1、第五講 資本資產定價理論第一節 資本資產定價模型與資產組合理論一樣，資本資產定價模型（Capital Asset Pricing Model,CAPM）也是對現實世界的抽象化研究，因而它也是建立在一系列嚴格的假設條件之上。由于CAPM模型是以資產組合理論為基礎，因此它除接受了馬爾科維茨的全部假設條件以外，還另外附加了一些自己的假設條件，主要有：投資者具有同質預期，即市場上的所有投資者對資產的評價和對經濟形勢的看法都是一致的，他們對資產收益和收益概率分布的看法也是一致的。存在無風險資產，投資者可以以無風險利率無限制地借入或者貸出資金。一存在無風險資產時，金融市場的證券組合選擇設金融市場上有一種無

2、風險證券，其收益率為；種有風險資產(即有種股票可以投資)，投資的收益仍然用表示：式中，“”表示矩陣的轉置。 設投資組合為。是在無風險證券上的投資份額 在存在無風險資產和允許賣空的假設條件下，不存在預算限制，投資者可以通過賣空無風險資產來購買有風險的證券。，顯然：這是一個包含無風險證券的投資組合，其期望收益為：若給定收益為，則上式變為：風險資產組合的方差為 加入無風險資產以后對資產組合的方差并沒有影響，因此其方差等于第四講中我們介紹的風險資產組合的方差。：投資者所要求的最優資產組合仍然必須滿足下面兩個條件之一：在預期收益水平確定的情況下，即，求可以使風險達到最小的，即最小；在風險水平確定的情況下

3、，即，求可以使收益達到最大的，即達到最大。這兩個線性規劃問題是等價的，下面我們對條件進行求解。將條件用數學語言表達出來就是：它滿足約束條件：拉格朗日函數為：注：“”的讀音為“gama”。對求偏導數：移項：因為所以將代人式，有：（說明：為了表明所求的證券組合與有關，故在上式中用表示。）此時，資產組合的方差為：其中令則在平面上，式可以表示為兩條直線。但是，顯然向下傾斜的那條直線是無效的，因為理性的投資者不可能選擇在同等風險條件下收益較小的組合。式可以寫成直線：這表示：如果金融市場存在無風險資產，那么在證券組合投資收益為的條件下，若風險最小的投資組合的風險為，則滿足方程 ，其直線如圖5-1所示。由于

4、在這個條件下存在最小方差的證券組合，因而如果滿足式，則它對應的證券組合就是最小方差證券組合。二資本市場線在給定投資目標、證券組合收益的情況下我們討論了如何尋找最小方差證券組合，結論是其方差及證券組合的收益必須滿足一直線方程。無風險資產和風險資產之間的組合有很多種。現在，我們繼續討論當金融市場存在無風險資產時如何進行投資組合的選擇。為了說明這個問題，我們先引入下面的定義：定義5-1：稱為夏普比(Sharpe ratio)，記為S.R.（如圖5-2、圖5-3所示）S.R.表示承擔每一單位的風險所得到的超回報，它是點與雙曲線上的點連線的斜率（如圖5-3所示）。 隨著該點在雙曲線上不斷上升，這個數值也

5、越來越大，這表明投資者承擔單位風險時獲得的收益也越來越大。容易看出，當直線過點并與有效前沿相切時，夏普比達到最大值。理性的投資者必然會選擇單位風險回報最大的投資組合。因而理性人在投資時，一部分資金會投放在無風險債券上（回報為），一部分資金會投放在過點 并與有效前沿曲線相切的直線所代表的資產組合上。也就是說，在市場線上選擇的投資組合是最佳的（在這條直線上每一點的斜率都一樣。與連接點和有效前沿曲線上其他點的連線相比，它的斜率最大，即夏普比最大）。下面，我們將說明直線就是與有效前沿相切并過點 的直線。在給定證券組合收益并滿足條件的情況下，若投資者將全部資產都投資在風險證券中，求此時的最優投資證券組合

6、。考慮的情況，此時有，這時風險資產組合的收益，兩邊同時減去，得：因此，所求問題為：它滿足條件：并與時的限制條件 式是一樣的。故由 式可知：兩邊同乘以又因為，故所以此時有命題5-1 在直線上。證明：將式代入式的右邊得與式比較，即在式所表示的直線上。命題5-2 滿足式：即證券組合是在給定收益為的情況下，滿足的最小方差投資證券組合（說明該投資組合在有效前沿上）。證明：將代入上式的右邊得即滿足方程，這表明該證券組合在有效前沿上。綜合命題5-1、命題5-2可知，既在直線上，又在有效前沿上。命題5-3 式所表示的直線與有效前沿相切于點。證明：由于在前面我們已經證明既在所表示的直線上，又在有效前沿上。因此，

