1、高中數學專題復習 -直線與圓的方程一、重點知識結構 本章以直線和圓為載體，揭示了解析幾何的基本概念和方法 直線的傾角、斜率的概念及公式、直線方程的五種形式是本章重點之一，點斜式又是其它形式的 基礎；兩條直線平行和垂直的充要條件、直線|1到|2的角以及兩直線的夾角、點到直線的距離公式也是重點內容；用不等式(組)表示平面區域和線性規劃作為新增內容，需要引起一定的注意； 曲線與方程的關系體現了坐標法的基本思想，是解決解析幾何兩個基本問題的依據； 圓的方程、直線(圓)與圓的位置關系、圓的切線問題和弦長問題等，因其易與平面幾何知識結 合，題目解法靈活，因而是一個不可忽視的要點二、高考要求1、掌握兩條直線

2、平行和垂直的條件，掌握兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據直 線的方程判斷兩條直線的位置關系；3、4、5、6、會用二元一次不等式表示平面區域；了解簡單的線性規劃問題，了解線性規劃的意義，并會簡單的應用； 了解解析幾何的基本思想，了解用坐標法研究幾何問題的方法； 掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念，理解圓的參數方程的概念三、熱點分析 在近幾年的高考試題中，兩點間的距離公式，中點坐標公式，直線方程的點斜式、斜率公式及兩條直線的位置關系是考查的熱點。但由于知識的相互滲透，綜合考查直線與圓錐曲線的關系一直是高 考命題的大熱門，應當引起特別注意，本章的線性規劃內容是新教材中增加的新

3、內容，在高考中極有 可能涉及，但難度不會大四、復習建議 本章的復習首先要注重基礎，對基本知識、基本題型要掌握好；求直線的方程主要用待定系數法，復習時應注意直線方程各種形式的適用條件；研究兩條直線的位置關系時，應特別注意斜率存在 和不存在的兩種情形；曲線與方程的關系體現了坐標法的基本思想，隨著高考對知識形成過程的考查 逐步加強，對坐標法的要求也進一步加強，因此必須透徹理解。既要掌握求曲線方程的常用方法和基 本步驟，又能根據方程討論曲線的性質；圓的方程、直線與圓的位置關系，圓的切線問題與弦長問題 都是高考中的熱點問題；求圓的方程或找圓心坐標和半徑的常用方法是待定系數法及配方法，應熟練 掌握，還應注

4、意恰當運用平面幾何知識以簡化計算直線例題】例1已知點B(1,4),C(16,2),點A在直線x 3y 30上，并且使S abc 21,求點A的坐標.例 2 已知直線 l 的方程為 3x 4y120,求直線li的方程，使得:(1) li與I平行,且過點(1,3);例 3 過原點的兩條直線把直線 2xli與I垂直,且li與兩軸圍成的三角形面積為4.3y 120在坐標軸間的線段分成三等分，求這二直線的夾角例4圓x2 y2 x 6y c 0與直線x 2y 3 0交于P,Q兩點，求 c為何值時，OP OQ（O為原點）.例5已知直線y 2x b與圓x22y 4x 2y 15 0相切,求b的值和切點的坐標.

5、(90°<< 180° )鏡框例6某校一年級為配合素質教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室，為節約經費，他們利用課桌 作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框對桌面的傾斜角為中,畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距am,bm（a > b）.問學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳?例7預算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子 希望使桌椅的總數盡可能的多，但椅子不少于桌子數，且不多于桌子數的1.5倍，問桌、椅各買多少才行？例8已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各 x千克，y千克,z千克配成100千

6、克混合食物，并使混合食物內至少含 56000單位維生素A和63000單位維生素B.甲乙丙維生素A （單位/千克）600700400維生素B （單位/千克）800400500成本（元/千克）1194（I）用x , y表示混合食物成本 c元；（n）確定x , y , z的值，使成本最低.【直線練習】一、選擇題1.設 M=icn,N102001 1斗，則M與N的大小關系為（2 0 2002 1A.M> NB.M=NC.MV ND.無法判斷2 .已知定點 A（1,1）, B（3,3），點P在x軸上,APB取得最大值,P點坐標為 （）2,0B.V6,0D.4,03 .圓 x2y2 x 0上的點到直

