 ( (A 23(B 32(C 2 (D 3變式 2:函數 y =2sin x的單調增區間是( A . 2k -2, 2k +2(k Z B . 2k +2, 2k +23(k Z C . 2k -, 2k (k Z D . 2k , 2k +(k Z 變式 3:關于 x 的函數 f (x =sin(x +有以下命題:對任意的 , f (x 都是非奇非偶

6、函數; 不存在 ,使 f (x 既是奇函數,又是偶函數; 存在 ,使 f (x 是奇函數; 對任意的 , f (x 都不是偶函數。其中一個假命題的序號是 _.因為當 =_時,該命題的結論不成立。 變式 4、 函數 (12sin 4f x x = +的最小正周期是 . 變式 5、 下列函數中,既是(0,2上的增函數,又是以 為周期的偶函數是 ( (Ay =lgx 2(By =|sinx | (Cy =cosx (Dy=x 2sin 2變式 6、 已知 2,0x ,求函數 125cos(12cos(x x y+-=的值域變式 7、 已知函數 12( log (sincos f x x x =-求它

7、的定義域和值域; 求它的單調區間;判斷它的奇偶性; 判斷它的周期性 .EG3、三角函數的簡單應用電流 I 隨時間 t 變化的關系式 sin I A t =, 0, t +,設 10= /rad s , 5A =.(1 求電流 I 變化的周期; (2 當 1131 0, , , ,20010020050t =(單位 s 時,求電流 I .變式 1:已知電流 I 與時間 t 的關系式為 sin( I A t =+. (1右圖是 sin( I A t =+(>0, |2<在一個周期內的圖象,根據圖中數據求 sin( I A t =+的解析式; (2如果 t 在任意一段 1150秒的時間內

8、,電流 sin( I A t =+都能取得最大值和最小值,那么 的最小正整數值是多少?變式 2:如圖,某地一天從 6時至 14時的溫度變化曲線近似 滿足函數 y =A sin (x +b .(求這段時間的最大溫差;(寫出這段曲線的函數解析式. 變式 3:如圖,單擺從某點給一個作用力后開始來回擺動,離開平 衡位置 O 的距離 s 厘米和時間 t 秒的函數關系為 6sin(2 6s t =+. (1單擺擺動 5秒時,離開平衡位置多少厘米?(2單擺擺動時,從最右邊到最左邊的距離為多少厘米? (3單擺來回擺動 10次所需的時間為多少秒?EG4、三角恒等變換(1sin cos (sincos+- 變式

9、1:函數 y =xx cos sin 21+的最大值是( .A.22-1 B. 22+1 C.1-22 D. -1-22變式 2:已知 cos 22sin 4=- ,求 cos sin +的值.變式 3:已知函數 2( 2sin 24f x x x =+- , 42x .求 ( f x 的最大值和最小值. 實戰訓練1. 已知函數 ( cos (0 f x x x =+>, ( y f x =的圖像與直線 2y =的兩個相鄰交點的距離等于 , 則 ( f x 的 單調遞增區間是 (A 5, ,1212k k k Z-+ (B 511, ,1212k k k Z +(C , ,36k k k

10、 Z-+ (D 2, ,63k k k Z+解析 :( 2sin( 6f x x =+,由題設 ( f x 的周期為 T =, 2=,由 222262k x k -+得, 36k x k k z -+,故選 C2. 函數 ( sin cos f x x x =最小值是 A . -1 B. 12- C.12D.1解析 1( sin 22f x x = m in 1( 2f x =-. 故選 B3. 函數 1 4(cos 22-=x y 是A .最小正周期為 的奇函數 B. 最小正周期為 的偶函數 C. 最小正周期為2的奇函數 D. 最小正周期為2的偶函數【解析】因為 22cos ( 1cos 2

11、sin 242y x x x =-=-= 為奇函數 , 22T =, 所以選 A. 4.若函數 ( (1 cos f x x x =+, 02x <,則 ( f x 的最大值為 A . 1 B . 2 C1 D 2 【解析】因為 ( (1 cos f x x x =+=cos x x +=2cos( 3x -當 3x =是, 函數取得最大值為 2. 故選 B 5.函數 ( (1 cos f x x x =+的最小正周期為 A . 2 B . 32 C . D .2【解 析】由 ( (1 cos cos 2sin( 6f x x x x x x =+=+=+可 得最小正周期為 2, 故選

