1、錯位相減法求和專項錯位相減法求和適用于an'bn 型數列，其中an,bn分別是等差數列和等比數列，在應用過 程中要注意：項的對應需正確；相減后應用等比數列求和部分的項數為（n-1）項；若等比數列部分的公比為常數，要討論是否為11 .已知二次函數的圖象經過坐標原點，其導函數rum n ,數列 n 的前"項和為，點營Y"）均在函數的圖象上.（I）求數列 1口|的通項公式；（n ）設修T是數列出的前檔項和，求T . nFT1 H JFl解析考察專題：2.1, 2.2, 3.1, 6.1;難度：一般答案（I ）由于二次函數的圖象經過坐標原點，則設，3二&尸:加，3泌

2、+分,2"+ 2 ,H = L人工2 ,fw =r+2），又點（5萬1" A'）均在函數的圖象上，兀=，/ + 2H.當打22 時，/ =1'* 2町一（片一/ + ?弧- Ij = 2網 + I ,又叫=易=3 ,適合上式,.=2+1 （7 分）(n)由(i)知，與=(? + |卜廠，T1t = 3力+ （2收 +1），2"，27 =3*2* *52, 72* * 中（2w -1）, 2*+（2燈+!），上面兩式相減得：-rri =3 21 +2+2S + +="2."匕L2l（?fj+ i卜尸. 1 = 2整理得匕= Q“D

3、r'”+2 （14分）2 .已知數列“%）的各項均為正數，S"是數列"%的前n項和，且電=;/ 2 +2日一（1）求數列6的通項公式；己知y2,求二二口八*&h*人*“”的值.答案查看解析I 2 13%=5=工可*不/_7， 解析（1）當n = 1時，" "解出ai = 3,又 4Sn = an2 + 2an 3j 當丹 士 2 時 4sn 1 = +"-1 + 2an-1 3 "4；Ya）,即扁-&4*j） = o, ,二數列包)是以3為首項，2為公差的等差數列，6分二 =3 + 2<n-l) = 2n

4、 + l(2) 9 =3箕'+5"2rL 筋+ 1)2 區又5:3x2 +52 L +(2內-1卜2 4(?h*I)2 r =-3乂篦2”+V+A +2卅)+ (2H+)2N一 “-648 27 +(2+l)-2WTl_12分二»2”“3.(2013年四川成都市高新區高三4月月考，19,12分)設函數 以用=1叩+幻一一(K >0),數列4前依項和Sn , 2s“T=2$口 +禺必=I ,數列；4| ,滿足也二/(“&J .(I )求數列tJn -的通項公式 弭J ;(n )設數列的前r項和為A ,數列雙的前ti項和為B 證明：A + B < 4

5、 . 丹 JJIII Tit JrJMrJ答案(i)由2sm 溫二% ,得2%川=豆必+ 0，,:'是以I為公比的等比數列，故丁=蔣尸.(n )由4三八叫、1 - 1n(l +叫)7,%： <療".一 M% 得4 +瓦（< 4 .（注：此題用到了不等式：lnl + X）（> 0進行放大.）4 .已知等差數列E中，口2=4 ； %是叼與%的等比中項.（I ）求數列；口/的通項公式：（n ）若%，44 .求數列R 的前修項和1解析（I ）因為數列 是等差數列，%是叫與心的等比中項.所以明二“必，又因為，=4 ,設公差為d ,則W Cd二外他，所以（4 + 2rf

6、p =16+244/,解得 d = 2 或=0 ,當d = 2時，9=2, 口=2M+1A2=%；當 d = O 時 4 = 4.所以 = 或4 = 4.小分）（n）因為*產外,所以,所以"'q二m 1,所以S*券4,2" +久2、+所以-S =2（20 + 2,+2a+=2*1兩式相減得1-2,所以 S*（T）T.2. J?分）5 .已知數列力的前門項和工，皿=I , 八二迄十乂川二N）,等差數列（總中色=§ , 且公差 二.（I）求數列sn、色;的通項公式；（n）是否存在正整數門，使得她+對%+力也60”？若存在，求出ft的最小值， 若不存在，說明理由