7、線x J3y0的最短距離為B.4 .如果AC<0且BC<0,那么直線 Ax By0,不通過（A .第一象限B.第二象限C.第三象限D第四象限5 .若點（4, m）到直線4x 3y 1的距離不大于3,則m的取值范圍是A. (0, 10)B.0,10D.,010,6 .原點關于直線8x6y 25的對稱點坐標為（A.2,|B.25 25"8石C (3, 4)D . (4, 3)7.如果直線y ax 2與直線y3x b關于直線y = x對稱，那么()B.a - ,b 6 C . a = 3, b = 2 D . a = 3, b = 6 38.如果直線l沿x軸負方向平移3個單位,

8、再沿y軸正方向平移1個單位,又回到原來的位置,那么直線I的斜率是B. 39 .設a、b、c分別是 ABC中，角A、B、C的對邊，則直線si nA- xay c 0與 bx sinB y sinC 0的位置關系是()A .平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直二、填空題10直線2x y 4 0上有一點P,它與兩定點A(4, 1), B(3,4)的距離之差最大.則P點坐標是11.自點A( 3,3)發出的光線I射到x軸上,被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2 y2 4x 4y 7 0相切，則光線I所在直線方程為12 .函數f (sin1)的最大值為cos2，最小值為13.設不等式2x 1 >

9、m(x21)對一切滿足|m|w 2的值均成立，則x的范圍為三、解答題14.已知過原點 0的一條直線與函數 y log8 x的圖象交于 A、B兩點，分別過點 A、B作y軸的平行線與函數y log2 x的圖象交于 C D兩點.(1)證明：點C、D和原點0在同一直線上；(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標.15 .設數列an的前n項和Snna n(n 1)b,(n 1,2, ),a, b是常數且b 0 .(1)證明：an是等差數列;(2)證明：以(an, 1)為坐標的點Pn(n=1,2，)都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程；n1設a=1,b=2,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r>

10、0)，求使得點P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍.例題參考答案例1解：直線BC方程為2x +5y 22 = 0,|BC|= 存，設點A坐標(3y 3, y)，則可求A到BC的距離為 |11y 281 , ABD面積為 21,a 1“9?|11y 281 21,7292J2970 亠 14 丄 一，177 70、f /75 14a y 77或 77，故點 A坐標為(廠，荷)或(77石).1111 11 11 11 11例2解： 由條件,可設I的方程為3x+4y+m=0,以x= 1, y=3代入,3+12+m=0,即得 m= 9, a 直線 | 的方程為 3x+4y 9=0 .由條件,可

11、設l的方程為4x- 3y+n=0,令y=0,得x專，令x=0，得y 3,于是由三角形面積1nnS -?2434 ,得 n2=96, a n46460 .a直線I的方程是4x 3y 460或4x 3y例3解：設直線2x+ 3y 12 = 0與兩坐標軸交于A, B兩點,則 A ( 0, 4),B (6, 0),設分點C, D，設COD為所求角. BC 'CAXcyc旦21 20 4 21 2又DDX0y00 2 61 2441 234，a D(4冷),a kOC4 .13,kOD 3a tg| kOCkOD |1 kockoD41331 4 13 39139arctg 13.例4解：解方程

12、組消x 得 5y2 20y + 12 + c = 0, y1 ? y21丄(12 c),51消 y得 5x2+ 10x + 4c 27 = 0, X1?X21(4c 27),5OP OQ,a 里？翌1,a4c 27，解得x1 X255例 5 解：把 y = 2x+ b 代入 X2+ y2 4x+ 2y 15 = 0, 整理得 5x2 4(b + 2)x + b2+ 2b 15 = 0,令 =0 得 b = 7 或 b =13, 方程有等根，X 迢S，得X = 2或X = 6,5代入 y = 2x 7 與 y = 2x+ 13 得 y = 3 或 y = 1,所求切點坐標為（2, - 3）或（6

13、, 1）.例6解：建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，0為下邊緣上的一點，在 x軸的正半軸上找一點 C（x,0）（x> 0）,欲使看畫的效果最佳，應使/ACB取得最大值.由三角函數的定義知:A、B兩點坐標分別為（acosa ,asin a卜(bcos a ,bsin a ),于是直線AC、BC的斜率分別為:kAC=tanxCA= asin aa cos a xkBCtan xCB bsin abcos a x于是 tanACB=JkBC1 k,kAC BC kAC(a b) xsin a2ab (a b)xcos a x(ab)sinaab,.、x(ab)cosax1

