1、解：5*10*15*20*2=30000 => X=0止匕數能被99整除=> 2+43+29+02+8Y+76+6建99的倍數=> Y=1鐘表上的追及問題一個n(n)2)位正整數M中的相鄰的一個、兩個、 (n-1) 個數碼組成的數叫的片段數(新課標提倡，數學走進生活，教科書中出現了與日常生活密切相關的鐘表問題。例如：在3點和4點之間的哪個時刻，鐘表的時針與分針：(1)重合；(2)成平角；(3)成直角。許多同學面對此題，束手無策，不知如何解決。實際上，因為分針旋轉的速度快，時針旋轉的速度慢，而旋轉的方向卻是一致的。因此上面這類問題也可看做追及問題。通常有以下兩種解法：一.格數法

2、鐘表面的外周長被分為 60個“分格”，時針1小時走5個分格，所以時針一分鐘轉1分格，分針一分鐘轉1個分格。因此可以利用時針與分針旋轉的“分格”數12來解決這個問題。解析(1)設3點x分時，時針與分針重合，則分針走x個分格，時針走上個12分格。因為在3點這一時刻，時針在分針前 15分格處，所以當分針與時針在 3點與4點之間重合時，分針比時針多走15個分格，于是得方程x上= 15,解得x = 16,。1211所以3點16土分時，時針與分針重合。11(2)設3點x分時，時針與分針成平角。因為在 3點這一時刻，時針在分針前15分格處，而在3點到4點之間，時針與分針成一平角時，分針在時針前 30分格處，

3、此時分針比時針多走了 45分格，于是得方程x - = 45 ,解得x=49。1211所以3點492分時，時針與分針成平角。11(3)設3點x分時，時針與分針成直角。此時分針在時針前 15分格處，所以 在3點到4點之間，時針與分針成直角時，分針比時針多走了30分格，于是得方程 x_)-=30,解得 x =32o1211所以3點32_8分時，時針與分針成直角。11二.度數法對鐘表而言，時針12小時旋轉一圈，分針1小時旋轉一圈，轉過的角度都是 360。，所以時針1分鐘轉過的角度是0.5° ,分針1分鐘轉過的角度是6° o故也 可以利用時針與分針轉過的度數來解決這道題。解析 (1)

4、設3點x分時，時針與分針重合，則時針旋轉的角度是0.5x 0 ,分針旋轉的角度是6x° o整3點時，時針與分針的夾角是 90° ,當兩針重合時， 分針比時針多轉了 90° ,于是得方程6x-05x=90,解得x = 16。11(2)設3點x分時，時針與分針成平角。此時分針比時針多轉了90° +180°=270° ,于是得方程6x0.5x=270,解得x=491。11(3)設3點x分時，時針與分針成直角。此時分針比時針多轉了90°+90° = 180° ,于是得方程6x -0.5x =180 ,解得x =3

5、2 o11練一練1 .鐘表上9點到10點之間，什么時刻時針與分針重合？2 .鐘表上5點到6點之間，什么時刻時針與分針互相垂直？3 .鐘表上3點到4點之間，什么時刻時針與分針成40°的角？4 .鐘表上2點到3點之間，什么時刻時針與分針成一直線?（參考答案：1. 9點49,分；2. 5點432或5點1。10分；1111113. 3點91分或3點23二分；4. 2點431分。） 111111時鐘指針重合問題的公式根據鐘表的構造我們知道，一個圓周被分為12個大格，每一個大格代表1小時；同時每一個大格又分為5個小格，即一個圓周被分為 60個小格，每一個小格代表1分鐘。這樣 對應到角度問題上即為

