1、精品課程土質學與土力學第五章第五章土體中的應力計算本章學習要點:本章內容是地基基礎設計和施工的基礎知識，也是下章討論地基變形的前提，因此應很好地掌握。地基中的應力包括自重應力和附加應力，前者是土受的重力作用而產生的，后者是由于基礎等外部荷載所引起的.由于產生條件不同，因此兩者的分布規律和計算方法也不同。要學會自重應力的計算方法和分布規律，及常用的典型規則的均布荷載下地基附加應力的計算方法，并掌握基礎底面應力計算和分布特點。要求明確有效應力的概念，這對全書的理解大有好處。第一節概述大多數建筑物是造建在土層上的，我們把支承建筑物的這種土層稱為地基。 由天然土層直接支承建筑物的稱天然地基， 軟弱土層

2、經加固后支承建筑物的稱人 工地基，而與地基相接觸的建筑物底部稱為基礎。地基受荷以后將產生應力和變形，給建筑物帶來兩個工程問題，即土體穩定 問題和變形問題。如果地基內部所產生的應力在土的強度所允許的范圍內，那么土體是穩定的，反之，土體就要發生破壞，并能引起整個地基產生滑動而失去穩 定，從而導致建筑物傾倒。地基中的應力，按照其因可以分為自重應力和附加應 力兩種：自重應力：由土體本身有效重量產生的應力稱為自重應力。一般而言，土體 在自重作用下，在漫長的地質歷史上已壓縮穩定，不再引起土的變形（新沉積土 或近期人工充填土除外）。附加應力：由于外荷（靜的或動的）在地基內部引起的應力稱為附加應力， 它是使地

3、基失去穩定和產生變形的主要原因。附加應力的大小，除了與計算點的位置有關外，還決定于基底壓力的大小和 分布狀況。一、應力應變關系的假定真實土的應力應變關系是非常復雜的，目前在計算地基中的附加應力時， 常把土當成線彈性體，即假定其應力與應變呈線性關系，服從廣義虎克定律，從而可直接應用彈性理論得出應力的解析解。1關于連續介質問題彈性理論要求：受力體是連續介質。而土是由三相物質組成的碎散顆粒集合 體，不是連續介質。為此假設土體是連續體，從平均應力的概念出發，用一般材料力學的方法來 定義土中的應力。2、關于線彈性體問題理想彈性體的應力與應變成正比直線關系，且應力卸除后變形可以完全恢 復。土體則是彈塑性物

4、質，它的應力應變關系是呈非線性的和彈塑性的，且應力 卸除后，應變也不能完全恢復。為此進行假設土的應變關系為直線， 以便直接用彈性理論求土中的應力分布，但對沉降有特殊要求的建筑物，這種假設誤差過大。3、關于均質、等向冋題理想彈性體應是均質的各向同性體。而天然地基往往是由成層土組成，為非均質各向異性體。為此進行假設，天然地基作為均質的各向同性體。、地基中的幾種應力狀態計算地基應力時，一般將地基當作半無限空間彈性體來考慮；即把地基看作 是一個具有水平界面、深度和廣度都無限大的空間彈性體。（見教材P66圖3-2） 常見的地基中的應力狀態有如下三種：1、三維應力狀態荷載作用下，地基中的應力狀態均屬三維應

5、力狀態。 每一點的應力都是x、y、 z的函數，每一點的應力狀態都有9個應力分量。bxx,byy,Crzz,Txy,Tyx,lyz,Tzy,Txz,lzx，寫成矩陣形式則為:CTj =JTyxl/zxTxyJJTxzSzbzz安徽理工大學35有Ty= TX,TZ= Ty,TZ=TX，因此，該單元體只有 6個應為天然地面可看作一個平面，并且沿y方向的應變gy =0，由于對稱性,lyx =lyz =0，這時，每一點的應力狀態有 5個應力分量:xxyyzzJxzJzx根據剪應力互等原理，力分量，即 cx（x, oyy, ozz, Ty, Tz, Tz。2、二維應變狀態（平面應變狀態）應力矩陣可表示為：

6、g0Tzxcyy0Txz0bzz3、側限應力狀態側限應力狀態是指側向應變為零的一種應力狀態；土體只發生豎直向的變 形。由于任何豎直面都是對稱面，在，（P67 圖 3- 5），即故在任何豎直面和水平面上都不會有剪應力存Fyzzx =0，應力矩陣為:Rxx0LOCyy00 -00-ZZ二維應變狀態是指地基中的每一點應力分量只是兩個坐標（x,z）的函數，因由J = Ey =0= bx =by，并與b Z成正比。、土力學中應力符號的規定在進行土中應力計算時：應力符號的規定法則與彈性力學相同，但正負與 彈性力學相反；即當某一截面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個截面稱正 面；正面上的應力分量以沿坐標軸