14、30(a b) sin a50x 20y 2000 為y xy 1.5xx 0,y0 A點的坐標為(竺750x20y2000y xx,解得20072007200)由 50x 20y 2000 解得 y 1.5xy2575"2" B點的坐標為(25 ,)2所以滿足約束條件的可行域是以A（型，型），B（25,75）,O（0,0）為頂點的三角形區域（如右圖）772由圖形直觀可知，目標函數zx y在可行域內的最優解為（25,75、*一)，但 X N,y N，故取 y=37.2由于/ ACB為銳角，且 x>0,則tanACBw一，當且僅當 =x,2Jab (a b) cos a

15、xJOb cm處時，視角最成立，此時/ ACB取最大值，對應的點為CUab ,0），因此，學生距離鏡框下緣 大，即看畫效果最佳.例7解：設桌椅分別買x,y張，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇.由題，c 11x 9y4z，又 x600x700y 400z56000800x400y 500z63000,5y450.所以，c400 7x(n)由例8解：（I）所以，7x5yz 100，所以,100 x y 得,c 400400450850,7x 5y .4x 6y3x y320當且僅當4X 6y 320即X 50時等號成立.3x y 130y 20所以，當x

16、=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低，為點評：本題為線性規劃問題，用解析幾何的觀點看，問題的解850 元.實際上是由四條直線所圍成的區域 y4x3x上使得6y 320y 130c 400 7x 5y最大的點.不難發現，應在點M (50,20)處取得.3x-y=130M4x+6y=320一、選擇題:ABACB DAAC【直線練習】參考答案1.解析：將問題轉化為比較A( 1, 1 )與B(102001, 102000)及C(10 2002, 102001 )連線的斜率大小，因1為B、C兩點的直線方程為 y= x,點A在直線的下方， kAB> kAC,即 M > N.

17、102 .解：P點即為過A、B兩點且與X軸相切的圓的切點，設圓方程為(X a)2 (y b)2 b2 (a 0,b 0)所以有(1(32 2a)(1 b)2 2a)(3 b)b2b2二、填空題:10.解析：找A關于I的對稱點B與直線I的交點即為所求的 P點.答案：P(5, 6).11.解析：光線I所在的直線與圓x2+y2 4x 4y+7=0關于x軸對稱的圓相切.答案：3x+4y 3=0 或 4x+3y+3=0"丄Lc sin 112.解析：f(B )=cos4表示兩點(cose ,sin e )與(2,1)連線的斜率.答案：一02313.解析：原不等式變為47 1f(2) <

18、0.答案:(x2 1)m+(1 2x)< 0,構造線段 f(m)=(x2 1)m+1 2x, 2< m< 2,則 f( 2)< 0,且 叵12三、解答題:14.(1)證明：設A、B的橫坐標分別為 X1、X2,由題設知 X1> 1,X2 > 1,點 A(x1,log8X1),B(x2,log8X2).因A、B在過點O的直線上，所以也1log8X2，又點 C、D 的坐標分別為(X1,log2X1)、(x2,log2X2).X2由于 log2X1=3log 8X1,log2X2=3log 8x2，貝UkOClog2 X13log8X1 k,kOD X1Xilog

19、2 X23log 8 X2X2X2由此得koc=koD,即0、C、D在同一直線上.解：由 BC 平行于 X 軸，有 log2X1=log8X2,又 log2X1=3log 8x1 X2=x13X2將其代入 log 8 X1log8 X2，得 x13log8X1=3x1log 8X1,X1由于 X1> 1 知 log8x1 0，故 X13=3X1X2= J3,于是 A( J3 , log3 ).15.(1)證明：由條件，得 ai=Si=a,當n >2時,有 an=Sn Sn-1= na+n(n 1)b (n- 1)a+(n 1)(n 2)b =a+2( n 1)b.因此，當 n &g

20、t;2 時，有 an an-1= : a+2(n 1)b: ： a+2(n 2)b: =2b.所以an是以a為首項，2b為公差的等差數列.已 1)(¥ 1)(2)證明： b豐0,對于n2,有 1ana1na n(n 1)ba (n 1)ba 2(n 1)b a 2(n 1)b1SPn(an,S 1)( n=1,2，)都落在通過 n1(x a),即卩 X 2y+a 2=0.21n 2a=1,b=-時，Pn的坐標為(n,2所有的點y-(a-1)=解：當(r1)2 r2r2(r1)2(r1)2 (r(r3)2 (r2)21)2r2r2即r25rr28rP1(a,a 1)且以一為斜率的直線上

