1、復習提綱 2011-5-23一、空間的角的計算（利用空間向量的方法，常建立空間直角坐標系）1異面直線所成的角（1）設兩異面直線所成的角為q，它們的方向向量為，則cosq|cos<,>|（2）范圍：(0，2直線與平面所成的角（1）設直線l與平面a所成的角為q，l的方向向量為，平面a的法向量為，則sinq|cos<,>|（2）范圍：0，注意：求平面的法向量若已存在，則只需證明該向量與平面內的兩條交線垂直（即數量積等于0）；用待定系數法求法向量，列三元一次方程組（兩條交線對應兩個方程）3二面角（1）設二面角alb的平面角為q，平面a、b的法向量為、，則|cosq|cos<

2、;,>|（2）范圍：0，p二、導數及其應用1導數的概念（1）平均變化率：（2）瞬時變化率 ，當x無限趨近于0時，平均變化率就無限趨近于函數在x0點的瞬時變化率注意：當t0時，平均速度瞬時速度v，即瞬時速度是位移對于時間的瞬時變化率；當t0時，平均加速度瞬時加速度a，即瞬時加速度是速度對于時間的瞬時變化率（3）導數 當x0時，A，稱f (x)在xx0處可導，并稱常數A為函數f (x)在xx0處的導數，記作f (x0)或y|xx 若f (x)在開區間(a，b)內每一點都有導數， 則稱f (x)在區間(a，b)內可導，對任一個x0(a，b)都對應一個f (x0)，這樣構成(a，b)內一個新的函

3、數，稱為f (x)在(a，b)內的導函數，簡稱導數，記作f (x)或y2導數的幾何意義（1）函數yf (x)在點x0處的導數的幾何意義：曲線yf (x)在點P(x0，f (x0)處的切線的斜率，過切點的切線方程為yy0f (x0)(xx0)注意：“在某點的切線”和“過某點的切線”的含義不同，前者表示該點一定是切點（該點也一定在曲線上），而后者則未必（可能是切點也可能不是，可能在曲線上也可能不在）在曲線上的一點作曲線的切線，至多有一條（有可能不存在）；而曲線的切線與曲線的公共點可能不止一個（2）確定函數yf (x)在點xx0處導數的基本方法方法一：導數定義法 求函數的增量yf (x0x)f (x

4、0)； 求平均變化率； 令x0，得A，即f (x0)方法二：導函數的函數值法 求函數f (x)在開區間(a，b)內的導函數f (x)； 將x0(a，b)代入3導數的計算（1）四則運算f (x)±g (x)f (x)±g (x)Cf (x)Cf (x)，其中C為常數f (x)·g (x)f (x)·g (x)f (x)·g (x)（2）簡單初等函數的導數 C 0，C為常數； (xa)axa1，aQ 特別的，x 1，(x2)2x，(x3)3x2，()，()； (ax)ax lna（a0，且a1） 特別的，(ex)ex； (logax)logae（a

5、0，且a1） 特別的，(lnx)； (sinx)cosx，(cosx)sinx（3）復合函數的導數：yxyu· ux 一般按以下三個步驟進行：適當選定中間變量，正確分解復合關系； 分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）； 把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數。也就是說，首先，選定中間變量，分解復合關系，說明函數關系yf (u)，ug (x)（一般內層為一次函數）；然后將已知函數對中間變量求導（yu），中間變量對自變量求導（ux）；最后求yu· ux，并將中間變量代回為自變量的函數。整個過程可簡記為分解求導回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相

6、應地多次用中間變量。（4）可導的奇函數的導函數是偶函數；可導的偶函數的導函數是奇函數4函數的單調性與導數（1）若f (x)0，則f (x)為增函數；若f (x)0，則f (x)為減函數；若f (x)0恒成立，則f (x)為常數函數（類似有在某區間內的單調性判斷）注意：可導函數yf (x)在某個區間內f (x)0是函數f (x)在該區間上為增函數的充分條件（2）若函數yf (x)在區間(a，b)上單調遞增，則f (x)0，反之等號不成立（等號不恒成立時，反過來就成立）；若函數yf (x)在區間(a，b)上單調遞減，則f (x)0，反之等號不成立（等號不恒成立時，反過來就成立）。導數求單調性可用于

7、證明不等式（不等式一端化為0）5函數的極值與導數（1）設函數f (x)在點x0附近有定義，如果對x0附近所有的點，都有f (x)f (x0)，就說是f (x0)函數f (x)的一個極大值，記作y極大值f (x0)；如果對x0附近所有的點，都有f (x)f (x0)，就說是f (x0)函數f (x)的一個極小值，記作y極小值f (x0)。極大值和極小值統稱為極值，x0稱為極（大/小）值點。（2）求函數yf (x)在某個區間上的極值的步驟：列表！首先考慮定義域，求導數f (x)；求方程f (x)0的根x0；檢查f (x)在方程f (x)0的根的左右的符號：“左正右負”f (x)在x0處取極大值，“

8、左負右正”f (x)在x0處取極小值注意：導數為零的點未必是極值點！x0是極值點的充要條件是x0點兩側導數異號，而不僅是f (x0)0；f (x0)0是x0為極值點的必要而不充分條件6函數的最大、小值與導數（1）函數f (x)在一閉區間上的最大值是此函數在此區間上的極大值與其端點值中的“最大值”；函數f (x)在一閉區間上的最小值是此函數在此區間上的極小值與其端點值中的“最小值”（2）求函數yf (x)在a，b上的最大值與最小值的步驟：求函數yf (x)在(a，b)內的極值（極大值或極小值）；將yf (x)的各極值與f (a)，f (b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值注意：第

9、一步中其實不必求出極值，只要找到導數為零點處的函數值即可；閉區間上的連續函數必有最值（二）圓錐曲線與方程：1橢圓：1. 橢圓方程的第一定義：2. 橢圓的標準方程：i.中心在原點，焦點在x軸上：.ii. 中心在原點，焦點在軸上：. 一般方程：.頂點：或. 對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.焦點：或.焦距：.準線：或. 離心率：.3. 焦半徑：i. 設為橢圓上的一點，為左、右焦點，則由橢圓方程的第二定義可以推出：，ii.設為橢圓上的一點，為上、下焦點，則由橢圓方程的第二定義可以推出：，歸結起來為“左加右減”、“下加上減”.4. 通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經.坐標：和共離心率的橢圓系的方程：

10、橢圓的離心率是，方程的離心率也是 ，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.5. 若P是橢圓：上的點.為焦點，若，則的面積為（用余弦定理與可得）. 若是雙曲線，則面積為.2雙曲線：1. 雙曲線的第一定義：2. 雙曲線標準方程：. 一般方程：.i. 焦點在x軸上： 頂點：. 焦點：. 準線方程. 漸近線方程：或ii. 焦點在軸上：頂點：. 焦點：. 準線方程：.漸近線方程：或，軸為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. 離心率. 準線距（兩準線的距離）；通徑. 參數關系. 3. 焦半徑公式：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）“長加短減”原則： 構成滿足 （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號） 4. 等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.5. 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.6. 共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為,因此，如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.3拋物線：設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質：圖形焦點準線范