7、正方向為負，沿負方向為正。用摩爾圓進行應力狀態分析時，法向應力仍以壓應力為正，剪應力方向以 逆時針方向為正。(P67圖3-6) 第二節地基中的自重應力計算在計算地基中的自重應力時，一般將地基作為半無限彈性體來考慮。由半無限彈性體的邊界條件可知，其內部任一與地面平行的平面或垂直的平面上，僅作SX sy ?1、豎直自重應力CTsz用著豎向應力crsz和水平向應力 crsx=crsy，而剪應力T =0。應力等于單位面積上的土柱有效重量，即bsz =丫設地基中某單元體離地面的距離Z, 土的容重為Y,則單元體上豎直向自重(3-1)kpa 或 kN/m2可見，土的豎向自重應力隨著深度直線增大，呈三角形分布

8、。注：(1)若計算點在地下水位以下，由于水對土體有浮力作用，則水下部分土 柱的有效重量應采用土的浮容重Y'或飽和容重Vsat計算；a：當位于地下水位以下的土為砂土時，土中水為自由水，計算時用Y'。b：當位于地下水位以下的土為堅硬粘土時，在飽和堅硬粘土中只含有結合 水，計算自重應力時應采用飽和容重。C：水下粘土，當Il > 1時，用丫'。d：如果是介乎砂土和堅硬粘土之間的土，則要按具體情況分析選用適當的 容重。例如下圖中的B點，其豎向自重應力為J 十1+%+(1或7為（2）若地基是由多層土組成，如圖3-7 （a）（見教材P68）,設各土層的厚度為Hi、H2、，Hn，

9、相應的容重分別為 “2； 面處的豎向自重應力為:bsz =YlHi +Y2H2 +Y3H3 + YnHnnVi Hi ,2、水平向自重應力CTCTSX J syYn，則地基中的第n層底(3 2)i 二在半無限體內，由側限條件可知，土不可能發生側向變形（Sx=Ey=0 ）， 因此，該單元體上兩個水平向應力相等并按下式計算:,(3-3)式中K0土的側壓力系,應力之比，可由試驗測定，K0sx =bsy =K0bsz =Ko吃,它是側限條件下土中水平向有效應力與豎直有效=,是土的泊松比。1 U第三節 地基中的附加應力在求解地基中的附加應力時，一般假定地基土是連續、均勻、各向同性的彈 性體，然后根據彈性

10、理論的基本公式進行計算。另外，按照問題的性質，將應力 劃分為空間（三維）問題和平面問題兩大類型。矩形、圓形等基礎（ L/BV10 ）下 的附加應力計算即屬空間問題（其應力是 x,y,z的函數）；條形基礎（L/B > 10） 下的附加應力計算即屬于平面問題（其應力是x,z的函數），壩、擋土墻等大多屬于條形基礎。一、空間問題條件下的附加應力（一）豎直集中力作用下的附加應力X J y J z J * xy * yx J yz * zy j * xz * zx ?如圖P71圖3- 10所示，當半極限彈性體表面上作用著豎直集中力 P時，彈 性體內部任意點M的六個應力分量bx'CTy'

11、;CTz'Txy =TyxJyz =Tzy,Txz =Tzx，由彈性理論求出的表達式為:bz3p2兀by=3£2兀(3 6)Z3R5R53 R(R + Z) (R + Z)2R3 R JJ1(2R + Z)x2 _z_Tr(r + z) _(r + z)2r3 R3”2(2R + Z)y z' 3txy=3p2兀Tzx3p2兀=3p2兀2X2Z 1-2u 丁xyz 1 -2uI 5 +r53yz22xzR5(2R + z)xy(R + z)2R3式中：CTx'CTy 'CTzx,y,z方向的法向應力T T T xy J 書 xz J 打 zy剪應力U土

12、的泊松比RM點至坐標原點0的距離R = Jx2 + y2 + Z2 = Jr2 + z2P直角三角形 0M 'M中0M與MM '的夾角上式為著名的布幸內斯克（Bouss in esq解答，它是求解地基中附加應 力的基本公式。對于土力學來說，bz具有特別重要的意義，它是使地基土產生壓縮變形的原因。由公式可知，垂直應力O'z只與荷載P和點的位置有關，而與地基土變形由幾何關系:R2=r2 +z2;（3 6a）可以寫為:z33p2兀z21 *衛5/2 K z2(3 7)式中:豎直集中力作用下的豎向應力分布函數，它是-的函數；可由P72圖3 11和表3 1中查得。 z從式3 7可

13、知（1）在集中力作用線上（即r=0,K = -3 ,6 = -3），附加應力bz隨著, Z ，2兀2兀 z深度z的增加而遞減（見教材P73圖3-；（2）當離集中力作用線某一距離r時，（由3- 6a可知）在地表處的附加應力bz = 0,隨著深度的增加，6逐漸遞增，但到一定深度后， J又隨著深度z的增加而減?。ㄒ娊滩腜73圖3-。（3）當z 一定時，即在同一水平面上，附加應力bz隨著r的增大而減?。ㄒ娊滩腜73圖3-12）。注：如果的地面上有幾個集中力作用時（見教材 P73圖3-14），則地基中任 意點M處的附加應力Cz可以利用式（3-7）分別求出各集中力對該點所引起的附加應力，然后進行疊加，即:

