1、學科教師輔導教案學員姓名年級局二輔導科目數學授課老師課時數2h第次課授課日期及時段2015年月日:_:三角函數(二)三角函數圖像和性質1 .正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像函數y=sinxy=cosxy=tanx圖像y11尸Jm2土4%定義域值域單調性單增區間：單減區間：單增區間：單減區間：單增區間：奇偶性周期性對稱性對稱軸：對稱軸：無對稱中心：對稱中心：最值最大值：最大值：無最小值：最小值：2 .周期函數(1)周期函數的定義對于函數f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T);f(x),那么函數f(x)就叫做周期函數，T叫做這個函數的周期.(2)最小正

2、周期：若f(x)在所有周期中存在一個最小正數，稱它為最小正周期(3)函數方程與周期周期的定義本身就是方程f(x+T)=f(x)對VxwR恒成立.對f(x+T)=f(x)可作變形：右f(x+a)=f(x+b),則f(x)的周期為T斗ba|1若f(x+a)=±，則f(x)的周期為T=2af(x)若f(x+a)=_f(x)，則f(x)的周期為T=2a3.函數y，Asin但x+cA.小0),x01)的有關概念當函數y=Asin(ox+<P)(A>0,©>0)表示一個振動量時，1-.2二A：振幅;f=-=-:»T=：咽；cox+5：W,當m=0時，&quo

3、t;稱為初相.注：上述概念是在A>0,切A0前提下定義的，若A<0或切<0,則中不是初相.4 .由ygsinx到y.Asin儂x+呼)(Ag唱0)的圖像變換沿x軸平移：按“左加右減”法則;沿y軸平移：按“上加下減”法則(2)相位變換把正弦函數y=sinx(xwR)曲線上所有點伸長(當A>0時)或向右(當A<0時)平移1cpi個單位長度t得到函數y=sin(x+5)(xwR)的圖像.(3)周期變換把正弦函數y=sinx(xWR)曲線上所有點的橫坐標縮短(當3>1時)或伸長(當0<6<1時)到原來的1,倍(縱坐標不變)t得到函數y=sinsx(xwR

4、)的圖像.co(4)振幅變換把正弦函數y=sinx(xwR)曲線上所有點向上(當k>1時)或縮短(當0<k<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)t得到函數y=Asinx(xwR)的圖象.(5)上下平移變換把正弦函數y=sinx(xwR)曲線上所有點向上(當k>0時)或向下(當k<0時)平行移動|k|個單位長度t得到函數y=sinx+k(xwR)的圖象.5 .如何得到yBAsin(ox+cP)(a|-0,(->|>0)的圖像變換作圖法由函數y=sinx(xWR)的圖象通過變換得到y=Asin(cox+中)(AA0,®>0)的圖像，有兩種主要途

5、徑先平移后伸縮“，"先伸縮后平移”.方法一：“先平移后伸縮”局齊針面人,9a橫坐標變為原來的倍y=sinx(xeR)涓訴兩一包ty=sin(x+中)w標!T曜ty=sin(cox十中)縱坐標變為原來的A吾A.,、皿冰箜3y=Asin(6x+中)方法二：“先伸縮后平移”1.、./-n、橫坐標煲為原來的非.向左(令0)或向右(他)./八+、y=sinx(xuR)y=sin®x-qr-y=sin®x十中)平移|己I甲位縱坐標變為原來的A音輔導教案第1頁(共11頁)cp在“先伸縮后平移”方法中，注意在變換過程中應將x的系數化為“1”，即平移量為I|個單位華,XNX-3：（

6、x）（2）“五點法”作圖關鍵是找準五點，這五個點就分別使y能取到最小值、最大值、曲線與x軸相交的點.3二一般令gx+中=0,n，一,2兀,即可得到所畫圖像的關鍵點的坐標.其中橫坐標成等差數列，公差為2 2三.再利用周期性擴展到整個定義域.46,函數y|Asin（Q>x+）（Aj0,ej0）的圖像和性質（1）熟記y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖像和性質.（2）把ox+中看成一個整體，與基本函數對照起來，代入相應公式可解決正弦型函數的如下性質定義域：R值域：-AA最值：要想求何時取得最大值，ymax=A,只須令8x+力=；+2依，求出x要想求何時取得最小值，ymin=-A,只須令

7、ox十邛=十2kn,求出x單調性：單調增區間：只須令一三十2knWcox+邛W巴+2kn,求出x的范圍.223 二一單倜減區間:只須令一+2knEsx+*<+2依，求出x的范圍.22一2二周期性：T=I'I注：在求解三角函數的周期性有關的問題時，就注意數型結合，特別是與對稱性有關的圖像2二如：y斗Asin（0x+中）|的周期為，但y=Asin（切x+中）+b|（b#0）的周期仍為.IdII對稱軸：過波峰或波谷處且與x軸垂直的直線為其對稱軸若y=Asin（8x+中）已知，要求對稱軸，只須令8x+中=上+kn,求出x.2若已知y=Asin（切x+中）圖像關于直線x=xk對稱，求某參數

