1、四川省達(dá)州市第一中學(xué)2020屆九年級中考九年級數(shù)學(xué)幾何壓軸題分類復(fù)習(xí)題1、如圖，在 ABC中，/ACB = 90° , AC = BC, E為AC邊的一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接 CF,交BE于點(diǎn)D且/ ACF = Z CBE, CG平分/ ACB交BD于點(diǎn)G,(1)求證：CF = BG;(2)延長CG交AB于H,連接AG,過點(diǎn)C作CP/AG交BE的延長線于點(diǎn) P,求證：PB=CP+CF;(3)在(2)問的條件下，當(dāng)/ GAC=2/FCH時(shí)，若$ aeg = 3>E，BG= 6,求AC的長.證明：(1)如圖 1 ,ACB = 90° , AC=BC, ./ A=45&

2、#176; ,. CG 平分/ ACB, ./ ACG = Z BCG =45 ° , ./ A=Z BCG,在 BCG和ACAF中，/ A / BCG. AC BC , Z ACF Z CBEBCGA CAF (ASA), .CF = BG;(2)如圖 2, PC / AG, ./ PCA=/ CAG,. AC=BC, /ACG = /BCG, CG=CG,ACGA BCG, ./ CAG = Z CBE, . / PCG = / PCA+/ACG=/ CAG+45 ° =Z CBE+45/PGC = /GCB+ Z CBE=Z CBE+45° , ./ PCG

3、 = / PGC, .PC=PG,. PB=BG+PG, BG=CF,PB=CF+CP;(3)解：如圖，過 E作EMXAG,交AG于M,1 一. Saeg= AG?EM = 3 石，2由(2)得： ACGABCG,BG = AG = 6, 1 X6X EM = 3 73 ,2EM = 3 ,設(shè)/FCH=x° ,則/ GAC=2x° , ./ACF = / EBC = /GAC=2x° , / ACH = 45° ,2x+x=45,x= 15, ./ ACF = Z GAC = 30 ° ,在 RtAEM 中，AE = 2EM = 2T3 ,AM

4、 =4(2>/3)2_( 3)2 = 3, .M是AG的中點(diǎn)，AE= EG= 273 ,BE=BG+EG = 6+2>/3 ,在 RtAECB 中，/ EBC=30° , CE= BE= 3+、.3 ,2AC = AE+ EC= 2 V3 +3+ /3 = 3 V3 +3.2、問題背景如圖1所示，在 ABC中，AB=BC, /ABC = 90° ,點(diǎn)D為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 B、C重合），連結(jié) AD,將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90° ,使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E,連結(jié)EC.問題初探如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：

5、過點(diǎn)E作EFLBC交直線BC于F,如圖2所示，通過證明 DEFA ADB ,可推證 CEF是 等腰直角 三角形,從 而求得/ DCE=135 ° .繼續(xù)探究如果點(diǎn)D在線段CB的延長線上運(yùn)動(dòng)，如圖 3所示，求出/ DCE的度數(shù).拓展延伸連接BE,當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若 AB= J6，請直接寫出BE的最小值.解：問題初探如圖2,過點(diǎn)E作EF，BC交直線BC于F,DFE = 90° =/ ABD , ./ EDF + Z DEF =90° ,由旋轉(zhuǎn)知，AD=DE, Z ADE = 90° ,ADB + Z EDF =90° , ./ ADB =

6、 Z DEF,ABDA DFE (AAS),BD = EF, DF =AB, AB= BC,BC=DF,BD = CF,EF = CF, .CEG是等腰直角三角形， ./ ECF = 45° , ./ DCE = 135° ,故答案為：ADB,等腰直角，135;繼續(xù)探究如圖，過點(diǎn)E作EFXBC于F, ./ DFE = 90° =/ ABD , ./ EDF + Z DEF =90° ,由旋轉(zhuǎn)知，AD=DE, Z ADE = 90° , ./ ADB + Z EDF =90° , ./ ADB = Z DEF,ABDA DFE (AAS

7、),BD = EF, DF =AB, AB= BC,BC=DF,BD = CF,EF = CF,.CEG是等腰直角三角形， ./ ECF = 45° , ./ DCE = 45° ;拓展延伸如圖，在 ABC 中，/ABC=90° , AB = BC=76, ./ ACB = 45°當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，由問題初探知，/ BCM = 135° ,/ ACM = / BCM - / ACB = 90° ,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，由繼續(xù)探究知，/ BCE=45° ,./ACN = /ACB+/BCM = 90° ,