14、J =Ki弓羋+Kn峠zzz式中：Ki,K2,Kn分別為集中力Pi, P2,Pn作用下的豎向應力分布函數。（二）矩形基底受豎直均布荷載作用時角點下的豎向附加應力矩形基礎當底面受到豎直均布荷載（此處指均布壓力）作用時，基礎角點下 任意點深度處的豎向附加應力，可以利用基本公式（3-7）沿著整個矩形面積進 行積分求得。P74如圖3- 16，若設基礎面上作用著強度為 P的豎直均布荷載，則微小面 積dxdy上的作用力dp= pdxdy可作為集中力來看待，于是，由該集中力在基礎 角點0以下深度為z處的M點所引起的豎向附加應力為：1 dxdy2江r 25/27-dbz - 3p,(3-8)將r2 =X2 +

15、 y2代入上式并沿整個基底面積積分，即可得到矩形基底豎直均布 荷載對角點0以下深度為z處所引起的附加應力為：B L3 pz3dxdy6 = O O 岔(Jx2+y2+z2)5271p2兀冷 +m2 + n21m廠)+ arctan(,+ n21+n2 丿'j1+m2=KsP式中：Ks 矩形基礎, （底面受豎直均布荷載作用時,3-9)角點以下的豎直附加應力分布系數，Ks = f（m, n）可以從P75表3 2中查得m =丄,n =B L :為基礎底面的長邊，B :為基礎底面的短邊，且 L> B。注：對于在基底范圍以內或以外任意點下的豎向附加應力，可利用式（:9）并按疊加原理進行計算

16、，這種方法稱之為“角點法”。對矩形基底豎直均布荷載，在應用“角點法”時。L始終是基底長邊 的長度，B為短邊的長度。例題：（三）矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時角點以下的豎向附加應力 矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時，把荷載強度為零的角點o作為坐標原點，同樣可利用公式 =単”二沿著整個面積積分來求得。如圖 3 20所示（教材P79）。若矩形基底上三角形荷載的最大強度為Pt，則微分面積dxdy上的作用力dp = Pt dxdy可作為集中力看待，于是角點0以下任意深度z處，由于B該集中力所引起的豎向附加應力為:1xdxdy"7_z2r(z)將r2=x2 + y2代入上式并沿整個底面積積

17、分,即可得到矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時角點下的附加應力為:(310)J = Kt p ,+ +mn式中Kt二2兀 |_7m2 +n2(1 +n 2)J1 + m2 + n2為矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時的豎向附加應力分布系數，可查表3- 3（教材p78）, m*n=-B:沿荷載變化方向矩形基底的長度，L :矩形基底另一邊的長度；L，B無長短之分。對于基底范圍內（或外）任意點下的豎向附加應力，仍然可以利用“角點法” 和疊加原理進行計算。但任意兩點：（1）計算點應落在三角形分布荷載強度為零的一點垂線上。（2） B點始終指沿荷載變化方向矩形基底的長度。（四）矩形基底受水平均布荷載作用時

18、角點下的豎向附加應力3R5求得:如圖3- 21所示（教材P79）,當矩形基底受到水平均布荷載 Ph作用時，角點下任意深度z處的豎直附加應力可以利用公式 5= 3p(3 11)式中：K m12+門2(1+n 2)J1 +m2 + n2n2矩形基底受水平均布荷載LZm = 一 ,n = 一。BBB :平行于水平荷載作用方向的矩形基底的長度，L :矩形基底另一邊的長度?！?+ ”：當計算點在水平均布荷載作用方向的終止端以下時; “一”：當計算點在水平均布荷載作用方向的起始端以下時;3 22所示（見P時，地基內部任一深度z處的附加應力作用時的豎向附加應力分布系數，可查表 3-4 （教材P80）,（b,

19、d點下） （c,d點下） 當計算點在基底范圍內（或外）任一位置，同一可以利用“角點法”和疊加 原理來進行計算。二、平面問題條件下的附加應力理論上，當基礎長度L與寬度B之比，L/B =時，地基內部的應力狀態屬 于平面問題。實際工程實踐中，當L/B > 10時，平面問題。 例如：水利工程中的土壩、土堤、水閘、擋土墻、碼頭、船閘等等。（一）豎直線荷載作用下的附加應力 沿無限長直線上作用的豎直均布荷載稱為豎直線荷載，如圖 教材P80），當地面上作用豎直線荷載 為：3- 12)2pz3bx2趙 .2 , 2、2(x +z )3- 13)Tzx=xz2pxz2兀(X2 +z2)23- 14)兀(X2

20、 +z2)2式中：P 單位長度上的線荷載（kN/m2）x,z計算點的坐標討論：（1）在荷載作用點處，即X=z=o點，應力值為無窮大，（$,az,Tx7x） 應力集中f Ez>Ex;（2）當 x=0 時，cx= Tx=0，而（2= （Jmaxf 應力集中 f Ez>Ex；地基土中應（3）2值離Z軸愈遠，其值越??；水平位置越深，應力也愈小 力的擴散現象。（二）條形基底受豎直均布荷載作用時的附加應力如圖3 23所示（教材P81）,當基底上作用著強度為P的豎直均布荷載時,首先利用公式（3- 求出微分寬度d©上作用著的線荷載dp=pd©在任意點z3dtM所引起的豎向附加應

