1、拋物線典型例題12例典型例題一例1指出拋物線的焦點坐標、準線方程.,、22（1）x4y（2）xay（a0）分析：（1）先根據拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p,再寫出焦點坐標和準線方程.（2）先把方程化為標準方程形式，再對a進行討論，確定是哪一種后，求p及焦點坐標與準線方程.解：（1）p2,焦點坐標是（0,1）,準線方程是：y1211（2）原拋物線方程為：y2-x,2p*aa當a0時，p2,拋物線開口向右，24a1、，、1焦點坐標是（二,0）,準線方程是：x丁.4a4a當a0時，p工，拋物線開口向左，24a1、，、1焦點坐標是（一,0）,準線方程是：x一.4a4a1綜合上述，當a0時，

2、拋物線xay2的焦點坐標為（，,0）,準線方程是：4ax工4a典型例題二例2若直線ykx2與拋物線y28x交于A、B兩點，且AB中點的橫坐標為2,求此直線方程.分析：由直線與拋物線相交利用韋達定理列出k的方程求解.另由于已知與直線斜率及弦中點坐標有關，故也可利用“作差法”求k.,ykx222解法一：設A(xi,y>B(X2,y2),則由：2可得：kx(4k8)x40.y8x直線與拋物線相交，k0且0,則k1.,AB中點橫坐標為：'J24I82,2k解得：k2或k1(舍去).故所求直線方程為：y2x2.22解法二：設A(xi,yi)、B(x2,y2),則有yi8xv?8x2.兩式作

3、差解：(yiy2)(yiy2)8(x1x2),即y一y2一8一.xix2yiy2xix24yiy2kxi2kx22k(xix2)44k4,8k故k2或ki(舍去).4k4則所求直線方程為：y2x2.典型例題三例3求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓心與拋物線的準線相切.分析：可設拋物線方程為y22Px(p0).如圖所示，只須證明蜉|MMi,則以AB為直徑的圓，必與拋物線準線相切.證明：作AAl于Ai,BBil于Bi.M為AB中點，作MMil于Mi,則由拋物線的定義可知：AA1 AF , BB1BF在直角梯形BBiAiA中:MM11_1_1._2(AA|但&)-(AF|BF)2ABMM11-

4、AB,故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準線相切.2說明：類似有：以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應的準線相離，以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應的準線相交.典型例題四例4（1）設拋物線y24x被直線y2xk截得的弦長為3M求k化（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點P為頂點作三角形，當三角形的面積為9時，求P點坐標.分析：（1）題可利用弦長公式求k, （2）題可利用面積求高，再用點到直線距離求P點坐標.y2 4x解：(1)由 y4xy 2x得：4x2 k(4k 4)x k2 0設直線與拋物線交于k2人（為，丫1）與8誨，丫2）兩點.則有：x1 x2 1 k,x1 x2 一 4AB,(1 22)(x

5、X2)25(X1x2)2 4x1x2,5(1 k)2 k2,5(1 2 k)AB3而，5(1 2k) 345，即 k 4(2)S9,底邊長為3J5,三角形高hJ935丁點P在X軸上，設P點坐標是（Xo，0）412一一“2x00則點P到直線y2x4的距離就等于h,即尸V22Xo1或Xo5,即所求P點坐標是（一1,0）或（5,0）.典型例題五例5已知定直線l及定點A（A不在l上），n為過A且垂直于l的直線，設N為l上任一點，AN的垂直平分線交n于B,點B關于AN的對稱點為P,求證P的軌跡為拋物線.分析：要證P的軌跡為拋物線，有兩個途徑，一個證明P點的軌跡符合拋物線的定義，二是證明P的軌跡方程為拋物

6、線的方程，可先用第一種方法，由A為定點，l為定直線，為我們提供了利用定義的信息，若能證明PAPN且PNl即可.證明：如圖所示，連結PAPNNB由已知條件可知：PB垂直平分NA且B關于AN的對稱點為P.ANfe垂直平分PB.則四邊形PABNfe菱形.即有PAPN.ABl.PNl.則P點符合拋物線上點的條件：到定點A的距離與到定直線的距離相等，所以P點的軌跡為拋物線.典型例題六焦點弦，F為C的焦點，求證:_1_ _1_2PiF 所一p分析：此題證的是距離問題，如果把它們用兩點問例6若線段P1P2為拋物線C:y22Px（p0）的一條的距離表示出來，其計算量是很大的.我們可以用拋物線的定義，巧妙運用韋

7、達定理，也可以用拋物線的定義與平面幾何知識，把結論證明出來.證法一：F(p,0),若過F的直線即線段PiP2所在直線斜率不存在時,則有PFP2FP,iiii2麗麗688若線段P1P2所在直線斜率存在時，設為k,則此直線為:yk(X?)(k0),且設P(xi,yi),P2(X2,y2).k(Xp2得:k(T),221222kpkxp(k2)x4XiX22_p(k2)k2XiX2根據拋物線定義有:ii|PFPiFXi5P2FXiPiP2XiX2pP2F怙F|舊F|PF|IP2F請將代入并化簡得:PiFXix2p(Xi'|)(X2p)_i_2P2F-P證法二：如圖所示，設Pi、P2、F點在C