7、我們只要證明該直線的斜率和有效前沿在這一點的切線斜率相等即可。式所表示的直線的斜率為：對于曲線 又因為由式，有它與式所表示的直線的斜率相同，所以該直線與有效前沿相切于點 。 我們稱式所表示的直線為資本市場線。在任意給定證券收益的情況下，其最優（方差最小）證券組合是無風險證券與 的線性組合。由于資本市場線同時過點和點，因此其方程又可表示為：點表示投資者將全部資金投資于無風險資產；點表示投資者將全部資金投資于風險資產組合；點和點之間的線段表示投資者在無風險資產和資產之間進行了適當的資金配置；點之后的射線部分表示投資者賣空無風險資產之后全部投資于風險資產 由于賣空是沒有限制的，因此射線無限延長。從理

8、論上講，投資者可以投資于資本市場線上的任意一個組合，不過在實際中如何具體選擇則取決于投資者的風險偏好：風險厭惡的投資者可以選擇接近點的組合；風險偏好的投資者可以在直線上選擇點右上方的組合。三市場組合由于我們在前面已經假設所有的投資者都具有相同的預期，因此當市場上的所有投資者都采用馬克維茨的組合理論構建風險資產的組合時，他們必定會選擇同一個風險資產組合，也就是圖5-3中的點，從而保證其風險資產組合和無風險資產的組合最優（方差最小）。此時，投資者對風險資產組合的選擇和他們對待風險的態度是無關的。當資本市場處于均衡的時候，市場上總供給和總需求是相等的，而且每種資產都會有一個均衡價格，也就是市場出清價

9、格。由于我們已經知道同質預期下的投資者都將選擇市場組合，因此市場處于均衡的必要條件就是必須包括市場上所有的風險資產。如果市場上存在沒有需求的風險資產，那么該市場就不是處于均衡狀態。我們稱包含市場上所有風險資產的組合為市場組合，點就是這樣的市場組合，我們一般用來表示。相應地，市場組合的期望收益和方差分別為和，因而式可以改寫為：該式是市場均衡情況下資本市場線的表達式，它反映了無風險資產和市場組合進行再組合后所產生的最優組合的收益和風險之間的關系。四證券市場線資本資產定價模型所要回答的問題是在市場均衡狀態下，某風險資產的收益和風險之間的關系，也就是如何給風險資產進行定價。我們前面做的工作只是一個鋪墊

10、，在本節我們將導出證券市場線，并由證券市場線來解釋如何給風險資產定價。對于市場上風險資產組合而言，它與點所對應的證券組合有什么樣的關系呢?我們首先可以計算出兩者的協方差：將 式代入，可得另外且所以將式和式相除得：即在統計學上稱為回歸系數，令則式可以改寫為：進一步，我們引進上述市場組合的概念，并用代替 在市場均衡的條件下，。、代替，以表示風險資產與市場組合之間的關系，則 式可寫為 這就是著名的證券市場線(security market line，簡稱SML)，也就是傳統CAPM模型的公式表示。由證券市場線我們可以看出，風險資產的收益由兩部分組成：一部分是無風險資產的收益；另一部分是市場風險補償額

11、。運用證券市場線，我們就可以確定風險資產自身的風險和收益關系。也就是說，我們可以對其進行定價。第二節 套利定價模型CAPM模型問世以后取得了巨大的成功，但是由于該模型建立在一系列嚴格的假設條件之上，并且許多假設與現實經濟生活差距太大，因此該模型也受到了不少批評和質疑。1976年，斯蒂芬·羅斯(Stephen Rose)發表收益、風險和套利一文，系統地提出了套利定價理論(arbitrage pricing theory，APT)，從而將資本資產定價理論的研究推向了一個新階段。一套利定價模型的分析思路套利定價模型與資本資產定價模型相同的假設有：資本市場是完全競爭和有效的，不存在交易成本；

