1、第四章金屬自由電子理論1金屬自由電子論作了哪些假設？得到了哪些結果？解：金屬自由論假設金屬中的價電子在一個平均勢場中彼此獨立，如同理想氣體中的 粒子一樣是“自由”的，每個電子的運動由薛定諤方程來描述；電子滿足泡利不相容原理， 因此，電子不服從經典統計而服從量子的費米-狄拉克統計。根據這個理論，不僅導出了魏德曼-佛蘭茲定律，而且而得出電子氣對晶體比熱容的貢獻是很小的。2金屬自由電子論在 k空間的等能面和費米面是何形狀？費米能量與哪些因素有關？解：金屬自由電子論在 k空間的等能面和費米面都是球形。費米能量與電子密度和溫 度有關。3在低溫度下電子比熱容比經典理論給出的結果小得多，為什么？解：因為在低

2、溫時，大多數電子的能量遠低于費米能，由于受泡利原理的限制基本上 不能參與熱激發，而只有在費米面附近的電子才能被激發從而對比熱容有貢獻。 4馳豫時間的物理意義是什么？它與哪些因素有關？解：馳豫時間的物理意義是指電子在兩次碰撞之間的平均自由時間，它的引入是用來 描寫晶格對電子漂移運動的阻礙能力的。馳豫時間的大小與溫度、電子質量、電子濃度、子所帶電量及金屬的電導率有關。5當2塊金屬接觸時，為什么會產生接觸電勢差？解：由于2塊金屬中的電子氣系統的費米能級高低不同而使熱電子發射的逸出功不同， 所以這2塊金屬接觸時，會產生接觸電勢差。6. 已知一維金屬晶體共含有 N個電子，晶體的長度為 L ,設T =0K

3、。試求：（1）電子的狀態密度；（2）電子的費米能級； （3 ）晶體電子的平均能量。解：（1）該一維金屬晶體的電子狀態密度為：(1)dZ=dZ dk dE dk dE考慮在k空間中，在半徑為 k和k +dk的兩線段之間所含的狀態數為：dZ且dk也k兀又由于所以E旦2mdE _ 舟2kdk m2個自旋相反的電子，得該E的能級被電將（2）和（3）式代入（1）式，并考慮到每個狀態可容納 一維金屬晶體中自由電子的狀態密度為：（2）由于電子是費米子，服從費米一狄拉克統計，即在平衡時, 子占據的幾率為：1FKbT"f(E)=pe于是，系統中的電子總數可表示為：cN = Jf (E)P(E)dEE&

4、lt;eF，有 f(E)=1，故(6)0由于T =0K，所以當E >eF，有f(E) =0，而當 式可簡化為:eFN = JP(E)dE00書=能由此可得:eF_ N2宀28mL2(7)(3)在T =0K時，晶體電子的平均能量為:百=+JEf(E )P (E)dE =N 0E0I 丄Fe2L帀 N 0MY2EdEN2；!2 護24 mL24eF7. 限制在邊長為L的正方形中的N個自由電子，電子的能量為h2EgkyW-k+Y)。試求：(1)能量EE +dE之間的狀態數；(2 )此二維系統在絕對零度的費米能量；(3) 電子的平均能量。解：(1) K空間中，在半徑為 k和k + dk的兩圓面之

5、間所含的狀態數為遼=厶2冗kdk丄kdk4兀2兀這也就是能量在 EE + dE之間的狀態數，由電子的能量表達式可得，“ 2mE 2m 1mkdk珂彳百走dE-dE將(2)式代入(1)式，并考慮到每個狀態可容納 2個自旋相反的電子，這樣可得能量在EE+dE之間的狀態數為dZ=2加mL2mL；dE 亍 dE(2)由(1問可知，該系統的自由電子的狀態密度為mL2兀護在絕對零度下，由下式eFN = JP (E)dEE0. 2mL dE0朋2mL2 E0 七F兀卉2由此可得此二維系統在絕對零度的費米能量為eFN川2mL2(3)電子的平均能量為eF 1E0uEp(E)dEE 0FmL20 m2 EdE1