8、 .點(diǎn) E是過點(diǎn) C垂直于 AC的直線上的點(diǎn)，當(dāng) BELMN 時(shí)，BE 最小，. / BCE=45° ,/ CBE=45° =Z BCE,，BE=CE,1 BE最小=-BC= Z ,即：BE的最小值為 J3 .23、在 RtAABC 中，/ ACB=90° , / A = 30° , BD 是 ABC 的角平分線.(1)如圖 1,求證：AD=2DC.(2)如圖2,作/ CBD的角平分線交線段 CD于點(diǎn)M,若CM= 1,求 DBM的面積；(3)如圖3,過點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,點(diǎn)N是線段AC上一點(diǎn)(不與 C、D重合)，以 BN為一邊, 在BN的下方作/ B

9、NG= 60° , NG交DE延長線于點(diǎn) G,試探究線段ND, DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系， 并說明理由證明：（1）如圖，過點(diǎn)D作DEXAB,. , BD 是4ABC 的角平分線，DELAB, Z ACB=90DC = DE ,/ A=30° , DEXAB,AD = 2DE,AD = 2DC;(2)如圖2,過點(diǎn)M作ME / BD,/ ACB = 90 , Z A=30 ,ABC = 60 ° ,. BD是AABC的角平分線, ./ ABD = Z DBC=30° , BM 平分/ CBD,CBM = 15 =Z DBM , ME II BD,Z MEC

10、= Z CBD = 30 , Z EMB = Z DBM = Z MBE ,ME = BE,/ MEC = 30° , Z C= 90,.CE=*MC=B ME=2MC = 2=BE,BC=逐+2,CBD = 30 , Z C=90 ,BC= 75 CD, .CDi”32V3 DM =,312<3/ 4 °、/ 2石x x ( x/3 +2) = 1+；233(3)若點(diǎn) N 在 CD 上時(shí)，AD = DG+DN,理由如下：如圖3所示：延長 ED使得DW=DN,連接NW, . /ACB = 90° , Z A=30° , BD 是 ABC 的角平分線

11、，DE LAB 于點(diǎn) E, ./ADE = / BDE = 60° , AD=BD, DN = DW,且/ WDN = 60° . WDN是等邊三角形， .NW= DN , / W= Z WND = Z BNG=Z BDN = 60° , ./ WNG = / BND , 在 WGN和 DBN中，Z W ZNDB 60°WN DN/ WNG / DNBWGNA DBN (SAS),BD = WG= DG+DN , . AD = DG + DN .(3)若點(diǎn) N 在 AD 上時(shí)，AD = DG - DN ,理由如下：如圖 4,延長BD至H,使得DH = D

12、N,連接HN,由(1)得 DA=DB, Z A=30° .DE，AB 于點(diǎn) E.2=Z 3=60° . 1 / 4= Z 5= 60 .， NDH是等邊三角形.NH = ND, / H = Z 6 = 60° . ./ H = Z 2. . / BNG = 60° , ./ BNG + Z 7=/ 6+/ 7.即/ DNG = / HNB .在 DNG和 HNB中，/ DNG / HNBDN HN/ H Z2DNGA HNB (ASA).DG = HB. .HB = HD + DB = ND+AD, .DG = ND+AD.AD = DG - ND.4、

13、如圖1,已知直角三角形 ABC, ZACB=90° , /BAC=30°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，過 D作DE LAB 于點(diǎn)巳連接BD,點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，連接 EF, CF .(1)發(fā)現(xiàn)問題：線段 EF, CF之間的數(shù)量關(guān)系為EF=CF ; / EFC的度數(shù)為 120°:(2)拓展與探究：若將 AED繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)“角(0° V “V 300 ),如圖2所示，(1) 中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；(3)拓展與運(yùn)用：如圖 3所示，若 AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn) D落到AB邊上時(shí)，AB邊上另 有一點(diǎn)G, AD=DG = GB, BC = 3,連接EG,

14、請直接寫出 EG的長度.解：(1)如圖1中, DEXAB, ./ BED = 90° , . / BCD = 90° , BF = DF,FE=FB=FD = CF, ./ FBE = Z FEB, / FBC = Z FCB, ./ EFC = Z EFD+Z CFD =Z FBE + Z FEB+/ FBC+/ FCB= 2 (/ FBE + Z FBC ) = 2/ ABC = 120° ,故答案為：EF=CF, 120°(2)結(jié)論成立.理由：如圖2中，取 AB的中點(diǎn) M, AD的中點(diǎn)N,連接 MC , MF , ED, EN, FN . . BM

