1、不等式的基本知識一、解不等式1、一元二次不等式的解法元二次不等式ax2 bxc 。或ax2 bx c 0 a 0的解集:b2 4ac ,則設相應的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的兩根為x1、x2且x1 x2,不等式的解的各種情況如下表:000y ax2 bx cy ax2 bx cyax2 bx c一次函數y ax2 bx c（a 0）的圖象7rn 1£u,兀一次方程ax2 bx c 0a 0的根后兩相異實根x1,x2（x1 x2）后兩相等實根bx1 x22a無實根ax2 bx c 0 (a 0)的解集x x x1 或 x x2b x x1 2aRax2 bx c 0 (

2、a 0)的解集x|x1x x22、簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數為正；2）將每一個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；,2 一 3 一1是偶重根3）根據曲線顯現f（x）的符號變化規律，寫出不等式的解集。如：x 1 x 1 x 203、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。f(x)f(x)f(x)g(x) 0

3、一(4 0 f(x)g(x) 0;-(-)0g(x)g(x)g(x) 04、不等式的恒成立問題 ：常應用函數方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題若不等式f x A在區間D上恒成立，則等價于在區間 D上f x min A若不等式f x B在區間D上恒成立，則等價于在區間 D上f xBmax二、線性規劃1、用二兀一次不等式(組)表不平面區域二元一次不等式 Ax+By+C> 0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區域.(虛線表示區域不包括邊界直線)2、二元一次不等式表示哪個平面區域的判斷方法由于對在直線 Ax+By+C=0同一側的所有點(x, y),把它的坐標(

4、x,y)代入Ax+By+C,所得到實 數的符號都相同， 所以只需在此直線的某一側取一特殊點(x0, y0),從AM+By)+C的正負即可判斷Ax+By+C> 0表示直線哪一側的平面區域 .(特殊地，當Cw 0時，常把 原點作為此特殊點) 3、線性規劃的有關概念：線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量 x、y的約束條件，這組約束條件都是關 于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件.線性目標函數：關于x、y的一次式z=ax+by是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標函數.線性規劃問題：一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問

5、題.可行解、可行域和最優解 ：滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.使目標函數取得最大或最小值的可行解叫線性規劃問題的最優解.4、求線性目標函數在線性約束條件下的最優解的步驟：1)尋找線性約束條件，列出線性目標函數；2)由二元一次不等式表示的平面區域做出可行域；3)依據線性目標函數作參照直線ax+by = 0,在可行域內平移參照直線求目標函數的最優解三、基本不等式.前1、若a,bC R, a2+b2>2ab,當且僅當a=b時取等號2、如果a,b是正數，那么ab贏（當且僅當a b時取""號）變形：有:a+b封2，0b ； abw a一

6、b ，當且僅當a=b時取等號.23、如果a,bC R+,a b=P（定值），當且僅當a=b時,a+b有最小值2JP ；S2如果a,b R+，且a+b=S （定值，當且僅當a=b時,ab有最大值 .1）當兩個正數的積為定值時，可以求它們和的最小值，當兩個正數的和為定值時，可以求它們 的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1）Ja-q a Tab /?。ǜ鶕繕瞬坏仁阶笥业倪\算結構選用）；.221 1a b2. 222） a、b、cR, a b cab bc ca （當且僅當 ab c時，取等號）；3）若a b0,m0 ,則bb-

7、 （糖水的濃度問題）。不等式主要題型講解一、不等式與不等關系題型一：不等式的性質1、對于實數a,b,c中，給出下列命題：若a b,貝1Jac2 bc2 ；若ac2 bc2,貝1Ja b;. 1111右ab0,則aabb ; 右ab0,則一一；a b若ab0,則Pa；若ab0,則ab；a b a b11若c a b 0,則一a-若a b,-,則 a 0,b 0。c a c ba b其中正確的命題是題型二：比較大小(作差法、函數單調性、中間量比較，基本不等式)2、設a 2, p a , q 2 a24a 2 ,試比較p,q的大小 a 23、比較1 + logx3與210gx2(x 0且x 1)的大

8、小a b.1g()，則P,Q,R的大小關系21_4、右 a b 1, P <1g a 1g b,Q -(1g a 1g b), R 2是 二、解不等式24x 4x 1 0題型三：解不等式5、解不等式：2x2 7x 4 07、解不等式x2A2h128、不等式 ax bx 12 0 的解集為x|-1 <x< 2,貝U a=, b=12、若不等式x2 2mx 2m 10對0 x 1的所有實數x都成立，求m的取值范圍9、關于x的不等式ax b 0的解集為(1,),則關于x的不等式axb0的解集為x 210、解關于x的不等式ax2 (a 1)x 1 0題型四：恒成立問題恒成立，則a的取

9、值范圍是11、關于x的不等式a x2+ a x+1 >01,求使不等式x y m恒成立的實數m的取值范圍。113、已知x 0, y 0且一 x三、基本不等式ab ab2題型五：求最值14、（直接用）求下列函數的值域1） y=3x 2+22） y=x+12xx15、（配湊項與系數）51）已知x ,求函數V4v4x 21 的最大值。4x 52）當g E X U 4時，求y x（8 2x）的最大值。16、（耐克函數型）求 y7x 10(x1)的值域。x 1注意：在應用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數f（x） x a的單調x性。 X2 5 ,17、（用耐克函數單調性）求函數