8、時，只須令切xk+5+E.2對稱中心：圖像與x軸的交點是其對稱中心若y=Asin（ox+町已知，要求對稱中心，只須令sx+邛=k%求出x=x0,則對稱中心為（為,0）.若已知y=Asin8x+再圖像關于點（xk,0）對稱，求某參數時，只須令。人+邛=依.奇偶性：y=Asin（©x+邛）本身不一定具備奇偶性，但當邛滿足一定條件時，使它能化到y=±Asin®x或y=±Acosx時，就具備了奇偶性,主要利用了“奇變偶不變”的思想.y=Asinx六將y=Acosx'奇函數；%偶函數y=Asinxy=Acosxy=Asin（ox十中）為奇函數u中=kn,k

9、wZ,化到y=±Asin©x；y=Asin（ox+CP）為偶函數u中=+kn,kwZ,化到y=士Acoscox；TTy=Acosfex+邛）為奇函數uk=_+kn,kzZ,化到y=±Asin©x；2y=Acos（ox+邛）為偶函數u中=kn,kwZ,化到y=±Acosox7.求函數ylAsin（ox+邛）+b的解析式解決問題的關鍵是確定參數A,。尸，基本方法是在觀察圖像的基礎上，利用待定系數法求解求A,b：確定函數的最大值M、最小值mUA=MZm,b=M+m.222（2）求與：確定函數的周期T,則色=f.（3）求中：常用方法有 代入法：把圖像上

10、一個已知點代入（此時A,b已知）或代入圖像與直線y=b的交點求解（此時要注意交點在上升區間還是下降區間上） 五點法：往往以尋找“五點法”中第一零點（-2,0）作為突破口，具體如下：中“第一點”（即圖像上升時與x軸的交點）為缶x+邛=0；“第二點”（即圖像的“峰點”）為ex+平=上；2“第三點”（即圖像下降時與x軸的交點）為0x+中=n；3一“第四點”（即圖像的“谷點”）為切*十中=咄；2“第五點”（即圖像再次上升時與x軸的交點）為cox+邛=2元.（4）當不能確定周期T時，往往要根據圖像與y軸的交點，先求中.8.函數yAsin（©x+<P）（Ag01co0）的單調性（1）函數y

11、=Asin（mx+平）（A>0,切>0）的單調區間的確定，基本思想是把mx+中看作一個整體，n小冗比如：令+2knE0x+邛W-+2M,求出x的范圍.所得區間即為單調增區間.22.二.3二令一+2依工切乂+中=+2卜元，求出x的范圍.所得區間即為單調減區間.22若函數y=Asin（切x+中）中，A>0,©<0,可用誘導公式將函數變為y=Asin（-ox邛），則y=Asin（wx-5）的增區間，為原函數的減區間；減區間為原函數的增區間對于y=Acos（x）的單調性的討論與上面類似.（2）利用單調性比較大小比較三角函數值的大小，往往是利用奇偶性或周期性轉化為屬于同

12、一單調區間上的兩個同名三角函數值，再利用單調性比較.9.三角函數的最值與值域的常見類型及解題策略最值問題是三角函數中考查頻率最高的重點內容之一，是對三角函數概念、圖像、性質以及誘導公式、同角三角函數關系、三角公式變換等內容的綜合考查，也是與函數的交匯點輔導教案第5頁（共11頁）(1)y=asinx+bcosx型b引入輔助角公式y=asinx+bcosx=Ja+bsin(x+中),其中tan中=,利用三角函數的有界性,a有y三j/a2b2,a2b2.(2),22y=asinx+bsinxcosx+ccosx型2.2降次、整理-,y=asinx+bsinxcosx+ccosxyy=Asin2x+B

13、cos2x=vA+Bsin(2x+中)，其中(3)B=B,再利用有界性處理.Aasinxbfacosxby=或y=型csinxdccosxd轉化為sinx=f(y)或cosx=f(y)的形式，再利用有界性|sinx區1或|cosx區1求最值.22(4)y=asinxbcosxc或y=acosxbsinxc型可轉化為以sinx或cosx為變量的二次函數，通過配方來求解asinxb司(5) y=型ccosxd可化D3為sin(x+。)=f(y)的形式，由有界性求最值；或用數型結合，常用到直線斜率的幾何意義c(6) y=asinx(a,b,c0)bsinxc.令sinx=t,|t|E1,則轉化為求y

14、=at+(1EtE1)的最值，一般要用圖像.bty=a(sinx二cosx)bsinxcosxc型令sinx±cosx=t,|t|WJ2,用換元法化歸為代數問題求解.闞分析考點一、三角函數的定義域例1.求下列函數的定義域(1)y=lg(2sinx-1).1-2cosx;(2)y=2+10glx+Jtanx輔導教案第9頁(共11頁) y =，36 - x2 lgcos x. n . n一(2) y =sin(2x-一)x 0, 621 .二 2X(1) y - sin(-)243sin x(2) y = log 1sin2x(3) y = 22考點三、三角函數的值域和最值 例5.求下列