6、一個大格對應 36 0° /12=30 ° ; 一個小格對應360° /60=6 °。現 在我們把12點方向作為角的始邊，把兩指針在某一時刻時針所指方向作為角的終邊，則m時n分這個時刻時針所成的角為30 （m+n/60）度，分針所成的角為6n度，而這兩個角度 的差即為兩指針的夾角。若用 a表示此時兩指針夾的度數，則 a =30 （m+n/60） -6n。考 慮到兩針的相對位置有前有后，為保證所求的角包為正且不失解，我們給出下面的關系式：a=|30 （m+n/60） -6n|=|30m-11n/2| 。這就是計算某一時刻兩指針所夾角的公式，例如：求 5時4

7、0分兩指針所夾的角。把 m=5, n =4 代入上式，得 a =|150-220|=70 （度） 利用這個公式還可計算何時兩指針重合問題和兩指針成任意角問題。因為兩指針重合時，他們所夾的角為0,即公式中的a為0,再把時數代入就可求出no例如：求3時多少分 兩指針重合。解：把 a=0, m=3代入公式得：0=|30*3-11n/2| ,解得n=180/11 ,即3時180/11分兩指針重合。又如：求1點多少分兩指針成直角。解：把 a=90° , m=1代入公 式得：90=|30*1-11n/2| 解得 n=240/11。（另一解為 n=600/11）上述公式也可寫為|30m+0.5n-

8、6n| 。因為時針1小時轉過30度，1分鐘轉過0.5度，分針 1分鐘轉過6度.時鐘問題是研究鐘面上時針和分針關系的問題。鐘面的一周分為60格。當分針走60格時， 時針正好走5格，所以時針的速度是分針的5+60=1/12,分針每走60+ （1 5/60）=65+5 /11 （分），于時針重合一次，時鐘問題變化多端，也存在著不少學問。這里列出一個基本的公式：在初始時刻需追趕的格數一 （ 1 1/=追及時間（分鐘），其中，1 1/12 為每分鐘分針比時針多走的格數。時鐘問題解法與算法公式發表時間：2009-08-28?編輯：Jakie?來源：？?培優教育編者按：時鐘問題屬于行程問題中的追及問題。鐘面

9、上按“時”分為 12大格，按“分” 分為60小格。解題關鍵：時鐘問題屬于行程問題中的追及問題。 鐘面上按 時”分為12大格，按 分 分為60小格。每小時，時針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時針的轉速是分針的，兩針速度差是分針的速度的，分針每小時可追及。1、二點到三點鐘之間，分針與時針什么時候重合？分析：兩點鐘的時候，分針指向12,時針指向2,分針在時針后5X2 = 10 （小格）而分針每分鐘可追及1-=（小格），要兩針重合，分針必須追上10小格，這樣所需要時間應為（10+）分鐘。解：（5X2） +（1） =10+ = 10 （分）答：2點10分時，兩針重合。30X2+ （ 6-0

10、.5 ）=60+ 5.5= 120/11=10又 10/11 分即2時10又10/11分分針和時針重合追問我要解釋回答這是另一種追擊問題追擊時間=路程差+速度差分針每分鐘走6度，時針每分鐘走0.5度2時整分針與時針相差 30X 2=60度在三點與四點鐘之間，時針和分針什么時候重合，什么時候成一條直線？這個就是一個追擊問題唄分針的速度是時針速度的12倍又時針的速度是30度/小時（即0.5度/分），則分針的速度是 360度/小時（即6度/分）則重合時（6-0.5） t1=90,解得t1=180/11,所以在大約3點17分的時候重合成直線時（6-0.5） t2=90+180解得t2=540/11 ,

11、所以在大約3點49分的時候成一條直線分針每分行6度，時針每分行0.5度，以12時為0度，3點鐘時時針在90度，分針為0度，設 需要x分鐘重合，根據追及問題得方程：6x=0.5x+905.5x=90x=180/11=16 又 11 分之 4即分針在3點16又11分之4分的時候與時針重合分針和時針在一條直線上有 2種情況：第一種情況：重合分針和時針在3點整時相差15個小格分針每分鐘追時針11/12個小格（分針前進1小格，時針前進5y0=1/12小格）那么分針追上時針需要：15 + （11/12） = 180/11 （分）=16又4/11 （分）在3點與4點之間，3點16又4/11分時分針與時針在一