7、.己& =】，口“+i = 2S” + L ,當h 之 2 , u =25 + I ,-解析（I ） -時，. g相減得：4"如"之 2） d=為 +1=3 i=M ，人?二數列1& ；是以1為首項，3為公比的等比數列， ' = 3' .又從=入汽=5m=3 .,也=2"1 .（6分）（口）“生=+1），尸令=£l*5*3 + 7N、L '.小弟、（2"舊尸定=£3 + 5*3、7 d+L +（2T）x30、rl），丁一得:2Tn =3xt+2(3+3a +L +S-1)-(2n+l)x3*&#

8、39;工二心3"，fm3*>60z ,即 3">胡)，當打£3 , 3，Y 6。，當內之4。羊 >6(二r的最小正整數為 4.(12分)6 .數列他)滿足"叼=2m產2 ,等比數列也)滿足b尸碉也二% .(I )求數列4,也;的通項公式；(n)設 ="也,求數列也1的前h項和。.解析(I )由4“ 一4二2 ,所以數列是等差數列，又叫二,所以 4 = " + S-1)C=2川由=%八二%，所以"=2 ,所以,區 ,即口 = 2 ,- A =2"、所以 一 .(6分),C lib ，匕.二圻,&qu

9、ot; t(n )因為"" ”，所以“，ntr =lM22Fi2、i5*則",e,P, 2r=b2J + 2.24 + 5-2s+-l)-2"' + /p2flk2所以修i ,，兩式相減的Y = W+? +獷-，十,所以('L、4. (12分)7.已知數列1叫滿足昌"明丹N ,其中力為數列 M的前”項和.(I )求;的通項公式；卜_捍(n)若數列色：滿足：r心 ”口，求也：的前門項和公式.解析I).：-VF.hJk2i +lx：T+-+（rr-nM2*-bf/x兩式相減得7卜產，二 7；二p 川（13 分）J 12廣即1pli8

10、.設 d 為非零實數,an=n【'叼+2"叼2+(n1)“ dn-1+n，dn(n £ N*).(I )寫出ai, a2, a3并判斷an是否為等比數列.若是，給出證明；若不是,說明理由(n )設 bn=ndan(nC N*),求數列bn的前 n 項和 Sn.答案(I)由已知可得 ai=d, a2=d(1+d) , a3=d(l+d) 2.退|=叱；，因此k=l,L k= 1an =dscdk=d(d+i)1,1 k 0由此可見,當dNl時，an是以d為首項，d+1為公比的等比數列當d=-1時，ai=-i, an=0(n >2)此時an不是等比數列.(7分)(

11、n )由(I )可知，an=d(d+1) n-1,從而 bn=nd2(d+1) n-1,Si=d21+2(d+1) +3(d+1) 2+-+(i-1) (d+1) n-2+n(d+1) n-1. 當 d=-1 時,S=d2=1.當d1時，式兩邊同乘d+1得(d+1) Sn=d2(d+1) +2(d+1) 2+-+(n1) (d+1) n-1+n(d+1) n.，式相減可得-dSn=d21+(d+1) +(d+1) +(d+1)n-1-n(d+1) n=d化簡即得 Sn=(d+1) n(nd-1) +1.綜上，Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12 分)9.已知數列an滿足 a1=0,

12、 a2=2,且對任意 m, n C N*者B有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1 +2(m-n) 2(I )求 a3, as;(n )設 bn=a2n+1-a2n-1(n C N*),證明：bn是等差數列；(出)設 Cn=(an+1-an) qn-1(q w 0, n N*),求數列cn的前 n 項和 Sn.答案(I )由題意，令 m=2, n=1 可得 a3=2a2-a1+2=6.再令 m=3, n=1 可得 a5=2a3-ai+8=20. (2 分)(n )證明：當n N*時，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+的-1 =2a2n+i+8.于是a2(n+1)+1-a2(n+1)-