15、函數的值域(1) f (x) h 2.-3sin 2x: cos2x,x 0, 22JI2cos x 1廠x；例2.求下列函數的定義域(1)y=lg(2sinx);考點二、三角函數的單調性例3.求下列函數的單調區間(1)y=sin(3-2x)例4.求下列函數的單調區間例6.已知函數f(x)=cos2xasinx+b(a>0,bwR)的最大值為0,最小值-4,求a、b的值.考點四、三角函數解析式的求法例7.已知曲線y=sin(ox+cP)(A>0,o>0)上的一個最高點的坐標為(三訴.2(1)求這條曲線的解析式.(2)求f(x)的對稱軸方程例8.已知函數y=Asin(ccx+邛

16、)(|邛|<三,6>0)的圖像的一部分如圖所示2求f(x)的表達式；(2)說明f(x)的圖像可由y=sinx的圖像經過怎樣的變換得到例9.將函數y=sin2x的圖象向左平移三個單位，再向上平移1個單位，所得圖象的函數解析式是4考點五、三角函數的圖像例10.已知a是實數，則函數f(x)=1+asinax的圖象不可能是()2例11.已知函數f（x）=Acos（cox+中）的圖象如圖所不，f（一）=_則f（0）=23例12.已知函數y=sinx十5）>0,nE5<n）的圖像如圖所示，則中二i/TA / 12輔導教案第#頁（共11頁）1、（2012安徽文）要得到函數y=cos（

17、2x+1）的圖象，只要將函數y=cos2x的圖象（C）一一11（A）向左平移1個單位；（B）向右平移1個單位；（C）向左平移萬個單位；（D）向右平移2個單位2. (2014大綱)設2=sin33©b=cos55：c=tan35t則(C)A.a>b>cb.b>oaC.c>b>aD.c>a>b3. （2012大綱文）若函數2 二B.3一、 .xf (x) =sin33 二C.24. （2014福建文）將函數（邛w卜2n）是偶函數，則邛=（C ）D.y =sin x的圖象向左平移3三個單位，得到函數 y = f （x）的函數圖象，則下列說 2法正確

18、的是（D）B.y = f （x用周期為幾A.y = f （x強奇函數C.y = f （x的圖象關于直線5. （2013山東）函數y=x cos x+sin x的圖象大致為（D ）yoAc1)6. （2013滬春招）既是偶函數又在區間（0,n）上單調遞減的函數是（ji一，02x=三對稱 D.y = f（x/勺圖象關于點.-7T00IT(A)y=sinx(B)y=cosx(C)y=sin2x(D)y=cos2x7. (2013 四川)函數 f(x)=2sin(cox+ 昉9>0,w,（）的值分別是（A ）兀兀A. 2， 3 B。2， 6C. 4,D. 48.（2014浙江）為了得到函數y=s

19、in3x+cos3x的圖象，可以將函數y=J2sin3x的圖象（D）TT向右平移二個單位4TTB.向左平移 二個單位4TTC.向右平移 二個單位12D.向左平移二個單位129.( 2013 天津文)函數 f(x) = sin區間0的最小值為（B輔導教案第13頁（共11頁）；22A.1B./C?2-D.010. (2013 福建文)將函數 f (x) =sin(2x+8)(Ji _<9 <2,）的圖象向右平移中（中A 0）個單位長度后得到3函數g（x）的圖象，若f（x）,g（x）的圖象都經過點P（0）,則邛的值可以是（2jiA. 一3B.【簡解】P在f（x）上,6ji0 =一3C.f

20、(x)=sin(2x+D.兀3）；g（x）=sin2（x-（）+'過點 P, （）= 滿足條件。選 B3611.（2014遼寧）將函數y=3sin（2x+-）的圖象向右平移一個單位長度，所得圖象對應的函數（32A.在區間,上單調遞減B.在區間,-上單調遞增12 1212 12ji jiji jiC.在區間-，6-上單調遞減D.在區間一,6-上單調遞增【簡解】原函數平移后得到y=3sin（2x-2n）,單調減區間為3k兀+ k兀+ ,增區間為ku + 71 ,k兀121212+ 172n ；代入檢驗選B小冗12、.（2012新標文）已知切0, 0 中 ，直線x=一和4x = "

21、是函數f （x） =sin（cox+中）圖象的兩條相4鄰的對稱軸，則平=()(A) 4(B)3(C)2(D)5二工【間斛】 一 =,=1 =1, 一十中二kn 十一 (k w Z ),，中二kn.4442TT= = -,故選 A. 413、.(2012浙江)把函數y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的3兀4+ ( km Z ), ,0(中 幾，42倍(縱坐標不變),然后向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的圖象是【簡解】把函數y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得：y1=cosx+1,向左平移1個單位長度得：y2=cos(x+1)+1,再向下平移1個單位長度得：y3=cos(x+1).選A14. (2014大綱)若函數f(x)=cos2x+asinx在區間(一,一)是減函數，則a的取值范圍是62-°°,2【簡解】f'(x)=cosx(a-4sinx)<0在xC(一,一)