12、條直線上（化成代分數可以讓你知道大概的重合時間，所以這種題化成代分數較好）第二種情況：分針超前時針 180度分針和時針在3點整時相差15個小格分針要超前時針180度，也就是要超前30個小格分針要追時針：15 + 30 = 45 （格）一共需要：45+ （11/12 ）= 540/11 （分）=49又 1/11 （分） 在3點與4點之間，3點49又1/11分時分針與時針在一條直線上2、在4點鐘至5點鐘之間，分針和時針在什么時候在同一條直線上？分析：分針與時針成一條直線時，兩針之間相差 30小格。在4點鐘的時候，分針 指向12,時針指向4,分針在時針后5X4 = 20 （小格）。因分針比時針速度快

13、，要 成直線，分針必須追上時針（20小格）并超過時針（30小格）后，才能成一條直 線。因此，需追及（20 + 30）小格。解： （5X4 + 30） + （1 1/12 ） = 50+=54 （分）答：在4點54分時，分針和時針在同一條直線上。3、在一點到二點之間，分針什么時候與時針構成直角？分析：分針與時針成直角，相差15小格（或在前或在后），一點時分針在時針后5X1 =5小格，在成直角，分針必須追及并超過時針，才能構成直角。所以分針需追及（5X1 + 15）小格或追及（5X1+45）小格。解： （5X1 + 15） + （11/12） =20+11/12=21 （分）或（5X1 +45）

14、+ （ 1 1/12 ） = 50+11/12 =54 （分）答：在1點21分和1點54分時，兩針都成直角。4、星期天，小明在室內陽光下看書，看書之前，小明看了一眼掛鐘，發現時針與分針正好處在一條直線上。看完書之后，巧得很，時針與分針又恰好在同一條直線上。看書期間，小明聽到掛鐘一共敲過三下。（每整點，是幾點敲幾下；半點敲一下）請你算一算小明從幾點開始看書？看到幾點結束的？分析：連半點敲聲在內，一共敲了三下，說明小明看書的時間是在中午12點以后。12點以后時針與分針：第一次成一條直線時刻是：（0+30） +（ 1 1/12 ） = 30+11/12 =32 （分）即12點32分 第二次成一條直線

15、時刻是：（5X1 + 30） + （1 1/12 ） = 35+11/12 =38 （分） 即1點38分。第三次成一條直線的時刻是：（5X2 + 30） + （ 1 1/12 ） = 40+11/12 =43 （分） 即2點43分。如果從12點32分開始，至U 1點38分，只敲2下，到2點43分，就共敲5下（不 合題意）如果從1點38分開始到2點43分，共敲3下。因此，小明應從1點38分開始看 書，至J 2點43分時結束的。5、一只掛鐘，每小時慢5分鐘，標準時間中午12點時，把鐘與標準時間對準。現 在是標準時間下午5點30分，問，再經過多長時間，該掛鐘才能走到5點30分？分析：1、這鐘每小時慢

16、5分鐘，也就是當標準鐘走 60分時，這掛鐘只能走605 =55 （分），即速度是標準鐘速度的=?02、因每小時慢5分，標準鐘從中午12點走到下午5點30分時，此掛鐘共慢了 5X （17 12） =27 （分），也就是此掛鐘要差 27分才到5點30分。比較分數大小的若干方法與技巧比較分數大小問題是初中數學競賽的一類常見問題，現介紹幾種常用解法，以 供同學們學習參考。一、巧加數字例1.（1992年第九屆“縉云杯”初中數學邀請賽試題）把. 1991, -91, -1992, _92四個分數從小到大排列是 199292199393解：將每個分數都加上1,可得：199219931199392- 1931