15、=MA, BF=FD,MF /AD, MF= 1 AD 2， .AN=ND,MF =AN , MF / AN,四邊形MFNA是平行四邊形，NF = AM , / FMA = Z ANF,在 RtADE 中， AN=ND, /AED=90° , EN = 1AD=AN = ND,同理 CM = - AB= AM = MB, 22在 AEN和 ACM中，/ AEN = / EAN , / MCA = / MAC , . / MAC = Z EAN, ./ AMC = Z ANE,又. / FMA = /ANF, ./ ENF = Z FMC,在 MFC和 NEF中,MF NE/ FMC

16、/ ENF,MC NFMFCA NEF (SAS),FE= FC, / NFE = / MCF , NF / AB, ./ NFD = Z ABD, . / ACB = 90° , / BAC = 30° , ./ABC = 60 ° , BMC 是等邊三角形，/ MCB = 60° ./ EFC = / EFN+/NFD + /DFC =/ MCF+/ABD + /FBC+/FCB = / ABC+/MCB = 60° +60 ° = 120° .(3)如圖3中，作EH LAB于H.在 RtABC 中，. / BAC=30

17、° , BC=3,AB=2BC=6,在 RtAAED 中，/ DAE = 30° , AD=2, DE = 1AD = 1 ,2在 RtADEH 中，. / EDH = 60° , DE = 1,EH = ED?sin60°DH = ED?cos60°在 RtAEHG 中，EG =2+ (2+1)2 =25、如圖1,在等腰 ABC中，AB=AC, / BAC = a，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CB延長線上一點(diǎn)，且PE=PC,將線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn) a得到PD,連接BD.(1)如圖2,若a= 60。，其他條件不變，先補(bǔ)全圖形，然后探究線

18、段BD和BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(2)如圖3,若a= 90° ,其他條件不變，探究線段BP、BD和BC之間的等量關(guān)系，并說明理由.解：(1) BC=2BD,理由：如圖2,連接CD,由旋轉(zhuǎn)可得，CP=DP, /CPD=60° ,. CDP是等邊三角形， ./ CDP = 60° =/ PCD,又P 是 AB 的中點(diǎn)，AB = AC, /A=60° ,，等邊三角形 ABC 中，/ PCB=30° , CPXAB, ./ BCD = 30° , 即BC平分/ PCD, BC垂直平分PD, ./ BDC = Z BPC=90°

19、; , RtABCD 中，BC = 2BD.(2)如圖3,取BC中點(diǎn)F,連接PF, . / A=90° , AB=AC,ABC是等腰直角三角形， P是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，PF是 ABC的中位線，PF / AC, ./ PFB = /ACB = 45° , /BPF = /A=90° , . BPF是等腰直角三角形， BF = MbP, bp=pf, ,/ DPC = / BPF =90 ° , ./ BPD = / FPC,又 PD = PC, . BDPA FCP,BD = CF, BC= BF+FC,BC= BD+ 顯 BP.6、【發(fā)現(xiàn)問題】

20、如圖 1,已知 ABC,以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)、AB為腰向 ABC外作等腰直角 ABE.請你以A為直角頂點(diǎn)、AC為腰，向 ABC外作等腰直角 ACD （不寫作法，保留作圖痕跡）.連接 BD、CE.那么BD與CE的數(shù)量關(guān)系是BD = CE .【拓展探究】如圖 2,已知 ABC,以AB、AC為邊向外作正方形 AEFB和正方形ACGD ,連接BD、CE, 試判斷BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【解決問題】如圖 3,有一個(gè)四邊形場地 ABCD, ZADC = 60° , BC=15, AB = 8, AD = CD,求BD的最 大值.【發(fā)現(xiàn)問題】解：延長CA至I M,作/ MAC的平分線AN

21、,在AN上截取AD = AC,連接CD,即可得到等腰直角 ACD;連接BD、CE,如圖1所示: ABE與 ACD都是等腰直角三角形，AB = AE, AD = AC, / BAE = / CAD = 90° , ./ BAD = Z EAC,AB AE在a BAD 和a EAC 中， Z BAD Z EAC,AD AC . BADA EAC (SAS),BD = CE,【拓展探究】解：BD = CE;理由如下： 四邊形AEFB與四邊形ACGD都是正方形，AB = AE, AD = AC, / BAE = / CAD = 90° , ./ BAD = Z EAC,AB AE在