12、A. 6. 已知函數 ( f x =Acos(x + 的圖象如圖所示, 2( 23f =-,則 (0f =(A 23-(B23(C-12(D12【解析】由圖象可得最小正周期為 232 2 7 于是 f(0f( 3 ,注意到 3 與2關于12對稱 7.已知函數 f ( x = sin( x 2 2 所以 f( 3 f(2 2 3 ( x R ，下面結論錯誤的是 B. 函數 f (x 在區間0， D. 函數 f (x 是奇函數 A. 函數 f (x 的最小正周期為 2 C.函數 f (x 的圖象關于直線 x 0 對稱 【解析】 f ( x = sin( x 解析】 8.下列關系式中正確的是（ 0

13、0 2 上是增函數 2 = cos x ，A、B、C 均正確，故錯誤的是 D ） 0 A sin11 < cos10 < sin168 B sin168 < sin11 < cos10 0 0 0 C sin110 < sin1680 < cos100 【答案】C （二）填空題 D sin1680 < cos100 < sin110 1.已知函數 f ( x = 2 sin( x + 的圖像如圖所示，則 f 7 12 = 。 【解析】 由圖象知最小正周期 T （ 0，可得 = 2 3 5 2 2 ， 3， x 時， x） 故 又 （ 0， 2 s

14、in(3 × + ） f 即 ） 4 4 3 4 4 4 ，所以， f 7 7 + 0。 = 2 sin(3 × 12 4 12 在閉區間 , 0 上 2.函數 y = A sin( x + （ A, , 為常數，A > 0, > 0 ） 的圖象如圖所示，則 = . 【解析】 考查三角函數的周期知識。 3 T = 2 ，T 2 = 3 w.w.w.k. ，所以 = 3， 3.已知函數 f ( x = sin( x + ( > 0 的圖象如圖所示， 則 4 【解析】由圖象可得最小正周期為 3 2 4 3 T 3 2 2 4.函數 y = 2 cos x +

15、sin 2 x 的最小值是_ . 【解析】 f ( x = cos 2 x + sin 2 x + 1 = 5.函數 y = cos x 的最小正周期 T = 2 2 sin(2 x + + 1 ，所以最小值為： 1 2 4 2 . 解析: T = 解析: = 4 ，故填 4 。 1 2 -6- （三）解答題 1.已知函數 f ( x = 2 sin( x cos x . 1. w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m （）求 f ( x 的最小正周期； （）求 f ( x 在區間 上的最大值和最小值. , 6 2 （） f ( x = 2sin ( x cos x = 2sin x co

16、s x = sin 2 x ， 函數 f ( x 的最小正周期為 . （）由 6 x 2 3 2 x ， 3 sin 2 x 1 ， 2 f ( x 在區間 3 . , 上的最大值為 1，最小值為 2 6 2 2.已知函數 f ( x = sin( x + , 其中 > 0 ， | |< 2. （I）若 cos 2 4 cos, sin 3 sin = 0, 求 的值； 4 w.w.w.k.s.5.u.c.o. m （）在（I）的條件下，若函數 f ( x 的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于 3 ，求函數 f ( x 的解析式；并 求最小正實數 m ，使得函數 f ( x 的圖像

17、象左平移 m 個單位所對應的函數是偶函數。 解法一： （I）由 cos 解法一： 即 cos( 4 cos sin 4 + = 0 又 | |< 2 3 sin = 0 得 cos cos sin sin = 0 4 4 4 , = （）由（I）得， f ( x = sin( x + 依題意， 又T = 4 4 2 T = 2 3 , 故 = 3, f ( x = sin(3 x + 4 函數 f ( x 的圖像向左平移 m 個單位后所對應的函數為 g ( x = sin 3( x + m + 4 g ( x 是偶函數當且僅當 3m + 即m = 4 = k + 2 (k Z k + (

18、k Z 3 12 從而，最小正實數 m = 12 -7- 3.已知函數 f ( x = A sin( x + , x R （其中 A > 0, > 0, 0 < < 間的距離為 2 ）的圖象與 x 軸的交點中，相鄰兩個交點之 2 ，且圖象上一個最低點為 M ( （）當 x (求 f ( x 的解析式； 解（1）由最低點為 M ( T 2 2 = ，即 T = ， = = =2 2 2 2 T 2 2 4 由點 M ( , 2 在圖像上的 2 sin(2 × + = 2, 即sin( + = 1 3 3 3 4 11 故 + = 2 k , k Z = 2k 3 2 6 由 x 軸上相鄰的兩個交點之間的距離為 得 又 (0, 2 , 2 得 A=2. 3 , ，求 f ( x 的值域. 12 2 2 , 2 . 3 w.w.w.k.s.5.u.c. o.m , 故f