10、y -的值域。X2 418、（條件不等式）1）若實數滿足a b 2,則3a 3b的最小值是一 一 19.一一2）已知x 0, y 0,且一 一 1,求x y的最小值。 x y3）已知x, y為正實數，且x 2+，=1,求知1 + y 2的最大值.14 已知a, b為正實數，2b+ab+a=30,求函數y=- 的最小值. ab題型六：利用基本不等式證明不等式22219、已知 a,b,c為兩兩不相等的實數，求證： a b c ab bc ca111-1-18bc20、正數 a, b, c 滿足 a + b+c= 1,求證：(1 a)(1 b)(1 c)> 8abc21、已知 a、b、c R

11、,且 a b c 1。求證:題型七：均值定理實際應用問題:22、某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價為每米248元,池底建造單價為每平方米 80元，池壁的厚度忽略不計，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。四、線性規劃題型八：目標函數求最值2x y 3 023、滿足不等式組7x y 8 0,求目標函數k 3x y的最大值x, y 024、已知實系數一元二次方程x2(1 a)x a b 1 0的兩個實根為、x2,并且b0 xi2, x22 .則的取值范圍是a 1x 025、已知x,

12、y滿足約束條件：3x 4y 4，則x2 y2 2x的最小值是y 0x 2y 3 026、已知變量x, y滿足約束條件 x 3y 3 0.若目標函數 z ax y (其中a>0)僅在點 y 1 0(3, 0)處取得最大值，則 a的取值范圍為 。y 1,27、已知實數x, y滿足 y 2x 1,如果目標函數z x y的最小值為 1,則實數m等于 x y m.題型九：實際問題28、某餅店制作的豆沙月餅每個成本35元，售價50元；鳳梨月餅每個成本 20元，售價30元。現在要將這兩種月餅裝成一盒，個數不超過10個，售價不超過 350元，問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個，可使利潤最大？又利潤最大為多少？

13、不等式的基本知識參考答案高中數學必修內容練習一不等式1、；2、p q ；43、當 0 x 1或 x 時，i + l0gx 3>210gx 2；34 .當 1 x 時，i + logx3V 210gx2;34 .當 x 時，i+1ogx3 = 210gx234、 . a b 1,一 11ga 0,1g b 0 Q (1ga Igb)Jga 1g b p2_. . a b 1 .一R1g(-)1g Vab1g abQ：r>q>p。5、“I e " 'I' IT),：.；1*上6、 x | x 1 或 x 2;7、( 1,1)U(2,3);28、不等式 a

14、x bx 12 0 的解集為x|-1 <x<2,則 a=-6, b=_69、(, 1) (2,).10、解：當a=0時，不等式的解集為xx 1 ；2分11當aw(M, a(x- - )(x-1)<0；當a<0時，原不等式等價于 (x)(x- 1)>0 aa1不等式的解集為 x x 1或x ； 6分a，.1 一 ，1-當0V a<1時，1< 一,不等式的解集為x1 x ； 8分aa11.當a>1時，<1,不等式的解集為 x - x 1 ; 10分aa當a=1時，不等式的解為 小 12分11、0<x<4-1、12、 m 一）213、

15、m ,1614、解：1) y = 3x2+* >2,3*2*=76 ;值域為V6 , +8) 2)當 x>0 時，y=x+； >2Ax - 1 =2;當 x<0 時，y=x+x = ( xx )一2j x - 1 =- 2.值域為(一0°,- 2 U 2 , +°°)一 51115、1)斛Qx 一，5 4x 0， y 4x 2 5 4x 32 3 144x 55 4x，一一1當且僅當5 4x 一1一，即x 1時，上式等號成立，故當 x 1時，ymax 1。 5 4x2) N 58-2力三3* (8-2x)<Ic2X+8-L-iJa當2

16、工=8-,即x = 2時取等號 當x=2時，y x（8 2x）的最大值為8。16、解析一：104(_x + 1) +5z + 112口時，y 2J(x 1), x解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令5 9 （當且僅當x=1時取“=”號）。t=x + 1,化簡原式在分離求最值。(t 1)2 7(t 1) + 10 t2 5t 4E1 ，一因 t0,t 1 ,但 tt1 .因為y t ：在區間1,t當工> T ,即t=x + 1 3 口時17、解：令展4 t（tx21 “ 口解彳導t t1不在區間2,（當t=2即x=1時取單調遞增，所以在其子區間1t -(t 2),故等號不成立,

17、考慮單調性。2,為單調遞增函數，故 y所以，所求函數的值域為 18、（條件不等式）1)解:3a和3b都是正數，3a金 qZY 2 于 6當3a3b時等號成立，由2及3a3b得a b 1即當a b 1時,3a3 b的最小值是6.2)解:Qx10,y 0x9 1, y9x10 y1016當且僅當yx9x 時，上式等號成立，又y4, y12時,y min 16下面將x,2+y2-分別看成兩個因式:3)解：x1 + y 2 = x1 2y = V2 x -x -x耳)2< x 2送十223一一o4 即 xj 1 + y 2 =-f2 x4）解：法一:30-2ba= b+130-2b ab=- b

18、+ 1-2 b 2+ 30b b =b+ 1由 a>0 得，0V b<15t=b+1, 1<t<16, ab=-2t2+34t-31816 、.16-2 (t+-t- ) + 34 .- t+-t- >2t-T ab< 181,1 一”一，.、 y> 18當且僅當t=4,即b=3, a=6時，等號成乂。法二：由已知得:30-ab = a+2b / a+ 2b>2y2ab+2艱 u-30< 0,5平 < u<3j230-ab>2,y2"ab19、.一1,ab< 18, . . y>18已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證： a2 b2