22、 BAD 和 EAC 中， Z BAD Z EAC,AD AC . BADA EAC (SAS),BD = CE;【解決問題】解：以AB為邊向外作等邊三角形 ABE,連接CE,如圖3所示:則/BAE=60° , BE=AB = AE=8, . AD = CD, / ADC = 60° , . ACD是等邊三角形， ./ CAD = 60° , AC = AD, ./ CAD + Z BAC = Z BAE+Z BAC,即/ BAD = Z EAC,AB AE在 BAD 和 EAC 中， / BAD / EAC,AD AC . BADA EAC (SAS),BD =

23、 CE;當(dāng)C、B、E三點(diǎn)共線時(shí)， CE最大=BC+BE= 15+8= 23, BD的最大值為23.7、 （1）如圖1,點(diǎn)C為線段AB外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知 AB=a, AC=b.當(dāng)點(diǎn)C位于BA的延長線上時(shí)，線段BC取得最大值，則最大值為a+b （用含a, b的式子表示）；（2）如圖2,點(diǎn)C為線段AB外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 AB=10, AC=3,分別以AC, BC為邊，作等邊三角形 ACD和等邊三角形 BCE,連接AE, DB .求證：AE = DB;請直接寫出線段 AE的最大值;(1)解：二.點(diǎn)C為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且 AC=b, AB = a,當(dāng)點(diǎn)C位于BA的延長線上時(shí)，線段 BC的長取得最大值，且最大

24、值為AC+AB=a+b,(2)證明：如圖2中，, ACD與L BCE是等邊三角形，.CD=AC, CB=CE, Z ACD = Z BCE = 60° , ./ DCB = Z ACE,CD CA 在ACAD 與 EAB 中， / DCB / ACE,CB CECADA EAB (SAS), . AE= BD.線段AE長的最大值=線段 BD的最大值，由(1)知，當(dāng)線段BD的長取得最大值時(shí)，點(diǎn) D在BA的延長線上，最大值為 AD+AB=3+10= 13;8、【初步探索】(1)如圖1:在四邊形 ABC中，AB=AD, /B=/ADC=90° , E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且

25、 EF = BE+FD,探究圖中/ BAE、/ FAD、/ EAF之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G,使DG = BE.連接AG ,先證明 ABEA ADG ,再證明AEFAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是/ BAE + / FAD= A EAF ;【靈活運(yùn)用】(2)如圖2,若在四邊形 ABCD中，AB = AD, /B+/D=180° . E、F分別是 BC、CD上的點(diǎn)，且EF = BE+FD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；【拓展延伸】(3)如圖3,已知在四邊形 ABCD中，/ ABC+/ADC= 180° AB = AD,若點(diǎn)E在CB的延長線上

26、，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖 3所示，仍然滿足 EF= BE+FD,請寫出/ EAF與/ DAB的數(shù)量關(guān)系，并給 出證明過程.解：（1） / BAE + ZFAD = Z EAF,理由：如圖1,延長FD到點(diǎn)G,使DG = BE,連接AG,根據(jù) SAS可判定 ABEAADG ,進(jìn)而得出/ BAE=Z DAG, AE=AG,再根據(jù) SSS可判定 AEF0AGF,可得出/ EAF= Z GAF = Z DAG+ Z DAF = Z BAE + Z DAF .故答案為：/ BAE+ / FAD = / EAF ;(2)仍成立，理由：如圖2,延長FD到點(diǎn)G,使DG = BE,連接AG, . Z B+Z

27、ADF = 180° , / ADG + /ADF = 180° , ./ B=Z ADG ,又 AB = AD,ABEA ADG (SAS), ./ BAE=/ DAG, AE = AG, EF = BE+FD= DG+FD= GF, AF = AF,AEFA AGF (SSS),/ EAF = / GAF = / DAG +/ DAF = / BAE+ / DAF ;(3) / EAF = 180。- 1 Z DAB.2證明：如圖3,在DC延長線上取一點(diǎn) G,使得DG = BE,連接AG,. Z ABC+Z ADC =180° , / ABC+/ ABE= 1

28、80 ./ ADC = Z ABE,又 AB = AD,ADGAABE (SAS), .AG = AE, /DAG = /BAE, , EF = BE+FD= DG+FD= GF, AF = AF,AEFA AGF (SSS), ./ FAE=Z FAG, / FAE+ / FAG+ / GAE =360° , .2/FAE+ (/GAB+/BAE) = 360° , .2/FAE+ (/GAB+/DAG) = 360° ,即 2 Z FAE+ Z DAB = 360 ° , ./ EAF= 180° 1/DAB.29、如圖，在 RtABC中，