13、l-(a2n+1-32n-1 ) =8,即 bn+1-bn=8.所以，數列bn是公差為8的等差數列45分)(m )由(I)、( n )的解答可知bn是首項bi=as-ai=6,公差為8的等差數列則 bn=8n-2,即 32n+i-a2n-i=8n-2.211-1+為另由已知(令m=1)可得，an= 2-(n-1) 2a"%.彳那么,an+i-an=l - -2n+1= Z -2n+1=2n.于是，cn=2nqn1.當 q=1 時，Sn=2+4+6+ +2n=n(n+1).當 qw 1時，Sn=2 q，4 q+6 q?+2n q.兩邊同乘q可得qSn=2q1+4 q2+6 q3+ -

14、+2(n1) qn；1+2n qn.上述兩式相減即得(1-q) Sn=2(1+q1+q2+ - +(5-1) -2nqn=2 -2nq n=2 卜。所以 Sn=2 一一(q*D 2 .F n(n+l)(q=l),2.叫口什1卜嗎綜上所述，(十1)-. (12分) 10.已知數列an是公差不為零的等差數列，a1=2,且a2,a4,a8成等比數列 (1)求數列an的通項公式；(2)求數列an/的前n項和.答案(1)設數列an的公差為d(d豐0),由條件可知：(2+3d)2=(2+d) (2+7d),解得 d=2.(4 分)故數列an的通項公式為 an=2n(nC N*).(6分)(2)由知anm1

15、=2nx2n,設數歹U an31的前n項和為Sn,則 Sn=2X2+4X4+6X6+-+2n X2n,32Sn=2 x4+4X6+-+(2n2)n+2n X 2n+2,故-8Sn=2(32+34+36 +3n)-2n 冽+2,(8 分)所以數列anB'的前n項和Sn=n .(12分)11.已知等差數列4 ；滿足% = 5, % - 2% = 又數列:仄中九=a且二:' I :.求數列K,公的通項公式；. 一 hS (2T +3).、(2)若數列阮,優的前瞳項和分別是七,且7 =上一一L-求數列&的前內項和 fl1；若4人 9 k嗯用日.加注1)對一切正整數h恒成立，求實

16、數 而的取值范圍.1rq二 5.答案(1)設等差數列；4 的公差為,則有,t八 I 八.(q +4to-2(0rl -.) = 3,a = L解得l = 2,= I +. 1) M 2 = ? M . 1 (" W N * ),.門“一兒“ =0,二竺=,數列俗J是以勺=3為首項，公比為3的等比數列二九二3x3"T =31川白,丁|, 分二二 + q+G+ + q. + q，.M,二心、2H 3M¥+ M"1)m3HsmSjl/n =ix3" + 2x3* + 3x3* + *i，i + (f?1)x3*"十x3""

17、;2)W _q"i x i.(1)一(2)得2二 3工 34 + 3' *" n3"" = 打x3"» ,n二必山=工(2/-1)"3" + |(寸曰*7. 怎9 i 9 廣1sl(3)C-K = 4(2n + l)x3-+,+|J-(2«-1)xy+ l=9(-F0x3w >0 , ' ，二當八-1時，.=A/.取最小值 Mi = 9,二阻”阻卜，當 0 £m V 1 時，由 c 1 二 k% m ,解得用 < 344即實數后的取值范圍是,用|。陽2城心 I . 1

18、4412 .設工為數列4的前內項和，對任意的門匚K,者B有，-(制+”一酬叫加為常數，且.,；.舊(1)求證：數列I "J是等比數列；(2)設數列(凡的公比¥ = /('叫數列陽滿足占=2%也二/電|)丘2押工MJ ,求數列明的通項公式；目(3)在滿足(2)的條件下，求數列 兒J的前打項和北.r 1 , a - S, -(m + 】)ma,川 口二】答案188. (1)當月一 時，11 I ',解得1.當，2時，口片5尸耳小峰* 叫，即山叫叫又相為常數，且精選.數列4是首項為1,公比為】 m的等比數列.分（2）由（1）得，4 =/（卅）I Im梟，I I +1 三一,b I b- I時1 1 , 1 1-+ 1%如 幾九%>2）力 ：“J是首項為工，公差為1的等差數列.it21 （燈匚N&