1、第三節(jié)第三節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩主要內(nèi)容主要內(nèi)容v矩陣的秩的概念；矩陣的秩的概念；v初等變換不改動矩陣的秩的原理，以及矩陣初等變換不改動矩陣的秩的原理，以及矩陣v 的秩的求法；的秩的求法；v矩陣的秩的根本性質(zhì)矩陣的秩的根本性質(zhì).根本要求根本要求v了解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改動了解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改動v 矩陣的秩的原理；矩陣的秩的原理；v掌握用初等變換求矩陣的秩的方法；掌握用初等變換求矩陣的秩的方法；v知道矩陣的規(guī)范形與秩的聯(lián)絡(luò)；知道矩陣的規(guī)范形與秩的聯(lián)絡(luò)；v知道矩陣的秩的根本性質(zhì)知道矩陣的秩的根本性質(zhì).1一、k 階子式例如例如 11178424633542A11826 D

2、是是 的一個(gè)的一個(gè)2階階子式，子式， 的的2階子階子式共有式共有 個(gè)個(gè).DAA182423 CC普通地，普通地， 矩陣矩陣 的的 階子式共有階子式共有 個(gè)個(gè).nm AkknkmCC., 12階階子子式式的的稱稱為為矩矩陣陣階階行行列列式式，的的中中所所處處的的位位置置次次序序而而得得變變它它們們在在不不改改元元素素處處的的個(gè)個(gè)），位位于于這這些些行行列列交交叉叉列列（行行中中任任取取矩矩陣陣在在定定義義kAkAknkmkkkAnm 2二、矩陣的秩二、矩陣的秩定義定義 設(shè)在矩陣設(shè)在矩陣 中有一個(gè)不等于零的中有一個(gè)不等于零的 階子式階子式 ，且一切，且一切 階子式假設(shè)存在階子式假設(shè)存在的話全等于零

3、，那么的話全等于零，那么 稱為矩陣稱為矩陣 的最高階非零子式，數(shù)的最高階非零子式，數(shù) 稱為矩陣的秩，記作稱為矩陣的秩，記作 或或 .ArD1 rDAr)(AR)(Ar規(guī)定：零矩陣的秩等于規(guī)定：零矩陣的秩等于0.例例1 求矩陣求矩陣 和和 的秩的秩.AB,174532321 A 00000340005213023012B3,174532321 A在在 中，容易看出一個(gè)中，容易看出一個(gè)2階階子式子式A, 013221 D 的的3階子式只需一個(gè)階子式只需一個(gè)A, 0 A因此因此. 2)( AR在在 中，中，B 由于它是行階梯形由于它是行階梯形矩陣，容易看出它的矩陣，容易看出它的4階子式全為零，而以三

4、個(gè)非階子式全為零，而以三個(gè)非零行的首非零元為對角元的零行的首非零元為對角元的3階子式不等于零，階子式不等于零，024400230312 因此因此. 3)( BR 00000340005213023012B這里的兩個(gè)行列式分這里的兩個(gè)行列式分別是別是 和和 的最高階的最高階非零子式非零子式AB4闡明闡明根據(jù)行列式的展開法那么知，在根據(jù)行列式的展開法那么知，在 中當(dāng)一切中當(dāng)一切 階子式全為零時(shí)，一切高于階子式全為零時(shí)，一切高于 階的階的子式也全為零，因此把子式也全為零，因此把 階非零子式稱為最高階非零子式；階非零子式稱為最高階非零子式；A1 r1 rr矩陣矩陣 的秩就是的秩就是 中不等于零的子式的

5、最高階中不等于零的子式的最高階數(shù)，這就是矩陣的秩所闡明的矩陣的一個(gè)特征；數(shù)，這就是矩陣的秩所闡明的矩陣的一個(gè)特征；AA當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣 中有某個(gè)中有某個(gè) 階子式不為階子式不為0，那么，那么As;)(sAR 當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣 中一切中一切 階子式都為階子式都為0，那么，那么At;)(tAR 5對于對于 階矩陣階矩陣 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 稱為滿秩稱為滿秩矩陣；否那么稱為降秩矩陣矩陣；否那么稱為降秩矩陣.nnAR )(AA 由于由于 階矩陣階矩陣 的的 階子式只需一個(gè)階子式只需一個(gè) ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 所以可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)，可逆矩陣又稱滿秩矩陣，不所以可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)，可逆矩陣又稱滿秩矩