29、/ ACB=90° , /A=30° ,點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接 OC、OP,將線段OP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° ,得到線段PQ,連接BQ.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請直接寫出線段 BQ與CP的數(shù)量關(guān)系.(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，若/ BPO=45° , AC=J4,請直接寫出BQ的長.解：（1） CP=BQ,理由：如圖1,連接0Q,由旋轉(zhuǎn)知，PQ=OP, Z OPQ=60° ?PO

30、Q是等邊三角形，.OP=OQ, Z POQ =60° ,在RtABC中，O是AB中點(diǎn)，.-.OC = OA = OB, ./ BOC = 2Z A=60° =/ POQ, ./ COP = Z BOQ,OC OB在 COP 和 BOQ 中， Z COP Z BOQOP OQ/.A COPA BOQ （SAS ,，CP=BQ,(2) CP = BQ,理由：如圖2,連接OQ,由旋轉(zhuǎn)知，PQ=OP, /OPQ=60°， POQ是等邊三角形，.OP=OQ, / POQ=60°，在RtABC中，O是AB中點(diǎn)，.-.OC = OA = OB, ./ BOC = 2/

31、A=60° =Z POQ, ./ COP = / BOQ,OC OB在 COP 和 BOQ 中， / COP / BOQOP OQCOPA BOQ (SAS ,.CP=BQ,(3)如圖 3,在 RtZXABC 中，Z A=30° , AC=6，. BC= AC?tan/A= & ,過點(diǎn) O 作 OHLBC, ./ OHB = 90 =Z BOA, a OH /AB,11. O 是 AB 中點(diǎn)，：CH= - BC=，OH= _AC=二， 2222_ /BPQ = 45 , Z OHP = 90 , . Z BPQ=Z PQH,PH=OH =762CPe V6- 422

32、連接BQ,同（1）的方法得,BQ= CP =10、模型發(fā)現(xiàn):同學(xué)們知道，三角形的兩邊之和大于第三邊，即如圖1,在 ABC中，AB+AC>BC.對于圖1,若把點(diǎn)C看作是線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且AB= c, AC= b,則線段BC的長會(huì)因?yàn)辄c(diǎn)C的位置的不同而發(fā)生變化.因?yàn)锳B、AC的長度固定，所以當(dāng)/ BAC越大時(shí)，BC邊越長.特別的，當(dāng)點(diǎn) C位于 線段BA的延長線上時(shí),線段BC的長取得最大值，且最大值為b+c (用含b, c的式子表示)(直接填空)模型應(yīng)用：點(diǎn)C為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且AB=3, AC=2,如圖2所示，分別以AC, BC為邊，作等邊三角形 ACD 和等邊三角形 BCE,連接BD,

33、 AE.(1)求證：BD=AE.(2)線段AE長的最大值為5 .模型拓展：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且 AB=8.若ASAB, AC=3,試求 OC長的最大值.解：當(dāng)點(diǎn)C位于線段BA的延長線上時(shí)，線段 BC的長取得最大值，最大值為b+c,故答案為：線段 BA的延長線上；b+c；模型應(yīng)用：(1)證明：. ACD、4BCE都是等邊三角形，.-.CD = CA = AD, CB=CE, /ACD=60° , / BCE = 60 ° ,/ DCB = Z ACE ,CD CA在 DCB 和 ACE 中， /DCB ZA

34、CE, /.ADCBAACE (SAS)，BD=AE;CB CE(2)當(dāng)點(diǎn)D位于線段BA的延長線上時(shí)，線段BD的長取得最大值， 最大值為AB+AD = AB+AC=3+2=5, .AE=BD, .線段AE長的最大值為5,模型拓展：取 AB的中點(diǎn)G,連接OG、CG 1 在 RtAOB 中，G 為 AB 的中點(diǎn)，OG= AB=4,在 RtCAG 中，CG= JAC2+AG2 =。32+ 42 = 5,2當(dāng)點(diǎn)O、G、C在同一條直線上時(shí)， OC最大，最大值為 4+5=9.11、已知： ABC 中，/ ACB = 90° , AC=BC.(1)如圖1,點(diǎn)D在BC的延長線上，連 AD ,過B作B