17、93所以康199211< < 9392所以一些19931991一 19929291< -< -9392111111111二、巧減數字例2.（1996年第七屆“希望杯”全國數學邀請賽初二試題）a = 19961995 , b = 19951996 , c = 19951996, d = 19961995 ,則下列不等式關系 1995199619951996中成立的是（B.c>a>d>bD.a>c>d>bA.a>b>c>dC.d>b>c>a解：設每個分數都減去1,可得顯然 a>c>d>

18、b故選D三、巧乘數字例3.（1995年第六屆“希望杯”全國數學邀請賽初二培訓題）設a二空，b=空，則a、b的大小有（）19951994D. a qbA. a>bB. a<bC. a=b解：因為 1994 =1994219951995 1994所以理嚶19941995即a>b 故應選A 四、巧除數字例4.（1997年中小學數學（北京）數學奧林匹克初一綜合練習題）19961996，c1997199719971997 ,則19981998 '比 19951995右a二19961996B. b<c<aA.a<b<cC. c<b<aD.a&l

19、t;c<b解：用1除以a,得同理：1 =1 b1996 '二1 , 1997故應選A 五、巧倒數法 例5.（第二屆“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）比較也和業的大小。111111111解：因為如=皿3 = 1。+，11111即 1111111111111111所以*1111111111六、巧求差法例6.同例2解：因為a -c19961995 -199519961995>0 ,所以a1996_ 4又因為 c_d = 1995 10199641996 10199519951996耍一些01995 199619961995 -19951996因為d -b =所以c d綜合以上可得a

20、c d b故選D七、巧求商法例7.(2000年“魯中杯”紹興四市、縣初中數學聯賽試題)1998 2001 一 r ，.,C = 1998 2001 ,則有（1999 20001998 19991998 2000已知 A =, B =2000 20011999 2001A. A>B>CB. C>B>AC. B>A>CD. B>C>A解：因為A19992220002所以A<B,同理可求得B<C所以C aB a A,故選B八、巧代換法例8.(江蘇省泰州市初中數學競賽試題)已知：a = 1997 _1996)b =耍一耍，比較A、B的大小。1

21、998 19971997 1996解：設1997=a,則因為 a(a 1) a(a -1) 0所以A<B一元一次不等式解題技巧大放送解一元一次不等式，教材中介紹的是基本方法，但題目千變萬化，遇到每一個 題目要善于觀察所給不等式的特點，結合其他知識，靈活巧妙地變通解題步驟，才 可收到事半功倍的效果。1、巧去括號例 1 解不等式-J4 -x-1 |-81>3x+14” 4J J 2分析：因為3乂4=1,所以先去中括號比先去小括號簡便。4 3解：先去中括號，得k-6 3x 1242兩邊同時減去-x+1,得x<-7-。 242、巧添括號例2解不等式分析：不等式兩邊都有(x-17),因

22、此我們不是去括號，而是添括號，將各項整理出(x 17)。解：原不等式可化為：即(x17)l 8(x -17) -l(x -17) 02 343、巧用分式基本性質例3解不等式至二06<絲45一3。0.20.50.1分析：直接去分母較繁，若先用分式的基本性質，可以使化小數為整數和去分母一次到位。解：由分式的基本性質，得即 15x -3 :： 4x -3 -10x -42.21x J2, x <-2 o4、巧化分母為1例 4 解不等式 上6x -6.5 <0.022x -7.50.010.02分析：此題按常規應先利用分數的基本性質將不等式中的小數化為整數，然后按步驟求解。但我們發現

23、 7.5+6.5 = 1,46x =100(4 6x),0.022x=1 100x。巧妙地去0.010.02掉分母，從而簡化了解題過程。解：原式可化為 100(4 -6x) -6.5 <1 -100x -7.5 0移項合并，得 一500 <T00, IP x >-055、巧湊整例5解不等式2x 2 4x -3 9x -13 7 -3x45+ + > 0分析：觀察各項未知數的系數和常數項，注意到33+0+3 = 2 ,3 5 45 9_2+3+藝+7=1,因此把各項拆開移項湊整，比直接去分母簡便。3 5 45 9解：原不等式可化為2x 2 4x33 545>Z.1x

