1、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編（附詳解）課時(shí)跟蹤檢測（二十二）正弦定理和余弦定理一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1.（優(yōu)質(zhì)試題南京、鹽城一模）在 ABC中，設(shè)a，b, c分別為n3角 A, B, C 的對邊，若 a = 5, A=n, cosB=5, c=解析：因?yàn)閏osB = |,所以b/o, n 從而sin B=5,所以sin C=sin(A + B) = sin AcosB + cosAsin B=¥x 魯+乎乂4=又由正,解得c= 7.弦定理得蟲=答案：72.在 ABC中，若cOsB,則角B的大小為解析：由正弦定理知：linAHnB,所以sin B = cosB,所以B=45

2、°答案：45°3.在 ABC中，a, b, c分別是內(nèi)角A, B, C的對邊.若bsinA= 3csin B, a = 3, cosB=3,貝J b=解析：bsin A= 3csin B? ab= 3bC? a= 3c? c= 1,所以 b? = a? + c? 2accosB= 9+1 2 x 3 x 1 x 3= 6, b= f6答案：4.在 ABC中，AB= 3, BC=伍，AC= 4,則邊 AC上的高為.AB2 + AC2- BC21解析：由題意得cosA =2AB AC= 2,所以sin A=2 ,所以邊AC上的高h(yuǎn) = ABsin A=宇.答案：爭5.在 ABC

3、中，角A, B, C所對的邊分別是a, b, c,若b=2asin B,則角A的大小為.解析：由正弦定理得sin B= 2sin Asin B,因?yàn)閟in Bm0,所以1sin A=2，所以 A= 30° 或 150° .答案：30°或150°6.（優(yōu)質(zhì)試題 蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)）若一個(gè)鈍角三角形的三內(nèi)角成等差 數(shù)列，且最大邊與最小邊之比為 m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是解析：由三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，得中間角為60° .設(shè)最小角為a則最大角為120° 一 a其中0° < a<30° .由正弦定理得m嚕二當(dāng)盤+泮

4、卜2.答案：（2,+ ）二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1在 ABC 中，2acos A+ bcos C+ ccos B= 0,則角 A 的大小a2 + b2 - c2a2+ c2-b2解析：由余弦定理得 2acos A+ b 2 + c 20 = 0,即 2acosA+ a = 0,1所以 cosA= 2, A= 120° .答案：120°2.（優(yōu)質(zhì)試題 海門中學(xué)檢測）在ABC中，內(nèi)角A, B, C的對 邊分別為a, b, c,且a2 + b2 c2 = ab/3,則厶ABC的面積為解析：依題意得cosC = a2_=2,即C= 60° ,因此MBC 的面積等于

5、2absin C = 2x73x¥ = 4.答案：33.在 ABC中，已知b= 40, c= 20, C= 60° 則此三角形的 解的情況是b c解析：由正弦定理得sin=贏,bsin C40 導(dǎo)所以 sin B= c = 20 = 73>1所以角B不存在，即滿足條件的三角形不存在.答案：無解4.已知a, b, c分別為 ABC三個(gè)內(nèi)角A, B, C的對邊，且(bc)(sin B + sin C)= (a73c)sin A,則角 B 的大小為.a b c解析：由正弦定理 而=麗=snC及(bc) (sin B+sin C)= (a/3c)sin A得(b c)(b +

6、 c)= (a逅c)a,即 b2 c2= a2V3ac, 所r r r la cosC= 4, 3sin A= 2sin B,則 + c' b'血以 a2+ c2 b2=3ac,又因?yàn)?cos B =2ac，所以 cos B=專,所以B = 30° .答案：30°5.已知 ABC中，內(nèi)角A，B, C所對邊長分別為a，b, c,若A=n, b= 2acosB, c= 1,則 ABC 的面積等于解析：由正弦定理得sin B= 2sin AcosB,故 tan B = 2sin A= 25耐=/3，又 Bqo, n,所以 B=才故A= B = n則ABC是正三角形

7、,所以 SKBc = bcsin A=1 x 1 x 爭=甲.答案：申46.設(shè) ABC的內(nèi)角A, B,C的對邊分別為a, b, c,且a = 2,c=解析：因?yàn)?3sin A= 2sin B,所以3a= 2b.又a= 2,所以b= 3.由余弦定理可知 c = a + b 2abcosC,(1、所以 c2 = 22 + 32 - 2 x 2 x 3x 16所以c= 4.答案：47.（優(yōu)質(zhì)試題 鹽城三模）在 ABC中，角A, B, C所對的邊分1別為a, b, 5若ABC為銳角三角形，且滿足b2 a2= ac,則 一-tan A1tanB的取值范圍是5 匚 411 cosA cosB解析：法一：t