8、的準線且不妨設|P2P2的射影分別是A、B點,XiX2PpXiX22(XiX2)上的射影分別是P2FIn,PFm,FF又P2AFsP2BR,P1Pl,又設巳點在FF、由拋物線定義知,AFRF|BP|P2PlPPi上mnmnp(mn)2mn112mnp故原命題成立.典型例題七例7設拋物線方程為y22px(p0),過焦點F的弦AB的傾斜角為，求證:焦點弦長為AB.sin2分析：此題做法跟上題類似，也可采用韋達定理與拋物線定義解決問題.證法一：拋物線y22px(p0)的焦點為(：,0),過焦點的弦AB所在的直線方程為：ytan(xp由方程組ytan(x/肖去y得：y22px22,2、22-4xtan

9、4P(tan)ptan0八2x1x2pan2p(12cot2)設A(X,yJB(X2,y2),則2tanxi x2p又y1y2tan(x1x2)ABJ(1tan2)(x1x2)2(1tan2)(x1x2)24x1x2222(1tan2)p2(1cot2)4sec4p2cot2(1cot2),214p.4sin2p2sin即AB2p2sin證法二:如圖所示，分別作AN、BBi垂直于準線1.由拋物線定義有:AF AA1BF| BB1AFcos pp BF cos于是可得出:BFp1 cosABAFBF故原命題成立.焦點的準線為x1cos1cos2Pd21cos2P2sin典型例題八例8已知圓錐曲線

10、C經過定點P(3,2a/3),它的一個焦點為F(1,0),對應于該1,過焦點F任意作曲線C的弦AB,若弦AB的長度不超過8,且直線AB與橢圓3x22y22相交于不同的兩點，求(1)AB的傾斜角的取值范圍.(2)設直線AB與橢圓相交于GD兩點，求CD中點M的軌跡方程.分析：由已知條件可確定出圓錐曲線C為拋物線，AB為拋物線的焦點弦，設其斜率為k,弦AB與橢圓相交于不同的兩點，可求出k的取值范圍，從而可得的取值范圍，求CD中點M的軌跡方程時，可設出M的坐標，利用韋達定理化簡即可.解：(1)由已知得|PF|4.故P到x1的距離d4,從而|PF|d曲線C是拋物線，具方程為y24x.設直線AB的斜率為k

11、,若k不存在，則直線AB與3x22y22無交點.k存在.設AB的方程為yk(x1)4x可得：ky4y4k0k(x1)4設A、B坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),則：y1V2¥1¥24k.1k,、2,:；(y1y2)4y1y2k4(1k2)k4(1k2)c弦AB的長度不超過8,4(12k)8即k21k2yk(x1)2222由22得：(2k23)x24k2x2(k21)03x2y2:AB與橢圓相交于不同的兩點，k23由k21和k23可得：1kJ3或J3k1故1tanV3或<3tan1，所求的取值范圍是:(2)設 CD中點 M(x,y)、CH»)、D(x4

12、,y4)r y k(x 1) ,口 222由 22 得：(2k2 3)x2 4k23x2 2y2 2x 2(k2 1)X34k2x42一, x3 x12k 32x3 x4 2kzz2 r22k 31;2k2 3k2 3_2442k 3 92(k2 1)2k2 311 r2k222即一3 352k22k2 322 j (x 1)22(x 1)化簡得：3x22y2 3x;所求軌跡方程為：3x22y23x 0( x )53典型例題九例9定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線上移動,求AB的中點到y軸的距離的最小值，并求出此時AB中點的坐標.這是中點坐分析：線段AB中點到y軸距離的最小值，就是其橫坐標

13、的最小值.標問題，因此只要研究A、B兩點的橫坐標之和取什么最小值即可.解：如圖，設F是y2x的焦點，A、B兩點到準線的垂線分別是AC、BD,又M到準線的垂線為MN,C、D和N是垂足，則1MN1-12(AC |BD) 2(AF BF)AB設M點的橫坐標為x ,縱坐標為y ,MN等式成立的條件是AB過點F .5 .當x 4 時，y1y2p2i.Z，故(yi y2)22 yi2y22丫佻2,yiy2此時M到y軸的距離的最小值為4.說明：本題從分析圖形性質出發，把三角形的性質應用到解析幾何中，解法較簡.典型例題十例10過拋物線y2Px的焦點F作傾斜角為的直線，交拋物線于A、B兩點,求AB的最小值.分析

14、：本題可分鼻和2兩種情況討論.當時，先寫出|AB的表達式,再求范圍.解：(1)若萬，此時AB2P.若因有兩交點，所以AB:ytan(x),即xy2tan代入拋物線方程，有y2黑故(y2y1)2tan(X2 X1)2(y2 y1)2tan22, 2 csc4P tan故AB224 P csc(1g 4p2csc tan所以AB2P sin22P .因 一，所以這里不能取2綜合(1)(2),當萬時，|AB最小值2P.說明:(1)此題須對分一和一兩種情況進行討論;22從解題過程可知，拋物線點弦長公式為l二;sin(3)當萬時，AB叫做拋物線的通徑.通徑是最短的焦點弦.典型例題十一例11過拋物線y22px(p0)的焦點F作弦AB,l為準線，過A、B作l的垂線，垂足分別為A、B,則AFB為()，AFB為().A.大于等于90B.小于等于90C.等于90D不確定分析：本題考查拋物線的定義、直線與圓的位置關系等方面的知識，關鍵是求角的大小以及判定直線與圓是否相切.2,解：點A在拋物線上，由拋物線定義，則AAAF1乂AA/X蛔13.23,同理46,而2364180,.3690,AFB90.選C.過AB中點M作MMl,垂中為M,i'111則MM(AABB)(AFBF)一AB.2212以AB為直徑的圓與直線l相切，切點為M.又F在圓的外部，.AFB90.特別地，當ABx