21、21),使 P 1(1,0)、P2(2, -)> P3(3,1)都落在圓017410.此直線方程為C外的條件是由不等式，得由不等式，得r <由不等式，得r< 4J6或r>4+J6再注意到 r>0,1< - 72 < 4J6=5+J2 < 4+J62 2故使P1、R、P3都落在圓C外時，r的取值范圍是(0 , 1) U (1, - - J2) U (4+J6,+ 8).2高中數學專題復習【例題】1例1設正方形ABCD的外接圓方程為 X2+y2 -6X+a=0(a<9),C、D點所在直線I的斜率為-,求外接圓圓3心M點的坐標及正方形對角線 AC

22、、BD的斜率.例2設圓G的方程為(X 2)2 (y 3m 2)2 4m2，直線I的方程為y x m 2 .(1 )求Ci關于I對稱的圓C2的方程;例3已知圓(2)當m變化且m 0時,求證：c2的圓心在一條定直線上,并求C2所表示的一系列圓的公切線方程.C: X2 y2 2X 4y 4 0，是否存在斜率為 1的直線I，使I被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點,若存在求出直線 I的方程，若不存在說明理由.例4已知點擇A或B地購買這種商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低求A、B兩地的售貨區域的分界線X|JS1 JS2TnXn(2)設0 Pn的面積為Sn , Tnjsn，求證:例8已知圓C :X2C

23、1 , C2 ,C3, rn ; (2)證明：兩個相鄰圓,Cn ,使圓(yCn1)21 和圓 C1 : (X1同時與Cn和圓C都相切2 .(y 1)1 ,現在構造一系列的圓Cn2)2,并都與OX軸相切.回答：(1)求圓1和Cn在切點間的公切線長為2 ； (3)求和Iim (C2Cn的半徑CnA( 2, 1)和B(2 , 3)，圓C: X2+ y2 = m2，當圓C與線段AB沒有公共點時，求m的取值范圍.例5已知O M : X2 (y 2) 21,Q是x軸上的動點，QA , QB分別切O M于A , B兩點.(1)如果| AB |創2，求直線MQ的方程；(2)求動弦AB的中點P的軌跡方程.3例6

24、有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價格相同，某地居民從兩地之一購得【圓練習】1、直線X Tsy 0繞原點按順時針方向旋轉30°所得直線與圓(X 2)2y2 3的位置關系是商品后回運的運費是：每單位距離A地的運費是B地運費的3倍，已知A、B兩地相距10km，居民選(A)直線與圓相切(B)直線與圓相交但不過圓心(C)直線與圓相離(D)直線過圓心2、點M x0,如是圓x2 y2 a2 a 0內不為圓心的一點，則直線X0X y0y a2與該圓的位置關系是A .相切B.相交C.相離D .相切或相交3、直線ax by c Oab 0截圓x2 y2 5所得弦長等于4,則以|a|、|b|、|c|

25、為邊長確定的曰 定是(A)直角三角形(B)銳角三角形(C)鈍角三角形(D)不存在4、已知兩點A(- 2,0),B(0,2),點C是圓x2+y2 -2x=0上的任意一點，則 ABC面積的最小值是(B) 3 72(C)(A)3 血3罷(D)十5、已知集合P(x, y) y 25 x2,x、yR 及 Q(x,y)|y x b, x、y R,若 P Q ，則實數取值范圍是 (A) -5,5(B) ( 5盪,5)(C)5*邁,5(D) 5渥臥6、若曲線 x2+y2+a2x=(1 -a2)y-4=O 關于直線y-x=0的對稱曲線仍是其本身，則實數 a=().(A) 1(B)2(C) - 或7、若圓(x 1

26、)2 (y 1)2R2上有且僅有兩個點到直線4x+3y=11的距離為1,則R的取值范圍為().(A) R>1( B) R<3(C) 1<R<3(D) RM 228、已知圓 G：(x 2)2 (y1)2 1(與圓C2：(x 6)2 (y 3)250交于 A、B兩點，則AB所在的直線方程是例1解：由(x -3)2+y2=9 a(a<9)可知圓心M的坐標為(3,0)9、直線y x 1上的點到圓x2 y2 4x 2y 4 0的最近距離是_10、已知圓的方程是 x2+ y2= 1，則在y軸上截距為J2的切線方程為_ 11、過P ( 2, 4)及Q (3, 1)兩點，且在 X

