1、雙曲線中焦點三角形的探索基本條件：1:該三角形一邊長為焦距 2C,另兩邊的差的約對值為定值 2a 0的面積.2:該三角形中由余弦定理得cos F1PF2 TF匚生十12結合定義，有2|PFi| 丨 PF2I> 0 ),一點，則在 F1PF2中，由余弦定理得:(2c)2.22X-乂1OOI2r22 r1r2 cos2r14c2.2配方得：(1 2)2訂2 2r1r2 cos即 4a2 2r1r2 (1 cos ) 4c2.由任意三角形的面積公式得:S F1PF22叩2血b2 co；b22sin cos2 22s in2 2b2cot2特別地，當 =90時,cot 2 = 1,所以弘嚴2 b

2、'(a > 0, b > 0)中，公式仍然成立.2L2 同理可證，在雙曲線aX2例4 若P是雙曲線642y361匚匚上的一點，F1、F2是其焦點，且F1PF260，求 F1PF2解法一：在雙曲線2 2X y64361中,a 8,b 6,c 10,而 60 .記 |P R | rd PF2 | Q.點P在雙曲線上,由雙曲線定義得:在 F1PF2中，由余弦定理得:配方，得:（12）2 12 400400 吋2 256.從而訂2 144.2a16.212 Cr22 r1r2 cos(2c)2.1解法二：在雙曲線6436 中,b236，而 60 .考題欣賞（2010全國卷1理）（9

3、）已知F,、F2為雙曲線C： X2 y21的左、右焦點，點P在C上，/hP f2=6o0，貝y p到x軸的距離為(A)寫(B)當(C) 靈(D)【答案】B（2010全國卷1文）（8）已知F1、F2為雙曲線C： X2寸1的左、右焦點，點P在C上，/F1 P F2 = 6O0，則 |P F1 g PF2I(A)2(B)4(C) 6(D) 8【答案】B【解析1】.由余弦定理得cos / RPF2 =| PF1 |2|P F2|2 |吋2|22|PF1|PF2|P F1 |c| PF2| 4【解析2】由焦點三角形面積公式得:2260S f1Pf2b cot 1 cot F1PF22 2-PR PF2S

4、in600 RpR2 1 2 2 1PF2| PF1 g PF2 | 42 X性質一推論：在雙曲線 a22苕 1 ( a > 0, b >0)中,左右焦點分別為 F1、F2，當點P是雙曲線左支上任意一點，若PF1F2，則 SF1PF2b2csi na ccos .特別地，當PF1F2 90時,FiPF2b2ca。當點P是雙曲線右支上任意一點，若PF1F2(雙曲線漸近線的傾斜角),則 SFiPF2b2csinccos a證明：i、當P為左支上一點時,|PFi | ri,| PF2 I 2ri2 ),由雙曲線的定義得2 12a,21 2a在 F1PF2 中,由余弦定理得:214c24

5、r, ccos22.代入得12 4c2 41CCOS(12a)2.1求得ccos 。1-12特別地，當ii 、當 P1 2Fi F2 sin=90 時,1 b22csin2 a ccosb2csina ccos 得證F1PF2b2ca為右支上一點時,2a,2r1 2a在 F1PF2中，由余弦定理得:21記 I PFi Iri , 1 PF2 1 r2(1),由雙曲線的定義得4c242 cos22.代入得12 4c2 41CCOS(12a)2.1求得b2ccos a。F1PF21r1|F1 F2|sin2b2CCOS2c s in ab2cs inccos a得證(1)若P是雙曲線2 x642y

6、361左支上的一點,F1、F2是苴隹占且AX /、八、八、5-I_L-PF1F260求 F1PF2的面積.2 x(2)若P是雙曲線1右支上的一點,F1、F2 是其焦點，且 PF1F2 60，求 F1PF2(1)解法一：在雙曲線2 x642卷 1 中，a 8,b 6,c 10,而60 .記 1 PFi | ri,| PF2 I2.點P在雙曲線上,由雙曲線定義得:12a16.r2 16 r1在 F1PF2 中,由余弦定理得:214c2 4r1ccosj2.36解得:解法二：在雙曲線2 x642y36中,a 8,b6, c 10, b236而 60.(2)解法一：在雙曲線1 中，a 1,b2,c75,而60 .記I PF1 I GI PF2 I2.點P在雙曲線上,由雙曲線定義得：12a2.212在 F1PF2中，由余弦定理得:214c2 41ccos22.解得：18( J5 2)解法二：在雙曲線6436中,a 8,b6,c 10, b236而 60.性質二、雙曲線的焦點三角形PF1F2 中,PF1F2,PF2F1當點P在雙曲線右支上時，有tan 2cot -2e 1 e 1；當點P在雙曲線左支上時，有