8、an A tan B= sin A sin Bsin Asin Bsin BcosA cosBsin A siB A) sin Asin B，由 b2 a2= ac 得，b2 = a2 + ac= a2 + c2 2accosB,即 a= c 2acosB，也就是 sin A= sin C 2sin AcosB,即 sin A=sin(A + B) 2sin AcosB = sin(B A),由于 ABC為銳角三角形,所以有A= B A,g卩B = 2A,111故tan A tan B= sin B，在銳角三角形ABC 中,易知 n<B<n，冬sin B<1,tan A ta

9、n B，瞬法二：根據(jù)題意，作CDlAB，垂足為D,畫出示意圖如圖.因?yàn)?b2 a2= AD2 BD2 = (AD + BD)(AD BD) = c(AD BD)=c aac,所以 AD BD = a,而 AD + BD = c,所以 BD =，貝Sd>a,即a>1，在銳角三角形ABC中有b2+ a2>c2,則a2 + a2+ ac>c2, accc11 AD BDa2<0,解得i<a<2，因此 i<a<2.而耐tanB=cd-a2a? rc a 27T丿<1,晉答案：（1,警V. 3丿8.（優(yōu)質(zhì)試題云南統(tǒng)檢）在 ABC中，內(nèi)角A, B

10、, C所對的邊分別為4a, b, c,如果 ABC的面積等于8, a= 5, tan B= 3 那a+ b+ csin A+ sin B + sin C4解析：因?yàn)閠an B= 3431所以 sin B = 5， cosB= 5，又 Saabc=2acsin B = 2c= 8,所以 c=4,所以 b=pa2 + c2 2accosB=/65,a+b+cb565所以sin A+ sinB + sin C =麗=4 -答案：普549.（優(yōu)質(zhì)試題 常州調(diào)研）在 ABC中，角A, B, C的對邊分別是 a, b, c,已知（a 3b）cosC= c（3cosB cosA）.A),求黑的值;若c=7a

11、，求角C的大小.解：(1)由正弦定理得，(sin A 3sin B)cosC= sin C(3cosB cos所以 sin AcosC + cosAsin C = 3sin CcosB + 3cosCsin B,即 sin(A + C) = 3sin(C + B),即 sin B= 3sin A,所以詈1= 3.由(1)知 b= 3a,因?yàn)?c=J7aa2+ b2 c2 a2 + 9a2 7a2 3a21所以 cosC=2ab = 2X ax 3a = 6? = 2,n因?yàn)閏qo, n,所以C=n10.在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c,面積為S,已知 2aco2 + 2

12、80誇=2b.(1)求證：2(a + c) = 3b;1若 cosB=-, S=Vi5，求 b.5解：(1)證明：由條件得 a(1 + cosC) + c(1 + cosA) = 2b,3由于 acosC+ ccosA= b, 所以 a + c= 2b,即 2(a + c)= 3b.在ABC中，因?yàn)閏osB= 4,所以sin B="£由 S= 2acsin B=8/T5ac=/T5,得 ac= 8,又 b2 = a2+ C2 2accosB= (a+ c)2 2ac(1 + cosB),2(a + c)= 3b,5b2/ 1、所以才=16x1 + 4，所以b= 4.三上臺階

13、，自主選做志在沖刺名校1.(優(yōu)質(zhì)試題致遠(yuǎn)中學(xué)檢測)已知在 ABC中，內(nèi)角A, B, C 所對的邊分別是 a, b, c,若 sin(B A) + sin(B + A) = 3sin 2A,且 c=羽，C = n，則 ABC的面積是解析：由 sin(B A)+ sin(B + A)= 3sin 2A,得 2sin BcosA= 6sinAcosA，所以 cosA= 0 或 sinB= 3sin A.若 cosA=0,則 A=n 在 Rt ABC 中，C = n,所以 b= ta： c=遵1,此時(shí) ABC 的面積 S=2bc= x 3 x/71若 sin B= 3sin A,即 b= 3a,由余弦定理得 7 = a2+ 9a2 2 a 3a ,113得 a= 1,所以 b= 3,此時(shí) ABC 的面積 S= absin C=1 x 3x ?答案：晳或72.（優(yōu)質(zhì)試題 蘇州一模）如圖所示，在四邊形ABCD中，/ D = 2./3/ B, 且 AD = 1, CD = 3, cos/ B = *（1）求 ACD的面積；若BC= 23,求AB的長.解：因?yàn)?D = 2/3, cosZB =普,1所以 cosdD = cos 2/B= 2coSB 1 = 3.因?yàn)?D qO, n,所以 sin