21、力3- 15)dcT =卻 z（X 二）2+z2fE"再將上式沿寬度B積分，即可得到條形基底受均布荷載作用時的豎向附加應 力為：訂2pz3d©(x-E)2+z22pl,m、m-1 mn=larctan 一arctan) + 兀 Lnn n +mn (m-1)2 n+ (m-1)2K z P ,3- 16)式中：KS 條形基底受豎直均布荷載作用時的豎向附加應力分別系數,由p83表3-5查，m=g，B為基底的寬度。條形均布荷載在地基內部引起的水平向應力J和剪應力Txz也可以根據式（313）和式（314）積分求得，并簡化為S = K： p,3 17)式中: K xz p,3 18

22、)K：條形面積受豎直均布荷載作用時的水平向應力分布系數K xz 條形面積受豎直均布荷載作用時的剪應力分布系數K： , KXz也可由P83表3 5查得。（三）條形基底受豎直三角形分布荷載作用時的附加應力如圖3-6 （教材P85）所示，當條形基底上受最大強度為 Pt的三角形分布荷載作用時，同樣可利用基本公式 6 =空 2 Z3 2 2，先求出微分寬 旅上作兀（X + z ）用的線荷載d P = Pt 3©，再計算點M所引起的豎向附加應力，然后沿寬度 BB積分，即可得到整個三角形分布荷載對 M點引起的豎向附加應力為: m,m1、n(m1)=K； Pt(3-19)式中：kZ 條形基底受三角形

23、分布荷載作用時的豎向附加應力分布系數,Xz按 m = ,n =，查 P86表 3-7。B B（四）條形基底受水平均布荷載作用時的附加應力圖3- 6 （教材P85）所示，當基底作用著強度為Ph的水平均布荷載時，同 樣可以利用彈性理論求水平線荷載對任意點 M所引起的豎向附加應力為:Ph n2_ n21江（m1） +nm +n= KzhPh(3-20)式中：Kh 條形基底受水平均布荷載作用時的豎向應力分布系數，可由Xz心訂飛，查P87表38。注意：1、在條形基礎下求地基內的附加應力時，坐標系統的選擇應分別符 合圖3-23,表3-6所示要求。2、傾斜偏心荷載時的基底壓力合力既傾斜又偏心其基底豎直壓力呈

24、梯形分布，而水平荷載一般假定均勻分布。求解方法：應將梯形分布的豎直荷載分解成均布荷載和三角形分布荷載，然后分別求出由于豎直荷載、豎直三角形分布荷載以及水平均布荷載所引起底附加 應力，再進行疊加。3、基礎有埋深時的基底壓力分布基底盡壓力（或沉降計算壓力）式中：Y土的容重D基礎埋置深度P建筑物荷載（包括基礎自重在內）在基底產生的壓力Y 基坑開挖，在基礎底面處減少的壓力。因為未修建基礎以前，土體中已有自重壓力Y Q，修建基礎時將這部分土挖除后再建造基礎，在基底增加的壓力實際為P -泊。三、土壩（堤）壩身的自重應力和壩基中的附加應力1、土壩的自重壓力不論是均質的或是非均質的土壩，其壩身任意點的自重應力

25、，均假定等于單 位面積上該點以上土柱的有效重量，仍可按公式（3-2）Sz =YlHi +丫2出 +Y3H3 中+YnHn此時，均質壩壩身的自重應力為三角形分布。2、壩基中的附加應力：因為，土壩壩身能夠適應壩基的變形，屬柔性基礎，故其基底壓力為梯形分布。土壩對地基中任意一點引起的附加應力，可將梯形分布壓力分解為兩個三角 形分布壓力和一個均布壓力，利用公式：bz=K；p （均布壓力），bz = K； Pt （三 角形）來計算。然后再進行疊加:J =Qz)I +(bz)H +(bz)iii對于圖3-26 （P84）中所示的梯形分布壓力下任意點的豎向附加應力，可按式中：Kbz =KzL p計算。豎向附

26、加應力分布系數，是 a/z和b/z的函數，可從（P84圖 3-26）中查取。a，b分別為三角形分布壓力和均布壓力的特征尺寸 z為計算點至壓力作用面的垂直距離P為梯形分布壓力的最大強度四、感應圖法求附加應力當遇到不規則的基礎形狀，而又無法劃分成矩形面積時，“角點法”的應用就受到限制。這時若利用感應圖法來求解是比較方便的。感應圖法是以圓形基礎豎直均布壓力作用時，其中心點下豎向附加應力計算為基礎的。1、圓形基底受均布壓力作用時其中心點下的豎向附加應力如圖 3- 28所示（教 材P87），當圓形基底受到均布壓力作用時，其中心點下任意深度處 M點的豎向3p z2兀R53附加應力，可由公式bz =（空間）