35、EXAD于E,交AC于點(diǎn)F.求證：AD= BF ;(2)如圖2,點(diǎn)D在線段BC上，連 AD,過A作AEXAD,且AE = AD,連BE交AC于F,連DE,問BD與CF有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3,點(diǎn)D在CB延長線上，AE=AD且AELAD,連接BE、AC的延長線交 BE于點(diǎn)M,若ACDB= 3MC,請直接寫出的值.BC(1)證明：如圖1中, BEX AD 于 E,AEF = Z BCF = 90° , . / AFE = Z CFB, ./ DAC = Z CBF,BC=CA, . BCFA ACD,BF = AD.(2)結(jié)論：BD = 2CF.理由：如圖2中，作EHAC于

36、H. . Z AHE = Z ACD = Z DAE=90° , ./ DAC + /ADC=90° , / DAC + /EAH = 90° , ./ DAC = Z AEH AD = AEACDA EHA,.CD=AH , EH = AC=BC,-.CB=CA,BD = CH ,. / EHF =/ BCF = 90° , /EFH = /BFC, EH=BC, . EHFA BCF,FH = CF,BD = CH=2CF.DB(3)如圖 3 中，同法可證 BD=2CM. . AC=3CM,設(shè) CM = a,貝UAC=CB=3a, BD=2a,.BC

37、2a _ 2 3a 312、已知在 ABC中，AB = AC,射線 BM、BN在/ ABC內(nèi)部，分別交線段 AC于點(diǎn)G、H .(1)如圖 1,若/ ABC =60° , / MBN = 30° ,作 AEXBN 于點(diǎn) D,分別交 BC、BM 于點(diǎn) E、F.求證：/ 1 = / 2;如圖2,若BF=2AF,連接CF,求證：BFXCF;.一 一 (2)如圖3,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，AE交BM于點(diǎn)F,連接CF,若/ BFE = / BAC =2/CFE,求一至 ACF的值.(1)證明：如圖1中,AB = AC, Z ABC=60°ABC是等邊三角形， .Z BAC = 60

38、° , ADXBN, ./ ADB = 90° , / MBN = 30° ,Z BFD= 60° =Z 1 + Z BAF = Z 2+ Z BAF ,1 = / 2證明：如圖2中,在 RtABFD 中，. / FBD =30° ,BF = 2DF , BF = 2AF, .BF = AD, / BAE=/FBC, AB=BC, . BFCA ADB, ./ BFC = Z ADB = 90° , BFXCF(2)在BF上截取BK = AF,連接 AK. / BFE = / 2+ / BAF , / CFE = / 4+ / 1 ,

39、 ./ CFB = Z 2+ Z4+ / BAC . / BFE = Z BAC=2/ EFC1 + Z4=Z 2+Z4.Z 1 = Z 2, 1 AB=AC,.AB"CAF, Z 3=/ 4 , Sa ABK = Sa AFC, / 1 + /3=/ 2+/3=/ CFE = / AKB, / BAC = 2/CEF, ./ KAF = Z 1 + Z3=Z AKF,AF = FK= BK,SaabK = SaAFK ,abfacfACF=2.13、已知， ABC 中，AB = AC, / BAC = 90° , E 為邊 AC 任意一點(diǎn)，連接 BE.(1)如圖1,若/

40、ABE=15° , O為BE中點(diǎn)，連接 AO,且AO=1,求BC的長；(2)如圖2, F也為AC上一點(diǎn)，且滿足 AE=CF,過A作AD，BE交BE于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)D,連接DF交BE于點(diǎn)G,連接AG;若AG平分/ CAD ,求證：AH = 1AC;2如圖3,當(dāng)G落在 ABC外時(shí)，若將 EFG沿EF邊翻折，點(diǎn)G剛好落在AB邊上點(diǎn)P,直接寫出AG與EF的數(shù)量關(guān)系.(1)解：如圖1中，在AB上取一點(diǎn)M,使得BM = ME,連接ME.在 RtAABE 中， OB=OE,BE=2OA=2,.MB = ME, ./ MBE = Z MEB= 15° ,/ AME = / MBE+ /

41、MEB = 30°，設(shè) AE=x,貝U ME = BM = 2x, AM = 73 x, AB2+AE2=BE2,. (2x+Qx) 2+x2=22,、f62 一 ，人、.x= -_(負(fù)根已經(jīng)舍棄)， 2AB = AC= (2+后?尼亞,BC = 21 AB= /3+1 .方法二：作 EHXBC于H,求出BH, CH即可解決問題.(2)證明：如圖 2中，作CPLAC,交AD的延長線于 P, GMXAC于M. BEXAP, ./ AHB = 90° , ./ ABH + Z BAH =90° , . / BAH + Z PAC= 90° , ./ ABE=

