1、1【知識概述】一、平面的法向量顯然一個平面的法向量也(1)所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量,有無數(shù)個，它們是共線向量在空間中，給定一個點A和一個向量a,那么以向量a為法向量且經(jīng)過點 A的平面是 唯一確定的.、利用空間向量證明平行關(guān)系設(shè)直線I,m的方向向量分別為a,b,平面a, B的法向量分別為u, v,貝U線線平行l(wèi)/m : = aII b ：二 a線面平行1 a 二 a 丄0；面面平行a 3 u/v二 u =kv.【學(xué)前診斷】1.難度中已知正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F分別在DB、DiC上，且DE = DiF = #a，其中3a為正方體棱長.求證：EF /平面

2、BBiCiC.2.難度中如圖，在長方體 ABCD-AB iCiDi 中，AB= 4, BC = 3, CCi = 2.求證：平面ABG 平面ACD1.邑b1彥呂可明德啟智誠心教育數(shù)學(xué)？選修2-1數(shù)學(xué) ?選修 2-1AZHLcam如圖，在直四棱柱 ABCD-A iBiCiDi中，底面 ABCD為等腰梯形，AB/ CD ,AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E、E1、別是棱AD、AA1、AB的中點.證明：直線EEi/平面FCC【經(jīng)典例題】例1?如圖，已知直三棱柱AAi, D、E、F分別為ABC A1B1C1中， ABC為等腰直角三角形，/ BAC = 90 °Bia C1C、B

3、C 的中點.且AB =fl'A(:2E, F , OBOE.平面求證：DE /平面ABC.例2.如圖，平面FAC丄平面ABC, ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,分別是FA, PB,AC的中點，AC= 16, PA二FC= 10.設(shè)G是0C的中點，證明FG /AB, AM=FN ,求證：MN/ 面 BCE.I)明德啟智誠心教育DEZHLmm例3.如圖，兩個全等的正方形 ABCD和ABEF所在平面交于例4.已知正方體 ABCD AiBiCiDi的棱長為2, E、F分別是BB “ DD 1的中點,求證：平面ADE /平面BCiF.例5.如圖在底面是菱形的四棱錐 P - ABCD中，.A

4、BC=60 , PA二AC ,aPB = PD = '、2a，點E在PD上，且PE : ED二2:1，在棱PC上是否存在一點F,使BF II平面AEC ?證明你的結(jié)論.O '"1【本課總結(jié)】1.求一個平面的法向量的坐標(biāo)，首先要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解步驟如下:設(shè)平面的法向量為n= ( x,y,z);找出(求出)平面內(nèi)的兩個不貢獻(xiàn)的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,C1) ,b=(a2,b2,C2)；根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組！門°一nb = 0;解方程組，取其中的一個解，即得法向量的坐標(biāo)2.證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向

5、向量是共線向量3.證明線面平行的方法:證明直線的方向向量與平面的法向量垂直數(shù)學(xué)？選修數(shù)學(xué)？選修2-12-13明德啟智誠謫育 EZHLcam利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量4.證明面面平行的方法:轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行的處理;證明這兩個平面的法向量是共線向量5.向量法解決立體幾何問題的三個步驟:建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題中涉及的點、立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題; 通過向量運(yùn)算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問題; 把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義，即回歸到圖形問題【活學(xué)活用】1.難度中如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形 ABEF所在平面互相垂直,.ABE是等腰直角三 角形，AB 二 AE,FA 二 FEAEF =45 .(I )求證：EF _平面BCE ；(II )設(shè)線段CD、AE的中點分別為P、M ,求證：PM /平面BCE .B4Ct： rz 7明總啟智誠心教育2 DHZMLC mn2.難度中如圖，平面PAC 平面ABC , : ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F,0 分別為PA, PB,AC的中點，AC =16, PA二PC =10 ?設(shè)G