12、投資者的目標是實現期望效用最大化；所有的投資者對于資產的收益分布具有一致的預期。但是與資本資產定價模型不同的是，套利定價模型并不要求投資者能以無風險的利率借入和貸出資金，也不要求投資者以資產組合的收益和方差為基礎進行投資決策。套利定價模型最重要的一點是假設風險資產的收益受到市場上幾種不同風險因子的影響，而到底是哪幾種風險，這些風險具體是什么則無關緊要。設市場上風險資產的收益一共受到個風險因素的影響，可表示如下：在上式中，是任意一種風險資產的收益，是該風險資產的預期收益，是影響風險資產收益的公共風險因子，是風險資產對不同公共風險因子的敏感度，是殘差項。式還同時滿足下列兩個條件： 且這兩個條件一方

13、面是為了符合統計學中多元線性回歸模型的要求而設定的，另一方面在APT模型中也有著特殊的解釋意義。式表示殘差項的期望為零，從而表明殘差項只對資產的風險有貢獻，它考慮了公共風險因子未包括進去的風險，但是它對資產的收益沒有貢獻。式表示除了公共風險因子以外，模型中不再存在同時影響兩種或兩種以上資產收益的共同因素。也就是說，模型已經分離了所有影響資產收益的公共風險因子。式用矩陣形式表示就是：在式中，是資產收益向量，是期望收益向量，是因子敏感度矩陣，是公共風險因子向量，是殘差向量。式所表示的模型是單指數模型的一個推廣。但是與單指數模型不同的是，該模型表明資產的期望收益率受一組公共風險因子影響，市場組合可能

14、只是其中的一個風險因子，其他風險因子（諸如利率、通貨膨脹率、GDP增長率等）也可能包括在內。簡單地說，市場組合在套利定價理論中并沒有特殊作用，它只是可能影響資產收益的因素之一。二套利和套利定價模型設為投資組合中資產的投資權重，則由自融資的特點（在整個投資過程中不注資也不撤資），我們可以得到：又由于套利組合是無風險的，意味著它對任何一個公共風險因子都沒有敏感性也就是公共風險因子的加權平均應該為零，即 由于所有投資者對資產的收益分布有著相同的預期，這就意味著套利機會一旦出現就會被市場上所有的投資者知曉。對于理性的投資者而言，他們一旦發現套利機會就會充分予以利用，直至套利機會消失，市場重新達到均衡。

15、由此可見，在有效的市場上，是不存在套利機會的。也就是說，零投資、零風險套利組合的期望收益也將為零，這可用數學公式表示為：根據上述三式可知，套利組合的投資比例向量分別與元素全為的向量，公共風險因子敏感度向量以及期望收益向量正交。由線性代數的知識可知，若某一向量正交于個向量，并能由此推得它與第個向量正交，那么第個向量可以表示為這個向量的線性組合。也就是說，資產的期望收益向量可以表示為元素全為的向量以及公共風險因子敏感度向量的線性組合。因此，存在常數以及，使得：對于任意的風險資產而言，有式和式就是套利定價模型的標準表達式。其中，表示對所有公共風險因子敏感度為零的資產組合的收益率（當存在無風險資產時，

16、扎就是無風險資產的收益率）；為第個風險因子的風險溢價。若存在無風險資產，令表示某一資產對其他所有風險因子的敏感度均為零，而對第個風險因子的敏感度為時的期望收益率，則將式代人式，得到：在資產的收益率服從聯合正態分布和公共風險因子不相關的情況下，根據多元線性回歸方程，上式中的可以解釋為：由此可見，的形式與資本資產定價模型中的定義形式完全相同。三套利定價模型和資本資產定價模型的比較APT模型一般假設資產的期望收益率受到個風險因子的影響。當只存在一個表示市場風險的風險因子時，式簡化為：式中，；等同于。因此，上式實際上就是CAPM模型的標準形式。也就是說，CAPM模型實際上是APT模型的一個特例。 AP

17、T模型與CAPM模型最大的區別就在于：前者采用的是無套利的分析方法，而后者采用的是風險/收益分析方法。APT模型的出發點是排除市場的套利機會，只要市場存在套利機會，投資者的套利行為就會使套利機會趨于消失，市場重新實現均衡。風險收益分析方法則假設投資者在風險和收益之間進行綜合衡量以使自己的效用最大化，在投資者都有同質預期的假設下，投資者都會擁有同樣的資產組合，這一資產組合就稱為市場組合，而風險資產的價格主要受市場組合的影響。 與CAPM模型相比，APT模型是在更弱的假設條件下推導出的更為一般的資本市場定價模型。在CAPM模型中，風險資產的價格是通過市場的內在因素確定的，即某種資產的價格是由資本市場上現有的所有資產共同確定的；對于APT模型而言，資產的合理價格是通過外在的因素確定的，即資