42、/ PAC,在 ABE和 CAP中，/ ABE / PACAB AC , / BAE PACPABEA CAP,.-.ae = cp=cf, /aeb=/p,在 DCF和 DCP中，CD CD / DCF / DCF, CF CP . DCFA DCP, ./ DFC = Z P, ./ GFE = / GEF, .GE=GF, - GM ±EF,FM =ME , AE=CF,AF = CE,AM = CM ,在 GAH和GAM中，Z GAH Z GAMZAHG Z AMGAG AG.'.A AGHAAGM ,八 1 . AH = AM = CM = AC2(3)解：結(jié)論：A

43、G=?W2eF.2理由：如圖3中，作CM, AC交AD的延長線于 M,連接PG交AC于點(diǎn)0.由(2)可知 ACMA BAE, CDF白 CDM , .Z AEB=Z M = Z GEF, Z M = Z CFD = Z GFE , AE=CM=CF, ./ GEF = Z GFE,.GE=GF,. EFP是由 EFG翻折得到，EG= EP=GF =PF ,；四邊形EGFP是菱形， PGXAC, OE=OF,V AE=CF,AO = OC,. AB / OP,BP= PC, PF / BE,EF = CF = AE, PB= PC, AO = OC,1PO = OG= AB,2 .AB=PG,

44、AB/ PG, 四邊形ABPG是平行四邊形，AG / BC,.Z GAO = Z ACB = 45° ,設(shè) EO = OF = a,則 OA=OG = 3a, AG = 3 72 a,AG3,2a 3.2 EF2a 2.,ag=3ef 214、如圖所示， RtABC中，/ ACB=90° , E為AC中點(diǎn)，作 EDLAC交AB于D,連接 CD;(1)如圖 1,求證：AB=2CD;(2)如圖2,作CFXAB交AB于F,點(diǎn)G為CF上一點(diǎn)，點(diǎn) H為DE延長線上一點(diǎn)，分別連接 AH、GH ,若/ AHG = 2/ B,求證：AH = GH ;(3)如圖3,在(2)的條件下，連接 D

45、G,且有DE=BF, / EDG = 90° ,若AC=6,求AH的長度.解：(1) E為AC中點(diǎn)，作EDLAC交AB于D, .AD = CD,. / ACB = 90° ,BC / DE,.AD = BD,.CD = BD , .AB=2CD;(2)如圖2,連接CH, 點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)， AE=CE, DE LAC,.CH=AH , ./ ACH = Z CAH, . / ACB = 90° ,. B+Z BAC = 90° , .CFXAB, ./ BAC+Z ACF = 90° , ./ ACF = Z B, ./ HCG = Z ACH

46、 + ZACF = Z CAH+Z B,/ AHG = 2/ B，在四邊形 AHGF 中，/ AFG + /FGH + /AHG+/FAH= 360° , .Z FGH =360° - (Z AFG + Z AHG + Z FAH) = 360° - (90° +2Z B+Z CAH + Z BAC)= 360° - (90° +2Z B+Z CAH+90° -/B)=360° - (180° +Z B+Z CAH) =180° - (/B+/CAH), . /CGH = 180° -

47、Z FGH=Z B+Z CAH = Z HCG ,.CH = GH, . CH=AH , . AH = GH;(3)如圖3,由(1)知，DE / BC,Z B ZADEB=/ADE,在 BFC 和 DEA 中， BF Z DE/ BFC / DEA 90° . BFCA DEA,BC = AD,AD = BD = CD,BC= BD=CD, . BCD是等邊三角形， ./ B=60° ,在 RtABC 中，AC=6,BC=2 73 , AB = 4 73 , . CFXBD,DF= 73 , CF=3, . / BAC = 30 ° , ./ ADE = 60&#

48、176; , . / EDG = 90° , / FDG = 30° ,在 RtADFG 中，DF= 73 , .FG = 1, DG=2,.CG = CF - FG = 2過點(diǎn)H作HN，CF由(2)知，CH=GH , NG= 1cg = 1 , 2FN = NG+FG =2,過點(diǎn)H作HM ±AB,Z FMH = Z NFM = Z HNF = 90 ,四邊形NFMH是矩形，HM = FN = 2,在 RtDMH 中，Z ADE = 60 , HM =2,4百DH =)3在RtAHDG中，根據(jù)勾股定理得， HG= JdG、+ DH ' = 2叵 .315、