27、求出微分面積dA=PdPd9上的集中力dp = p PdPdQ在該點（M ）所引起的附加應力為:3z3Ppd Ad 日將r2 = P2 +z2代入，并沿整個圓形面積積分，可得M點的豎向附加應力為:E3 pz302PdPd9(p2 + z2)5/2=K Z 0 P ,(3-21)3/2式中：Kz0=1-圓形基底受均布壓力作用時的應力分布系數,可查P88表3 -9得；r圓形基礎得半徑P均質荷載強度2、感應圖的原理及應用感應圖是N.M.Newmark首先提出得，如圖3- 29所示（教材P89）,它由9 個同心圓和十二根等分得徑向射線組成。設9個同心圓的半徑分別為1，2,9,它們與某一長度AB成下列關

28、系ri =0.268AB,r2 =0.400AB,r3 =0.518AB,“ =1.908AB,若選取AB恰好等于計算點的深度Z,則從式（3-21）z = KzoP或表3-9可知:t7z1 =0.1 P， b z2=0.2 P， b z3= 0.3P，” bz9 =0.9P （第一個圓上的均布壓力P在圓心以下z處的附加應力-1)任意相鄰兩圓之間的均布壓力P對圓心以下z深處所引起的附加應力是相同的，均為也CTz =0.1 P。每一個圓環又被20根徑向射線劃分為二十個面積相等的小塊；顯然每一小 塊的壓力對圓心以下z深處所引起的附加壓力也是相等的，均為0.1 p/20=0.005pb稱這一小塊為“感

29、應面積”，“ 0.005”稱之為“感應應量”。因此，如果有N塊“感應面積”，其上作用著相同的均布壓力 P,則在圓心 下z深處將引起0.005Np的附加應力。3、應用要點：以AB = z （試題所要求的深度）作為比例尺，在透明紙上繪制基礎 平面圖； 將所求點D移在感應圖上與圓心重合 數“感應面積”的塊數N 得到z處深D點的附加應力為（bz）D =0.005Np （均布壓力）第四節基底壓力計算建筑物的荷載是通過它的基礎傳給地基的。 因此，基底壓力的大小和分布狀 況，將對地基內部的附加應力有著十分重要的影響； 而基底壓力的大小和分布狀 況，又與荷載的大小和分布，基礎的剛度，基礎的埋置深度以及土的性質

30、等多種 因素有關。對于剛性很小的基礎和柔性基礎，其基底壓力大小和分布狀況與作用在 基礎上的荷載大小和分布狀況相同。（因為剛度很小，在垂直荷載作用下幾乎無 抗彎能力，而隨地基一起變形）。對于剛性基礎：其基底壓力分布將隨上部荷載的大小，基礎的埋置深度 和土的性質而異。女口：砂土地基表面上的條形剛性基礎，由于受到中心荷載作用時，基底壓力 分布呈拋物線（如圖見教材 P93）,隨著荷載增加，基底壓力分布的拋物線的曲 率增大。這主要是散狀砂土顆粒的側向移動導致邊緣的壓力向中部轉移而形成 的。又如粘性土表面上的條形基礎，其基底壓力分布呈中間小邊緣大的馬鞍形（如圖），隨荷載增加，基底壓力分布變化呈中間大邊緣小

31、的形狀。根據經驗，當基礎的寬度不太大，而荷載較小的情況下，基底壓力分布近似 地按直線變化的假定（彈性理論中的圣維達原理），所引起的誤差是允許的，也 是工程中經常采用的簡化計算方法。一.豎直中心荷載作用下的基底壓力如圖所示（教材P94圖3-38 ），若矩形基礎地長度為L,寬度為B,其上作 用著豎直中心荷載P,當假定基底壓力為均勻分布時，其值為：P P P = 一 =A AX B若基礎為長條形（力為：PP = 單位：B單位：kpa 或 kN/m (3-22)L/B > 10）,則在長度方向截取1m進行計算，此時基底壓kN/m(3-23)二.豎直偏心荷載作用下的基底壓力 如圖所示（教材P95圖

32、3-40）:當矩形基礎上作用著豎直偏心荷載 P時，則任意點的基底壓力，可按材料力 學偏心受壓的公式進行計算：(3-24)p(x.y)n + MyA Ix Iy式中：P（x.y）任意點（坐標為x.y ）的基底壓力Mx=p.ey偏心荷載對xx軸的力矩（ey為偏心荷載對xx軸的力臂）My=p.ex偏心荷載對yy軸的力矩（ex為偏心荷載對yy軸的力臂）Bl 3lx = 一基礎底面積對xx軸底慣距12LR 3Iy =基礎底面積對yy軸底慣距12若荷載作用在主軸上，例如xx軸上，如圖（b），此時ey=0，則Mx=Q令ex=e,并將"=普2x 弋 B 代入（ 3-24），得：P 記1 書 x，即可

33、得到矩形基礎，在豎直偏心荷載作用下，基底兩側的最大和最小壓力的計算公式為:(3-25)對于條形基礎，如圖（C），基底兩側最大和最小壓力為:(3-26)討論：當e=0時，基底壓力為矩形;當合力偏力矩OvevB時，基底壓力呈梯形分布；6當合力偏力矩e = B，Pmin=0基底壓力呈三角形分布;6當eB時，則Pmin<0,意味著基底一側出現拉應力。但基礎與地基之6間不能受拉，故該側將出現基礎與地基的脫離，接觸面積有所減少，而出現應力重分布現象。此時不能再按疊加原理，求最大應力值。其最大應力值為：C2PPmax =3 B-e 丄 12丿（例如：高聳結構物下得基底壓力） 一般而言，工程上不允許基底