27、軸上截得的弦長為 6的圓方程是_ 12、半徑為5的圓過點A( 2, 6),且以M(5, 4)為中點的弦長為 2恵，求此圓的方程.圓心為 P,若 APB 90 求m的值.2 213、已知圓x y 4x 2y m 0與y軸交于A、B兩點,14、已知定點 A(2,0) , P點在圓x2 y21上運動,AOP的平分線交PA于Q點，其中0為坐標原點，求Q點的軌跡方程.例題參考答案:1 依題意：ABM BAM -,kAB -43MA,MB的斜率k滿足:例2解：(1 )圓Ci的圓心為Ci1 解得:kAC=(-2, 3m+2),kBD 2，設Ci關于直線I對稱點為C2 (a, b)b 3m 21則 a 23m

28、 2 b a 2 m 2解得：ab2m 1m 1圓C2的方程為(X2m 1)2(y2 2m 1) 4m由ab2m1消去 m得a 2b+1=01即圓C2的圓心在定直線 X-2y+1=0上。設直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，則|k(2m 1) (m 1) b|2 同J1 k2即(4k 3)m2 2(2k 1)(k b 1)m (k b 1)2 0直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，所以上述方程對所有的m值都成立，所以有：4k 3 02(2k 1)(k b 1) 0解之得:(k b 1)203474所以C2所表示的一系列圓的公切線方程為:例3解：圓C化成標準方程為(x 1)2 (y 2)

29、 232假設存在以AB為直徑的圓 M,圓心M的坐標為(a,由于 CM 丄 I , kcM ki= 1 kCM詈1，即 a+b+1=0，得 b= a 1 直線I的方程為y b=x a,即 X y+b a=0CM=V2以AB為直徑的圓M過原點， ma |MB|2(b a 3)a2b2.9 (b a3)2 a22b2把代入得2a2a 2,時b52此時直線的方程為X y 4=0;當a 1,時b0此時直線I的方程為X y+1=0故這樣的直線I是存在的，方程為 X y 4=0或X y+1=0例4解：過點A、B的直線方程為在I: X y+ 1 = 0,作OP垂直AB于點P,連結OB.由圖象得：|m|v OP

30、或|m| > OB時，線段AB與圓x2+ y2 = m2無交點.(I)當|m|v OP時，由點到直線的距離公式得:|m|曇|m| T，即罟(II )當 im > OB 時,|m| J32 22 |m| 屆,辰與m圓x2+ y2 = m2與線段AB無交點.例5解：(1)連接MB ,MQ，設P(X, y), Q(a,0),2 c2故a 或a 75，所以直線AB方程是可得 |MP| J|MA|2 (罟)2 J12 (乎)2 3, 由射影定理，得 |MB|2 | MP | | MQ |,得|MQ| 3,在 Rt MOQ 中, |OQ| J|MQ|2 |MO |2 V'32 22 7

31、5 ,2x V5y 2J50或 2x v'5y 2 角 0;（2）由點M , P, Q在一直線上, 得 _L y 2a X 由射影定理得I MB |2 I MP I |MQ |,即護2 (y 2)2 Ja241,(*)把（*）代入（*）消去a,并注意到y 2，可得x2 (y y116(y2).例6解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系,則 A (- 5, 0), B (5, 0).設某地P的坐標為（x, y）,且P地居民選擇A地購買商品的費用較低，并設A地的運費為3a元111/km，貝U B地運費為a元/km.由于P地居民購買商品的總費用滿足條件：價格+A地運費W價格+B地運費，即 3aJ(x 5)2 y2aj(x 5)2 y2，整理得(x 爭2y2厝)2.所以，以點C（ 25,0）為圓心，15為半徑的圓就是兩地居民購貨的分界線44圓內的居民從A地購貨費用較低;圓外的居民從B地購貨費用較低;圓上的居民從A、B兩地購貨的總費用相等，因此可以隨意從A、B兩地之一購貨.例7解：（1）依題意, 2 OPn 的半徑 rnynXn ,O Pn與O Pn 1彼此外切,rnrn 1 ,J(XnXn 1)2 (yn yn 1)2 Yn yn 1,兩邊平方，化簡得（XnXn 1)224yn yn 1 ,即(XnXn