6、mL2 1 (N 兀舟2( )N M2 2 mL2W 10=_ Ef2mL228金屬鋰是體心立方晶格，晶格常數為a=3.5x100m 。試計算絕對零度時電子氣的費米能量E F (以eV表示)解：由題意可求得金屬鋰的電子濃度為_ 2(3.10"0)3=4.66"028 /m3故絕對零度時金屬鋰的電子氣的費米能量為eFh2=(3n兀 2)32m(1.0510)22“.仆0八34.66"028 7142)3= 7.57X1049j=4.72eV9在低溫下金屬鉀的摩爾比熱容的實驗結果可寫成Cv = (2.08T +2.57T3) mJ/(mol、K)若1mol的鉀有N =

7、6天1023個電子，試求鉀的費米溫度Tf和德拜溫度0D 。解：根據金屬自由電子氣模型，低溫下金屬的總比摩爾熱容為:QCv =Cve +Cvc =訂 +bT上式中, _N2kB b J2;i4N0kB2EF，所以有:故:又由N0兀 kB =2.08咒10'127i4N0kB2EF= 2.57x10eF2 2N。兀 kB6X10232x2.08x102232心14 F.如10)=2.708咒109j34.16x100 0kBTF =Ef 得Tf192.708x101.38咒 10-"962W4k#12x3.144 x6x1023 x1.38x10掃5x2.57x10= 90.9K

8、10試比較1mol金屬鈉在30K和0.3K時的德拜比熱容，并與電子比熱容比較。已知鈉的德 拜溫度0D =150K，鈉的費米能級 eF =3.23eV。解：在30K時，1mol金屬鈉的德拜比熱容為CVc =T、3NkB)° D2123 1423_2330 3X6.02X10 x1.38X10 x() 150=1.57J/K而其電子比熱容為CVe=2NkB(kBTeF)3.14223 一 必 一 1.38% 10 X 30、".02咒10 X1.38X10 x()3.23X1.6X10= 0.0328 J/K所以德拜比熱容與電子比熱容之比為CVc遲=47.9cVe0.0328在

9、0.3K時1mol金屬鈉的德拜比熱容為12fG)3212咒3.14 c cc /ic23 cc A -23 , 0.3 3X6.02X10 x1.38x10x()150= 1.57 咒10'J/K而其電子比熱容為兀2kBTCVe = NkB (言)2_23=乎遜2"3 2X10323)4= 3.28x10 J/K所以德拜比熱容與電子比熱容之比為11.有一鎢絲，長0.05m,橫截面積的直徑為 1X 10-4m。試求2000K時鎢絲的熱電子發射電流。 已知鎢的電子逸出功為4.5eV。解：由里查孫-杜師曼定律可知鎢絲的熱電子發射電流密度為j -ATWkBT)=75 咒 104 天2

10、000電".629/(1.382曲0)=14.05A/m 2故熱電子發射電流為,jS=14.05TWL1.103"0JI 2 丿12.室溫下利用光電效應已測得銀及銫的光電效應閥值分別為4.8eV和1.8eV。求:(1) 采用里查孫-杜師曼公式分別估算銀及銫在室溫下的熱電子發射電流密度；(2) 若溫度上升至800K時，其熱電子發射電流密度為多少？(3) 若把銀與銫兩種金屬接觸在一起，求出室溫下它們的接觸電勢差。解：(1)在室溫下銀的熱電子發射電流密度為j =AAgT2eFkBT)=1 2106 X 2982 0鼻.8荷.6為0心.38芮0乙述98) = 8.36咒滬 A/m2

11、在室溫下銫的熱電子發射電流密度為j -AChe址/(kBT)= 1.6>d06 x 2982e 丄嘆.6 閡0%.38 閡o"3 疥8)= 5.47x10 A/m 2(2)在800K時銀的熱電子發射電流密度為j "AgTJAgg)= 1.2 咒 106 咒 8002/嘆6>104(1.38>10600) = 4.72 咒10二9 A/m 2在800K時銫的熱電子發射電流密度為j -AcsT2。址 w)= 1.6xi0.8002e.嘆6 為0%.38000)= 4.80 A/m 2(3)若把銀與銫兩種金屬接觸在一起，它們的接觸電勢差為Vd =-(WAg -Wes) =3V e13利用電子漂移速度 v的方程m (罟心一 eEdt T證明在頻率©下的電導率為1 +iCT如 etW。2其中 CT(0)= ne T /m0。解：設電場為E = E0ey，則有磴滬eE。嚴dvVeEo+ = edtTm齊次方程dv + V = 0的通解為dt T設非齊次方程的特解為 v =Ae呦，則有_i國Ae曲 Ae =-更eTm從上式可求出特解的待定系數A為T(1 一聞)故非齊次方程的