34、出現拉力，因此，在設計基礎尺寸時，應使合 力偏心矩滿足e<B的條件，以策安全；6或：為了減少因地基應力不均勻而引起過大的不均勻沉降，通常要求：£卒<1.53.0 ;對壓縮性大的粘性土應采取小值；對壓縮性小的無粘性土，Pmin可用大值。.傾斜偏心荷載作用下的基底壓力25）和公式（326）計算。由豎直偏心荷載Pv所引起的基底壓力Pmax 二 P（1±6e）minAB（矩形）Pmax=?（1±¥） minBB（條形）水平基底壓力（假定為均勻分布）:P R A（矩形）（3 27）Ph（條形）（3 28）如圖所示（教材P95圖3-41）當基礎受到傾斜荷

35、載作用時，可先將偏心荷 載R分解為豎向分量Pv和水平分量Ph，其中Pv= RcosB ,Ph=Rsinp，由公式（3B例題：有一擋土墻，其基礎寬度為6m,埋置在地面下1.5m處，在離基礎前緣A 點3.2m處作用著豎直線載荷P = 2400KN/m。墻背受到水平推力H = 400 KN/m， 其作用點距基底面為2.4m，如圖所示（見教材）。設地基土的容量r= 19 KN/m3, 試求：基礎中心點下深度Z = 7.2m M處點的附加應力（不考慮墻后填土引起的 附加應力）解：（1）求偏心距e設合力作用點離基底前緣A點的水平距離為x，將合力及分力分別對A點求 矩并令其相等，即：2400X =2400x

36、3.2 -400x2.4得 X =2.8m1合力偏心距e=1B-x=3-2.8= 0.2m2（2）求基底壓力由公式：Pmaxmin專旅嚳得基底豎直壓力為Pma24?(1min6±注)480KN/m26320基底水平荷載假定為均勻分布，由公式ph嗆，得水平基底壓力4002=66.7 KN/m26（3）求M點的附加應力首先將梯度分布的豎直荷載分解成強度為P0= 320KN/m 2的豎直均布壓力,和最大強度為Pt = 160 KN/m2的豎直三角形分布壓力。由于基底埋置深度D = 1.5m，所以基底盡壓力為：Pn =P0 _r ”D =320-19x1.5 = 291.5KN/m2各種壓力

37、對M點所引起的附加應力系數由表（35）,（37）和（3 8） 查得，列于下表壓力形式x(m)z(m)B(m)x/Bz/B應力分布系數Kz豎直均勻分布3.07.26.00.51.20.478(Kzs)豎直三角形分布3.07.26.00.51.20.239 ( KzT )水平均勻分布3.07.26.00.51.20(Kzh)于是M點得豎向附加應力為q =KSR +kTR +KZhPn =0.478291.5 + 0.239咒160 + 066.7 = 177.6 kN/m2第五節有效應力原理一、有效應力原理的基本概念（一）有效應力和孔隙壓力在土中某點任取一截面，截面體為A，截面上作用的法向應力稱為

38、總應力 b如圖3 42 （教材P96圖3-43） o總應力是土的重力、外荷載 p所產生的壓力以 及靜水壓力組成，是土體單位面積上的平均應力。截面總應力的一部分由土顆粒間的接觸面承擔和傳遞，稱為有效應力；另一部分由孔隙中的水和氣體承擔，稱為孔隙壓力U （包括孔隙水壓力與孔隙氣壓力 Ua )o如圖aa截面是沿土顆粒間接觸面截取的微波狀平面；截面上土顆粒間接 觸面積為As，接觸面平均法向應力為Ps，孔隙水面積為Aw，孔隙水壓力為Uw,氣體面積為Aa，孔隙氣壓力為Ua o將Ps分解為豎直向和水平向兩個分力， 設豎直向分力為Psv,貝U aa截面的豎向力平衡為:Psv +UwAw +UaAA，兩邊除以

39、A 得:J P sv+uwAUaAaAAA3- 29)牛為有效應力定義（-）/式 ( 3 29)變為 b = L+Uw ”如 +A3- 29'1、對于非飽和土A取 X = w，Eishop與 Eldin (1950) A根據粒狀土的試驗認為凡很?。?.03）A將代入（3 29'得:A忑=b'+Uw X +Uab =Cr'+xUw +Ua牛嚴r A=As+Aw+Aa)Aua -XUaA a a=L+xUw +U a XUa可得非飽和土有效應力原理表達式:b =Cr'+Ua -X(Ua -Uw),(3 30)2、對于飽和土 Aa = 0, AwA，即x=1，