49、【問題情境】一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：如圖：已知在 RtABC中，AC = BC, Z ACB = 90° , CD LAB于點(diǎn)D,點(diǎn)E、F分別在 A和BC上,Z 1 = Z 2, FG± AB于點(diǎn) G,求證： CDEA EGF.(1)閱讀理解，完成解答本題證明的思路可用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請你完整地書寫這道練習(xí)題的證明過程;(2)特殊位置，證明結(jié)論若CE平分/ ACD,其余條件不變，求證： AE=BF;(3)知識遷移，探究發(fā)現(xiàn)如圖，已知在 RtABC中，AC=BC, /ACB=90° , CDXAB于點(diǎn)D,若點(diǎn)E是DB的中點(diǎn)，點(diǎn) F在直線C

50、B上且滿足EC = EF,請直接寫出 AE與BF的數(shù)量關(guān)系.(不必寫解答過程)(1)證明： AC = BC, /ACB = 90° ,.Z A=Z B=45° , .CDXAB, ./ CDB = 90° , ./ DCB = 45° , .Z ECF = Z DCB+Z 1 = 45° +/1, Z EFC = Z B+Z 2=45° +/2, /1 = /2,ECF = Z EFC .CE=EF, . CDXAB, FGXAB, ./ CDE = Z EGF=90° ,在 CDE和 EGF中，Z 1 Z2/ CDE /

51、EGF,CE EFCDEA EGF (AAS);(2)證明：由(1)得：CE = EF, /A=/B, . CE 平分/ ACD , ./ ACE = Z 1,1 = / 2, ./ ACE = Z 2,在 ACE和 BEF中,Z A / BZ ACE /2,CE EFACEA BEF (AAS), . AE= BF;(3) AE=舊2 BF,作EHBC與H,如圖3所示:23x,設(shè) DE = x,根據(jù)題意得： BE=DE = x, AD=BD = 2x, CD = AD = 2x, AE根據(jù)勾股定理得：BC = AC = 2 J2 x, . / ABC = 45° , EHXBC,B

52、H=gx，EC =EF,.CH = BC-BH =FH = CH =3.2 x,2.BF=3x-絲 x=近x22迪=3x =3金T7 2x - 2AE= 32BF.216、在正方形 ABCD和等腰直角 BGF中，/ BGF = 90° , P是DF的中點(diǎn)，連接 PG、PC.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)，延長 GP交DC于點(diǎn)E.求證：PG=PC;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？請證明你的結(jié)論；(3)如圖3,若四邊形 ABCD為菱形，且/ ABC=60° , BGF為等邊三角形，點(diǎn) F在CB的延長線上時(shí)，線段 PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請

53、直接寫出你的結(jié)論，并畫出論證過程中需要添加的輔助線.證明：(1)/ DCB = Z FGB =Z FGC = 90° , .CD / GF ,/ EDP = / GFP，且 DP = PF , / DPE = / FPGDPEA FPG (ASA) .PE=PG, DE=GF, .BC=CD,EC=GC,且/ DCG=90° , PE=PG, .CP=PG;CG,(2)延長 GP 至ij E,使 PE=PG,連接 DE, CE,. DP = PF, /DPE = /FPG, PE=PG,DPEA FPG (SAS) .PE=PG, DE=GF, /EDP = /GFP,.G

54、F = GB,DE = BG, DC / BF , ./ CDP = Z BFP, ./ CDE = Z BFG = Z CBG=45° , DC = BC, /CDE = /CBG, DE=BG,CDEA CBG (SAS)，CE=CG, / DCE = Z BCG,，/ECG = 90° ,且 CE=CG, PE = OG, .PC=PG(3) PG=3PC.理由如下：如圖，DH ,作 FE / DCB、G又在一條直線上,延長GP至ij H ,使PH = PG ,連接CH, CG , .P是線段DF的中點(diǎn)，F(xiàn)P= DP, . / GPF = Z HPD,GFPA HDP

55、,.GF = HD, / GFP = Z HDP , . / GFP + /PFE = 120° , /PFE = /PDC, ./ CDH=/HDP+/PDC = 120° , 四邊形ABCD是菱形，.CD = CB, Z ADC = Z ABC = 60°，點(diǎn) A、 ./ GBC= 120° ,. BFG是等邊三角形，.GF = GB,HD =GB, . HDCAGBC,.CH = CG, / DCH = Z BCG,DCH + /HCB = /BCG + /HCB = 120° ,即/ HCG = 120° . CH = CG, PH=PG, PGXPC, / GCP = /HCP = 60° ,