6、陣，不可逆矩陣又稱降秩矩陣可逆矩陣又稱降秩矩陣.nAnA0 A.)(nAR 6四、矩陣的秩的計(jì)算定理定理1 1 假設(shè)假設(shè) ，那么，那么BA ).()(BRAR 即兩個(gè)等價(jià)矩陣的秩相等即兩個(gè)等價(jià)矩陣的秩相等.闡明闡明根據(jù)此定理，為求矩陣的秩，只需把矩陣用根據(jù)此定理，為求矩陣的秩，只需把矩陣用 初等行變換變成行階梯形矩陣，行階梯形矩初等行變換變成行階梯形矩陣，行階梯形矩 陣中非零行的行數(shù)即是矩陣的秩陣中非零行的行數(shù)即是矩陣的秩.證明略證明略7例例2 設(shè)設(shè),41461351021632305023 A求矩陣求矩陣 的秩，并求的秩，并求 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式.AA解解析：根據(jù)定理析

7、：根據(jù)定理1，為求，為求 的秩，只需將的秩，只需將 化為化為行階梯形矩陣行階梯形矩陣.AA 41461351021632305023A41rr 42rr 132rr 143rr 12812160117912011340414618 1281216011791201134041461233rr 244rr 8400084000113404146134rr 00000840001134041461所以所以. 3)( AR大多情況下只用初大多情況下只用初等行變換，不用初等行變換，不用初等列變換等列變換9再求再求 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式.Ar 1615026235230A 00040

8、0140161r因此因此, 3)(0 AR 41461351021632305023A 00000840001134041461 在在 中中,找一個(gè)找一個(gè)3階非零子式是比較階非零子式是比較容易的，另外留意到，容易的，另外留意到， 的子式都是的子式都是 的子式，所以易求得的一個(gè)最高階非零子式的子式，所以易求得的一個(gè)最高階非零子式0A0AA10502623523 . 0521162)1(502110652321 闡明闡明最高階非零子式普通是不獨(dú)一的最高階非零子式普通是不獨(dú)一的.上述找最高非零子式的方法是普通方法，另外上述找最高非零子式的方法是普通方法，另外 察看法也是常用的方法察看法也是常用的方法

9、. 41461351021632305023A312133003 . 0 11例例3 設(shè)設(shè),6352132111 A知知 ，求，求 與與 的值的值.2)( AR 解解析：這是一道知矩陣的秩，討論其中參數(shù)析：這是一道知矩陣的秩，討論其中參數(shù)的值的標(biāo)題的值的標(biāo)題.普通有兩個(gè)途徑，一是用定義；二是用初等變換普通有兩個(gè)途徑，一是用定義；二是用初等變換.當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的的3階階子式全為零，從而可以計(jì)算出參數(shù)的值子式全為零，從而可以計(jì)算出參數(shù)的值.下面下面用初等變換解答此題用初等變換解答此題.2)( ARA 6352132111 A123rr 135rr 458044302111 12 45804430

10、2111 23rr 018044302111 由于由于 ，故，故2)( AR , 01, 05 即即 . 1, 5 闡明闡明此方法就是，用初等變換，將矩陣化為比較簡此方法就是，用初等變換，將矩陣化為比較簡 單的矩陣，然后根據(jù)矩陣的秩進(jìn)展討論單的矩陣，然后根據(jù)矩陣的秩進(jìn)展討論.13分塊矩陣的概念分塊矩陣的概念 用一些橫線和豎線把矩陣分成假設(shè)干小塊，這種用一些橫線和豎線把矩陣分成假設(shè)干小塊，這種“操操作稱為對矩陣進(jìn)展分塊，每一個(gè)小塊稱為子塊；這作稱為對矩陣進(jìn)展分塊，每一個(gè)小塊稱為子塊；這樣處置矩陣的方法稱為分塊法；樣處置矩陣的方法稱為分塊法； 矩陣分塊后，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣矩陣分塊后，

