1、 多元微積分的概念、理論、方法是一元微多元微積分的概念、理論、方法是一元微積分中相應概念、理論、方法的推廣和發展，積分中相應概念、理論、方法的推廣和發展，它們既有相似之處概念及處理問題的思想方它們既有相似之處概念及處理問題的思想方法又有許多本質的不同，要善于進行比較，法又有許多本質的不同，要善于進行比較，既要認識到它們的共同點和相互聯系，更要注既要認識到它們的共同點和相互聯系，更要注意它們的區別，研究新情況和新問題，深刻理意它們的區別，研究新情況和新問題，深刻理解，融會貫通。解，融會貫通。 多元函數微積分多元函數微積分 在上冊中，我們討論的是一元函數微積分，但實際問題中常會遇到依賴于兩個以上自

2、變量的函數多元函數，從而提出了多元微積分問題。 重點重點 多元函數基本概念，偏導數，全微分，多元函數基本概念，偏導數，全微分，復合函數求導，隱函數求導，偏導數的幾何復合函數求導，隱函數求導，偏導數的幾何應用，多元函數極值。應用，多元函數極值。難點難點復合函數求導，多元函數極值。復合函數求導，多元函數極值。 函數的微分法從一元函數發展到函數的微分法從一元函數發展到 二元函數本質上要出現一些新東西，但二元函數本質上要出現一些新東西，但 從二元函數到二元以上函數則可以類推，從二元函數到二元以上函數則可以類推，因此這里基本上只討論二元函數。因此這里基本上只討論二元函數。 函數的微分法從一元函數發展到函

3、數的微分法從一元函數發展到 二元函數本質上要出現一些新東西，但二元函數本質上要出現一些新東西，但 從二元函數到二元以上函數則可以類推，從二元函數到二元以上函數則可以類推，因此這里基本上只討論二元函數。因此這里基本上只討論二元函數。第四篇第四篇 多元函數微分法多元函數微分法了解多元函數基本概念，會表示定義域，了解多元函數基本概念，會表示定義域，會求二重極限、連續會求二重極限、連續深刻理解二元函數偏導數，能熟練求出一深刻理解二元函數偏導數，能熟練求出一階和高階偏導數階和高階偏導數掌握全微分概念掌握全微分概念會求復合函數偏導數，掌握隱函數的求會求復合函數偏導數，掌握隱函數的求導方法導方法會求曲線的切

4、線、法平面，曲面的切平會求曲線的切線、法平面，曲面的切平面和法線面和法線會求多元函數極值會求多元函數極值基本要求基本要求（1二元函數的定義二元函數的定義 設設D是是平平面面上上的的一一個個點點集集，如如果果對對于于每每個個點點DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對對應應，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數數，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. . 一、多元函數的概念一、多元函數的概念第一節第一節 二元函數的極限二元函數的極限第十章第十章 多元函數微分法多元函數微分法類似地可定義三元及三元以上函數類似地可定義三元

5、及三元以上函數當當2 n時時，n元元函函數數統統稱稱為為多多元元函函數數. 多多 元元 函函 數數 中中 同同 樣樣 有有 定定 義義 域域 、 值值 域域 、 自自 變變 量量 、因因 變變 量量 等等 概概 念念 .例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD （2） 二元函數二元函數 的圖形的圖形),(yxfz 設函數設函數),(yxfz 的定義域為的定義域為D，對于任意，對于任意取定的取定的DyxP ),(，對應的函數值為，對應的函數值為),

6、(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標、為橫坐標、y為縱坐為縱坐標、標、z為豎坐標在空間就確定一點為豎坐標在空間就確定一點),(zyxM，當當x取遍取遍D上一切點時，得一個空間點集上一切點時，得一個空間點集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個點集稱，這個點集稱為二元函數的圖形為二元函數的圖形.（如右圖）（如右圖）二元函數的圖形通二元函數的圖形通常是一張曲面常是一張曲面.（1鄰域鄰域 設設),(000yxP是是xoy平面上的一個點，平面上的一個點， 是某是某一正數，與點一正數，與點),(000yxP距離小于距離小于 的點的點),(yxP的全體，稱為點的全體，稱為點0P的的 鄰域

7、，記為鄰域，記為),(0 PU， ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P二、二元函數的極限二、二元函數的極限定 義定 義 1 1 設 函 數設 函 數),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其聚點，如果對于任意給定的是其聚點，如果對于任意給定的正數正數 ，總存在正數，總存在正數 ，使得對于適合不等式，使得對于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點，都有點，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A A 為函數為函數),(yxfz 當當0 xx ，0yy 時的極限，時的極限，記為記為 A