24、09 3移項合并，得2x .16、巧組合x 5 x - 3 2x 3+ > + 0分析：注意到左邊的第一項和右邊的第二項中的分母有公約數3,左邊的第二項和右邊的第一項的分母有公約數 4,移項局部通分化簡，可簡化解題過程。解：移項通分，得3x -15-2x -3 2x -6 -x -5>O化簡，得x -18 x -11>98去分母，得 8x -144 >9x -99 0 解得 x<75。7、巧變形例7解不等式11_1-(x -1)+-(x-2)<-3-(x-3)0234解：原不等式可化為X 1 X 1 x 1 c即- -0234的運算技巧在初中數學競賽的有理數

25、運算中，經常碰到含省略號“”的有理數計算問 題，不少同學對這種題型的計算感到無所適從，本文說明：可通過觀察尋找規律, 問題即迎刃而解，下面舉例說明。1 .分組結合例 1.計算:1+23+4+56+7+8 9 2004 +2005解：原式 =(1+23)+(4+5 6)+ +(2002 +2003 2004)+20052 .化積約分例2.計算:解：原式8M竺 m x 360,399八2八2,2234191202另解：由 a2-b2 =（a+b）（ab）,知所以，原式1Tl3人11 + 4>111 19,3 .用奇偶性例 3.計算：（1 -2）（3 -4） - （2005-2006）解：原式

26、=c蟲二1）二（心）1003例 4.計算：(1) +(1)2 +(-1)3 + +(1)2004解：原式=1+11+1+1+14 .去絕對值相消例5.計算:1-1200612005解：原式=1_1+11+ +12 2 32005 20065.裂項相消例6.計算:十,十十十一1一1 2 2 3 3 42005 2006解：原式=1+1+12 2 3 3 42005 20066.逆序相加例 7.計算：1+2+3+ +2006解：設 S =1 +2 +3+ +2006(1)貝S =2006 +2005 +2004 + +1(2)由(1) + (2),得故 S =2013021例8.計算:113)13

27、5),132005'十 +卜+ + |+ . + + +2M4><666><200620062006,劭 、八 c 113 K ,，Z1 工 3 5'匚角牛：設 s=+ + + :十24 46 6 62006 20062006(1)"3 +-5.34,-+6 61”6./2005200620032006+ +1-2006(2)由(1) + (2),得所以 S = 2517537 .錯位相減例9.計算：2 +21 2 +23 +2 2006(1)解：設 S =2 +22 +23 + +2 2006(2)貝U有 2s =22005 +23 + 2

28、2006 + 2 2007由(2) - (1),得 2S S = 22007 2即 S =2 2007 -28 .整體換元例10.計算:2005,12006 >解：設A =1則原式r二aIb2006 >< _±_22006>9 .逐級降次例11.計算:2 _22 _23 . 22005 + 22006解：原式=2 2006 2 2005 2 2004 一22+2例 12.已知：12+22+32+ n2=n(n+1)(2n+1),那么22+ 42 + 62+ +50 =60解：原式 =(1父2)2十(2m2)2十(2m3)2十十(2m25)211 .公式運用例 13.計算:12 22 十32 42 +20052 20062解：原式 =(1 2)(1+2)+(3-4)(3 + 4)+ +(2005 -2006)(2005 + 2006)12 .湊整求和例 14.計算：19 +299 + 3999 + 49999 + + 899999999 + 9999999999解：原式 =(20-1)+(300 -1)+ (4000 - 1) + (50000 -1) + (10000000000 - 1)練習：1 .計算：1+2-3-4+5+6-7-8 + +2005 + 2006-2007 -20082 . 計算：