40、孔隙水壓力為U表示，則公式（3 29'可改寫為:CT =cr'+u ,（3-31）式（3-31）即為飽和土有效應力原理的表達式。3、對于干土 Aw Q0，x = 0，AA A式（3- 29'可改寫為：b =cr'+ua,.(3-32)式（3-32）為干土有效應力原理的表達式（二）有效應力原理要點（1）土中總應力D等于有效應力C'與孔隙壓力u之和。即：W = b'+u（2）土中有效應力控制土的體積和強度的變化。注：孔隙水壓力u起浮力作用，忽略其對土粒產生的變形效果，故又稱中性壓力。二、飽和土中孔隙水壓力和有效應力的計算有效應力L是作用在土骨架的顆粒

41、之間，很難直接求得；通常都是在求得總 應力b和孔隙水壓力u之后，利用b = L+u計算得出?？倯可用前面介紹的土中應力計算方法算出；孔隙水壓力u可以實測，也可以通過計算得出。（一）自重應力情況1、靜水位條件下如圖3- 45 （教材P98），作用在A點水平面上的總應力C，應等于該點以上的單位土柱和水柱的總重量：b = Y1H1 + Ysat H 2孔隙水壓力應等于該點的靜水壓強，即:根據有效應力原理，A點處豎直有效應力應為:-u =YiHi +YsatH2 -YwH2 =YiHi +(Ysat -Yw)H2crViHV'H2可見b'就是A點的自重應力（有效自重應力）。當地下水

42、位以上某個高度 hc范圍內出現毛細飽和區時，（如圖3-46a教材P99），毛細區內的水呈張拉狀態，故孔隙水壓力是負值。毛細水壓力分布與靜水壓力分布一致，任一點u-z ； z為該點至地下水位的垂直距離。孔隙水壓力分布如圖（3-46b）。由于u是負值，根據有效應力原理，毛細飽和區的有效應力 L將會比總應力增大，即 L = b _(_u) = b +U。有效應力L與總應力b分布如圖（3 -46c），實線為L分布，虛線為b分布。 例題 3-4,P99.2、穩定性滲流條件下（1）向上滲流時，如圖（3-48a教材P100） 取土水整體為隔離體。A點的總應力就是A點處單位面積上土柱的土水總重量，故(3-33

43、a)b = Ysat H ,A點的孔隙水壓力u為:,(3-33b)故A點的有效應力&為:-Vh= Y'H -Yw也h,(3-33c)可見與靜水條件下的B、u相比，在發生向上滲流時，孔隙水壓力u增加了Yw也h，有效應力b'則相應減少了 Vh。Sh 滲透壓力（2）當向下滲流時（仍取土水整體為隔離體）如圖（3-48b） A點的總應力不變，仍為：3- 34a)C = Y t Hsat 1111113- 34b)A點的孔隙壓力:u =YwH -m則A點的有效應力Wu=Tsat YwH +3b' = Y'H +Yw也h,(3-34c)與靜水條件下的L相比，向下滲流將

44、使有效應力增加，產生滲流壓密。這是 抽取地下水引起的地面沉降的一個主要原因。當向上滲流時，若有效應力 b' = o，則土處于懸浮狀（流土條件）。由（3- 33c）得：Y'H 5 =0（臨界水力坡降公式）I w（關于取土骨架為隔離體，自修）（二）附加應力情況孔壓系數概念實際工程中的變形和穩定情況，往往是土體在外荷載作用后產生的， 從而產 生孔隙水壓力值?？讐合禂担菏侵竿馏w在不排水和不排氣的條件下由外荷載引起的孔隙壓力增 量與應力增量（以總應力表示）的比值。孔壓系數B: 孔壓系數A : A =些一Abt Ab 3孔壓系數用以表征孔壓對總應力變化的反映，是孔壓計算的簡便的方法。1 .

45、側限應力狀態除自重應力外，若地面上作用有大面積連續均布荷載， 而土層厚度又相對較 薄時，在土中引起的附加應力cTz也屬于側限應力狀態（如圖3-50教材P102）。由外荷載P在土層中引起的附加應力bz將沿深度均勻分布。而且在同一深度 Z處的水平面上各點的豎向附加應力crz都等于P ,水平向附加應力也均相等。在此種應力條件下土體側向不能發生變形，屬于側限狀態。滲流固結模型：滲流固結模型用以模擬飽和土體受到連續均布荷載后，在土中所產生的初始孔隙水壓力Uo（ t=0時）以及U與b'隨時間t的變化規律。滲壓模型如圖3-51所示（教材P103）。（1）當活塞板上未加荷載時，測壓管中水位與筒中靜水位

46、相同，土中各點的孔隙水壓力值完全由靜水壓力確定。而且由于任何深度處總水頭相等，土中沒有滲流發生。（2）當活塞板上加上外荷載的瞬時即t=0 （如圖3-51a）時，容器內的水處于不 排水狀態，體積變化 V=0;外荷載完全由水所承擔，測壓管中水位將升高 h， 產生初始超靜水壓力U0，且U0 = b = Ywh，此時b' =0。（3）當t> 0后，由于活塞上下產生了水頭差h,導致滲流發生。在滲流過程中， 代表土骨架的彈簧逐漸受力，且隨時間延續，有效壓力逐漸增加；相反，孔隙水 壓力則逐漸減小，即測壓管水位逐漸降低，直至超靜水壓力全部消散至u=0,而有效應力b7 ;滲流固結過程結束，即土體已

