1、隱式QR法求實(shí)矩陣的全部特征值matlab實(shí)現(xiàn)要求：用matlab編寫(xiě)通用子程序，利用隱式QR法求實(shí)矩陣的全部特征值和特征向量。思想：隱式QR法實(shí)質(zhì)上就是將一個(gè)矩陣 Schur化，之后求解特征值就比較方便。而隱式QR法還需要用到household變換，以及上hessenberg變換。最后使用QR迭代，達(dá)到Schur化的結(jié)果。步驟：1. 將矩陣A上hessenberg化（算法6.4.1），送而得到一個(gè)上hessenberg形矩陣H；2. 可約性判定，也就是判斷次對(duì)角線元素是否非零，如果次對(duì)角線元素非零，則不可約。3. Schur化，也就是通過(guò)QR迭代，將矩陣H變化成為某些次對(duì)角線元素變成0，同時(shí)

2、還要滿(mǎn)足，這些元素之間間隔最大為1，那么，所得到的最重的矩陣H就是一個(gè)Schur形矩陣。4. 假如兩個(gè)等于0的次對(duì)角線元素間隔為0，那么該元素的上面一個(gè)元素，也就是H的對(duì)角線上的元素，即為其中一個(gè)特征值；假如兩個(gè)等于0的次對(duì)角線元素間隔為1，那么在這兩個(gè)元素之間就形成了一個(gè)2*2的矩陣，可以求解一個(gè)一元二次方程來(lái)得到兩個(gè)共軛的特征值。實(shí)驗(yàn)代碼：詳見(jiàn)附錄2實(shí)驗(yàn)結(jié)果：（代碼相見(jiàn)附錄2）（i）設(shè)矩陣A如下：求x=0.9, 1.0, 1.1時(shí)的特征值和特征向量。X=0.9：r是特征值，V是特征向量矩陣。X=1：r是特征值，V是特征向量矩陣。X=1.1：r是特征值，V是特征向量矩陣。（ii）求的所有根。

3、附錄2隱式QR迭代：主程序：function r,V=SchurQR(A)%向量r用來(lái)儲(chǔ)存特征值%Hessenberg分解:m,m=size(A);for k=1:m-2 v,b=house(A(k+1:m,k); H1= eye(m-k)-b*v*v' H2=eye(m); for i=k+1:m for j=k+1:m H2(i,j)=H1(i-k,j-k); end end if k=1; H=H2; else H=H*H2; end A(k+1:m,k:m)=H1*A(k+1:m,k:m); A(1:m,k+1:m)= A(1:m,k+1:m)*H1;endu=10e-5;fo

4、r i=2:m; if abs( A(i,i-1)<=(abs(A(i,i)+ abs(A(i-1,i-1)*u; A(i,i-1)=0; endend%QR迭代：H22=A;x=Ifreducible(H22);while x=1 H22=Francis(H22); x=Ifreducible(H22);endr,V=EigValue(H22);子程序1：function r,V=EigValue(A)%計(jì)算A的特征值，特征向量n,n=size(A);r=zeros(1,n);y=zeros(1,n-1);%y用來(lái)儲(chǔ)存次對(duì)角線元素 for i=1:n-1 y(i)=A(i+1,i);e

5、ndm=0;for i=1:n-1 if abs(y(i)-0)<1e-5 m=m+1; endendif m=0 x=1;elsez=zeros(1,m);%z用來(lái)儲(chǔ)存值為0的y向量的角標(biāo)。j=1;i=1;while(i<n) if abs(y(i)-0)<1e-5 z(j)=i; j=j+1; end i=i+1;endend if z(1)=2%次對(duì)角線第一個(gè)等于0的元素的位置不同，需要2分類(lèi)討論 p=1,A(1,1)+A(2,2),A(1,1)*A(2,2)-A(1,2)*A(2,1) r(1:2)=roots(p);%求2*2矩陣的特征值 j=1; while j&

6、lt;m if z(j+1)-z(j)=1 r(z(j+1)=A(z(j+1),z(j+1); end if(z(j+1)-z(j)=2) p=1,-(A(z(j+1)-1,z(j+1)-1)+A(z(j+1),z(j+1),A(z(j+1)-1,z(j+1)-1)*A(z(j+1),z(j+1)-A(z(j+1)-1,z(j+1)*A(z(j+1),z(j+1)-1); r(z(j+1)-1):z(j+1)=roots(p); end j=j+1; end if n-z(m)=1 r(n)=A(n,n); else p=1,-(A(n-1,n-1)+A(n,n),A(n-1,n-1)*A(n

7、,n)-A(n-1,n)*A(n,n-1); r(n-1:n)=roots(p); endelse r(1)=A(1,1); j=1; while j<m if z(j+1)-z(j)=1 r(z(j+1)=A(z(j+1),z(j+1); end if(z(j+1)-z(j)=2) p=1,-(A(z(j+1)-1,z(j+1)-1)+A(z(j+1),z(j+1),A(z(j+1)-1,z(j+1)-1)*A(z(j+1),z(j+1)-A(z(j+1)-1,z(j+1)*A(z(j+1),z(j+1)-1); r(z(j+1)-1):z(j+1)=roots(p); end j=j

8、+1; end if n-z(m)=1 r(n)=A(n,n); else p=1,-(A(n-1,n-1)+A(n,n),A(n-1,n-1)*A(n,n)-A(n-1,n)*A(n,n-1); r(n-1:n)=roots(p); end end子程序2：function x=Ifreducible(A)%判斷H22是否已經(jīng)schur形 x=1表示還不是schur形，x=0表示已經(jīng)是schur形%y用來(lái)儲(chǔ)存A次對(duì)角線元素%z用來(lái)儲(chǔ)存y元素為零的角標(biāo)n=size(A);y=zeros(1,n-1);x=1;for i=1:n-1 y(i)=A(i+1,i);endm=0;for i=1:n-

9、1 if abs(y(i)-0)<1e-5 m=m+1; endendif m=0 x=1;elsez=zeros(1,m);j=1;i=1;while(i<n) if abs(y(i)-0)<1e-5 z(j)=i; j=j+1; end i=i+1;endi=1;while(i<m) if z(i+1)-z(i)>2 x=1; break; end i=i+1; end if i>=m x=0;end end子程序3：function H22=Francis(A)%QR迭代H22=A;q,q=size(H22);p=q-1;s=H22(p,p)+H22(

10、q,q);t= H22(p,p)* H22(q,q)- H22(p,q)*H22(q,p);x=H22(1,1)*H22(1,1)+H22(1,2)*H22(2,1)-s* H22(1,1)+t;y=H22(2,1)*(H22(1,1)+H22(2,2)-s);z=H22(2,1)*H22(3,2);for k=0:q-3; v,b=house(x,y,z'); w=max(1,k); H22(k+1:k+3,w:q)=(eye(3)-b*v*v')* H22(k+1:k+3,w:q); r=min(k+4,q); H22(1:r,k+1:k+3)= H22(1:r,k+1:k+3)*(eye(3)-b*v*v'); x=H22(k+2,k+1); y=H22(k+3,k+1); if k<q-3 z=H22(k+4,k+1); endendv,b=house(x,y');H22(q-1:q,q-2:q)=(eye(2)-b*v*v')*H22(q-1:q,q-2:q);H22(1:q,q-1:q)=H22(1:q,q-1:q)*(eye(2)-b*v*v'); 子程序4：function v,b=house(x)%house變換n=length(x);m=max(abs(x);x=x/m