8、yxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）.（1定義中定義中 的方式可能是多種多樣的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態的，的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態的，所謂極限存在是指當動點從四面八方以可能有所謂極限存在是指當動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數都趨的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數都趨于同一常數。于同一常數。這是產生本質差異的根本原這是產生本質差異的根本原因。因。0PP （2二元函數的極限也叫二重極限二元函數的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3二元函數的極限運算法則與一元函數

9、類似二元函數的極限運算法則與一元函數類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、等價無窮小代換等，建議自行復習，寫出有關結論等價無窮小代換等，建議自行復習，寫出有關結論以鞏固和加深理解。以鞏固和加深理解。說明：說明：例例3 3 求極求極限限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx例例4

10、 4 證明證明 不存不存在在 26300limyxyxyx 證證取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關關，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找找兩兩種種不不同同趨趨近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但兩兩者者不不相相等等，此此時時也也可可斷斷言言),(yxf在在點點),(000yxP處處極極限

11、限不不存存在在 定義定義 2 2 設設n元函數元函數)(Pf的定義域為點集的定義域為點集0, PD是其聚點，如果對于任意給定的正數是其聚點，如果對于任意給定的正數 ，總 存 在 正 數總 存 在 正 數 ， 使 得 對 于 適 合 不 等 式， 使 得 對 于 適 合 不 等 式 |00PP的 一 切 點的 一 切 點DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，則稱成立，則稱 A A 為為n元函數元函數)(Pf當當0PP 時的極限，記為時的極限，記為 APfPP )(lim0. .n元元函函數數的的極極限限利用點函數的形式有利用點函數的形式有 設設n元函數元函數)(Pf的定義域為點集的定義

12、域為點集0, PD是其聚點且是其聚點且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱n元函數元函數)(Pf在點在點0P處連續處連續. . 設設0P是是函函數數)(Pf的的定定義義域域的的聚聚點點，如如果果)(Pf在在點點0P處處不不連連續續，則則稱稱0P是是函函數數)(Pf的的間間斷斷點點.例例5 5 討論函數討論函數 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續性處的連續性三、多元函數的連續性三、多元函數的連續性解解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 當當

13、 時時 220yx 2)0 , 0(),(fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函數在故函數在(0,0)處連續處連續.例例6 6 討論函數討論函數 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續性的連續性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數在故函數在(0,0)處不連續處不連續閉區域上連續函數的性質閉區域上連續函數的性質（1最大值和最小值定理最大值和最小值定理 在有界閉區域在有界閉區域D D上的多元連續函數，在上的多元連

14、續函數，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次（2介值定理介值定理 在有界閉區域在有界閉區域D D上的多元連續函數，如上的多元連續函數，如果在果在D D上取得兩個不同的函數值，則它在上取得兩個不同的函數值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次多元初等函數：由多元多項式及基本初等函數多元初等函數：由多元多項式及基本初等函數經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數叫多元初等函數用一個式子所表示的多元函數叫多元初等函數一切多元初等函數在其定義區域內是

15、連續的一切多元初等函數在其定義區域內是連續的定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續續，于于是是點點在在的的定定義義域域的的內內點點，則則是是數數，且且是是初初等等函函時時，如如果果一一般般地地，求求多元函數的定義多元函數的定義多元函數極限的概念多元函數極限的概念（注意趨近方式的任意性）（注意趨近方式的任意性）多元函數連續的概念多元函數連續的概念閉區域上連續函數的性質閉區域上連續函數的性質四、小結四、小結 若點若點),(yx沿著無數多條平面曲線趨向于沿著無數多

16、條平面曲線趨向于點點),(00yx時，函數時，函數),(yxf都趨向于都趨向于 A，能否，能否斷定斷定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因為若取原因為若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41思考題解答思考題解答練練 習習 題題一一、 填填空空題題: : 1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_ _ _

17、_ _. . 2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; ), 1(xyf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 若若22),(yxxyyxf , ,則則 ),(yxf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .函函數數)1ln(4222yxyxz 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、函數、函數yxz 的定義域是的定義域是_. . 7 7、函數、函數xyzarcsin 的定義域是的定義域是_. . 8 8、函數、函數xyxyz2222 的間斷點是的間斷點是_. .二二、 求求下下列列各各極極限限: :1 1、 xyxyy