11、以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.闡明闡明分塊矩陣只是方式上的矩陣；分塊矩陣只是方式上的矩陣；分塊法的優(yōu)越之處是：分塊法的優(yōu)越之處是：把大矩陣的運(yùn)算化為小矩陣的運(yùn)算把大矩陣的運(yùn)算化為小矩陣的運(yùn)算.矩陣分塊后，能突出該矩陣的構(gòu)造，從而可利矩陣分塊后，能突出該矩陣的構(gòu)造，從而可利 用它的特殊構(gòu)造，使運(yùn)算簡化用它的特殊構(gòu)造，使運(yùn)算簡化.可為某些命題的證明提供方法可為某些命題的證明提供方法.14例如例如 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA,2121121111 aaaaA得到得到4個(gè)子塊：個(gè)子塊：,2423141312 aaaaA ,323121aaA ,3433

12、22aaA 以這些子塊為元素，于是，得到以這些子塊為元素，于是，得到 的按照這種的按照這種分法的分塊矩陣：分法的分塊矩陣：A 22211211AAAAA這是一個(gè)方式上為這是一個(gè)方式上為 的分塊矩陣的分塊矩陣22 15 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaAA對對 還可以進(jìn)展其它分法，如下面的兩種分法：還可以進(jìn)展其它分法，如下面的兩種分法： 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA 4321AAAAA 321AAAA16五、矩陣的秩的性質(zhì)假設(shè)假設(shè) 為為 矩陣，那么矩陣，那么Anm ;,min)(0nmAR );0)()(),(

13、)( kARkARARART 假設(shè)假設(shè) ，那么，那么BA ).()(BRAR QP、 假設(shè)假設(shè) 可逆，那么可逆，那么);()(ARPAQR ),()(),()(),(maxBRARBARBRAR 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)b為列向量時(shí)，有為列向量時(shí)，有; 1)(),()( ARbARAR即，分塊矩陣的秩不小于每一個(gè)子塊的秩，不即，分塊矩陣的秩不小于每一個(gè)子塊的秩，不超越一切子塊的秩之和超越一切子塊的秩之和.17矩陣的秩的性質(zhì) );()()(BRARBAR,OBAlnnm 假設(shè)假設(shè) 那么那么.)()(nBRAR );(),(min)(BRARABR 下節(jié)下節(jié)下章下章18例例4 設(shè)設(shè) 為為 矩陣，矩陣，

14、 為為 矩陣，矩陣， 證明證明Anm Bmn ,nm . 0 AB證證根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)7，有，有,)(mnABR 而而 為為 階矩陣，所以階矩陣，所以ABm. 0 AB關(guān)于矩陣的秩的性質(zhì)的證明題關(guān)于矩陣的秩的性質(zhì)的證明題19關(guān)于矩陣的秩的性質(zhì)的證明題關(guān)于矩陣的秩的性質(zhì)的證明題例例5 設(shè)設(shè) 為為 階矩陣，證明階矩陣，證明An.)()(nEAREAR 證證由于由于,2)()(EAEEA 由性質(zhì)由性質(zhì)6，有，有)()(AEREAR而而),()(EARAER 所以所以.)()(nEAREAR ,)2()()(nERAEEAR 20六、小結(jié)v矩陣的秩是用矩陣的最高階非零子式的階數(shù)矩陣的秩是用矩陣的最高階非零子式的階數(shù)v 定義的；定義的；v矩陣的秩的求法：矩陣的秩的求法：根據(jù)定義，求最高階非零子式的階數(shù)，根據(jù)定義，求最高階非零子式的階數(shù)，根據(jù)初等變換不改動矩陣的秩這條性質(zhì)，用根據(jù)初等變換不改動矩陣的秩這條性質(zhì)，用 初等變換將矩陣化為行階梯形，行階梯形矩初等變換將矩陣化為行階梯形，行階梯形矩 陣的行數(shù)就是矩陣的秩；陣的行數(shù)就是矩陣的秩；v矩