47、經固結。（如3-51C）。幾點認識：（1）滲流固結過程中，u = f（t,x,y,z ），（T '=f（t ），（T =c，其物理實質就是兩種應力的互相轉化；即飽和土固結過程是一個孔隙水壓力從產生到完全消失，有效應力逐漸增大到達最大的過程。(2)所謂超靜水壓力(u)是由外荷載引起的，超出靜水位以上的那部分孔隙水壓 力。而飽水土層中任意時刻的總孔隙水壓力應是靜孔隙水壓力與超靜孔隙水壓力 之和。(3) 側限條件下t=0時，Uo=b (施加的外荷載強度一一總應力)，側限條件下 飽和土體的孔壓系數為 竺=1。(4) 土體固結穩定的時間長短，取決于孔隙水向外滲流的速度和土層的排水條 件。2、軸對

48、稱三維應力狀態設三維應力是軸對稱應力狀態，在直角坐標系，作用于立方體土體上的應力 如圖3-52 (教材P104)，其中b2 =兀吒円。當求外加荷載在土體中所引起的超靜水壓力時，土體中的應力是在自重應力的基礎上增加了一個附加應力，常用增量表示。軸對稱三維應力增量 Acr1cr2crcricr3 )，可分解成等向壓應力增量 g 和偏差應力增量 e6 -g )，如圖3-53 (教材P104)(1)等向壓縮應力狀態一一孔壓系數B設一立方體土體積為Vo，孔隙率為n, 土體為非飽和土。該土體在不排氣和不排水條件下，受到三向相等的正主應力增量Ac73的作用，土體內產生了孔隙水和孔隙氣的壓力增量 也Uw及 u

49、a，記作也UB，現推導 cr3與蟲Ub的關系式。第一步：土骨架體積變化根據有效應力原理，在周壓力也5作用下，土體中引起的有效應力為也石3 =總百3 -AUb。設土骨架的體積應變為 &，貝U人/s= & - Vo 假設土體骨架為彈性體，由彈性理論可知：(3-35)式中：斷，®,呂3分別為三個方向的骨架線應變，且訥=呂2 =名3 （因為壓力相 同為 口3 ）,若以豈為代表，則由廣義虎克定律=皿也Ub _ 2vcr3 也Ub 得: E E1 -2v= 93 -AUb)（注：CT 1 =6 =% =也作用于土骨架上）將此式代入(3-35)可得Sv =3® =也3 -

50、 Aub )令: Cs/v)E貝U：® =Cs(也3 iUB )(3-36)式中:Cs土骨架的體積壓縮系數E土的變形模量V土的泊松比。第二步：分析孔隙流體的體積變化由孔壓增量AUb引起的土體中孔隙流體體積就是土的孔隙體積 Vv,Vv = nV。，孔隙流體體積變化AVv應為:Z =CfAuB nVo (水力學公式)(3-37)式中：Cf孔隙流體的體積壓縮系數。（3-37）公式推導：根據水力學可知：Cf =j（E為體積彈性系數） 又根據物體彈性變形的虎克定律：E = V亞dV式中:dp作用于液體的壓強變化量dV相應于壓強變化量dp的液體體積變化量V液體的體積 CfV dp Vdp dv=

51、_dv孔隙流體的孔壓增量為AUb =dp ,孔隙流體體積變化量為AVv=dv ;液體體積V=孔隙流體體積Vv =nV0 c dVAVvC f =Vdp n V0AUb即：iVv-CfB nVo 推導完畢當假設土中礦物顆粒是不可壓縮時，在不排水，不排氣的條件下,將式（3-36）、（ 3-37）代入得:CsQbg AUb V0 =Cf 也 UB nV01心Ub =心§3C f1 +nCs(3-38)令: * nCs(3-39)則：也 Ub =BAcr3(3-40)(3-41)稱B為孔壓系數B ;它表示單位周壓力增量所引起的孔壓增量。 B值可通過 室內三軸試驗測定。對于飽和土:C f =

52、Cw（Cw為水的體積壓縮系數）Cw < Cs 即:Cs1Cf1 +nCs止1 貝y占u =皿二3=0C對于干土，孔隙中氣體的壓縮性Cf很大，白-1貝U B = =0= AuB V Ab3 = AO'3 Acj3,Cf1 +Cs對于部分非飽和土，0VBV1（2）偏差應力狀態 孔壓系數 A當立方土體（體積為Vo ）在不排水，不排氣的條件下受到偏差應力皿 作用后，土中相應產生孔隙壓力 心Ua。根據有效應力原理，得：軸向有效應力增量： gV = （Aw 一Abg ）一AUa 徑向有效應力增量：吋=0 - AUa3 =丄 b -vd + 3 9 在有效應力作用下，根據廣義虎克定律 E 1= S3 =E 乩"（w +cr2 9b. "cYNAs - Ab, -Aua 以及：111 J A無=bg = ACJ3'=也 UAL (A® -“3 )Aua 2v( Ma)務=2v(3 -42),( 3-43)得：EE.L-也 Ua(也 W - (53 )-Ua(-也 Ua ):名3 = £2 = v vI 32 EEE將：（3-42）（3