1、課題函數(shù)與方程的思想考點(diǎn)透析在近幾年的高考中，函數(shù)的思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等，方程觀點(diǎn)主要用于下面四個(gè)層次： 解方程； 含參數(shù)的方程的討論； 轉(zhuǎn)化為對方程的研究； 構(gòu)造方程求解知識整合 函數(shù)與方程是密切相關(guān)的，函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，例如求函數(shù)的值域，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，如解方程f ( x)0 就是求函數(shù)yf (x) 的零點(diǎn) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)yf ( x) ，當(dāng) y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f ( x)0 ，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式 數(shù)列的通項(xiàng)與前 n 項(xiàng)的和都是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去

2、處理數(shù)列問題非常重要 解析幾何的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，往往涉及到二次方程于二次函數(shù)的有關(guān)理論 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式加以解決 函數(shù) f (x)(axb) n ( nN ) 與二項(xiàng)式定理密切相關(guān)，運(yùn)用這個(gè)函數(shù)， 用賦值法和比較系數(shù)的方法可以解決很多有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題考點(diǎn)自測1.（ 2011 通州中學(xué)摸底） 設(shè)直線ax by c0的傾斜角為，且 sincos0 ，則 a,b滿足的關(guān)系式為 _.2（ 2009 江蘇調(diào)研） 已知命題 “在等差數(shù)列a中，若 3a3a9a()30，則 S1378 ”n為真命題，由于印刷問題，括號

3、內(nèi)的數(shù)模糊不清，可以推得其中的數(shù)為.3（ 2011 如東文科月考）若an 是等差數(shù)列，首項(xiàng)a0 aa0aa0，1,20032004,2003 . 2004則使前 n 項(xiàng)和 Sn0 成立的最大自然數(shù) n 是 _.4設(shè)函數(shù)f()x(x)，區(qū)間M a,b ( ab)，集合N y yf (x), xM ，x1xR則使 M N 成立的實(shí)數(shù)對(a,b) 的個(gè)數(shù)是 _.典型例題高考熱點(diǎn)一：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決函數(shù)、方程、不等式問題x 3例 1（ 2010 蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考）已知函數(shù)f (x)log mx 3(0 m 1) ，（1）若函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?, (0), 判斷 f (x) 在定義域

4、上的單調(diào)性，并說明理由；1（2）是否存在實(shí)數(shù)m,使 f ( x) 在定義域 , 上的值域?yàn)?1log m (1),1log m (1) .若存在 , 求出實(shí)數(shù) m的范圍 ; 若不存在 , 說明理由【分析】 在涉及函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)問題中，比較常見的是二次函數(shù)問題、一元二次方程及一元二次不等式問題，這些問題往往可以相互轉(zhuǎn)化。高考熱點(diǎn)二：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問題例 2（ 2011 如皋中學(xué)文科月考）已知等差數(shù)列xn ， Sn 是 xn 的前 n 項(xiàng)和，且x35, S5x534 （1）求 xn的通項(xiàng)公式；（2）判別方程 sin 2xn xncosxn 1Sn 是否有解，說明理由；n（3）設(shè) a

5、n1， Tn 是 an 的前 n 項(xiàng)和，是否存在正數(shù)，對任意正整數(shù)n,k ，3使 Tnxk22 恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由【分析】可以利用函數(shù)的方法來探討數(shù)列的最值、單調(diào)性、周期性等性質(zhì)高考熱點(diǎn)三：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決解析幾何問題例3：（ 2010通州市考前練習(xí)）設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x 軸上，離心率 e3，2已知點(diǎn) P(0, 3 ) 到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7 ，求這個(gè)橢圓的方程，并求這個(gè)橢2圓上到點(diǎn) P的距離等于7 的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題應(yīng)建立目標(biāo)函數(shù)把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值高考熱點(diǎn)四 :運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決立體幾何問題例 4：（江蘇 2006 ）請

6、您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。 它下部的形狀是高為 1m的正六棱柱， 上部的形狀是側(cè)棱長為 3m 的正六棱錐（如右圖所示） 。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) O 到底面中心 O1 的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？【分析】立體幾何中的“運(yùn)動(dòng)”問題，“最值”問題常常可借助函數(shù)思想來解決，建立目標(biāo)函數(shù)以后，運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)知識解決問題。高考熱點(diǎn)五：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決實(shí)際問題例 5：（ 2009·通州第四次調(diào)研）某廠家擬在2009 年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷 售量（即 該廠的年產(chǎn)量） x 萬件 與年促銷費(fèi)用m(m 0) 萬元滿 足 x 3km 1(k 為常數(shù) ) ，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量

7、是1 萬件 . 已知 2009 年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為 8 萬元，每生產(chǎn)1 萬件該產(chǎn)品需要再投入16 萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5 倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資2金，不包括促銷費(fèi)用）.（ 1）將 2009 年該產(chǎn)品的利潤y 萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；（ 2）該廠家 2009 年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？【分析】 將實(shí)際問題經(jīng)過抽象變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，然后建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，最后運(yùn)用函數(shù)與方程的思想是解決實(shí)際問題的一般步驟誤區(qū)分析f ( x) 是定義在 R 上的以 3 為周期的奇函數(shù)，f (2)0 ，則函數(shù) yf (x) 在區(qū)

8、間 ( 1,4)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值為_.試分析下面解答錯(cuò)在哪里？解：容易求得f (0)f (1)f (3)f (2)0 故答案為 4.隨堂練習(xí)1把正方形ABCD 沿對角線 AC 折起，當(dāng) A 、 B、 C 、 D 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線 BD 與平面 ABC 所成的角的大小為 _.2定義在 (,) 上的奇函數(shù)f ( x) 和偶函數(shù) g( x) 在區(qū)間 (,0 上的圖像關(guān)于x 軸對稱，且 f ( x) 為增函數(shù)，則下列各選項(xiàng)中能使不等式f (b)f ( a) g( a)g(b) 成立的是_.3 ABC 中 ,a 、b 、c 分別為A 、 B 、 C 的對邊 . 如果 a 、b 、c

9、 成等差數(shù)列，B 30o , ABC 的面積為 3 ，那么 b _.24兩個(gè)正數(shù) a 、 b 的等差中項(xiàng)是5，等比中項(xiàng)是 4.若 a b ，則雙曲線 x2y 21的離心率abe 等于 _.5. 設(shè)不等式 2x1m( x2 1) 對滿足 m 2 的一切實(shí)數(shù) m 的取值都成立， 求 x 的取值范圍6.(2007山東 )已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓 C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為 1（）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線 l : ykxm 與橢圓 C 相交于 A ， B 兩點(diǎn)（ A， B 不是左右頂點(diǎn)） ，且以 AB為直徑的圓過橢圓C 的右頂點(diǎn)，求證：直線l

10、過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)學(xué)力測評1若 ( x12)n 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20，則自然數(shù)n .x2 x0 是關(guān)于方程a xlog a x (0a1) 的解，則 x0 ,1,a 這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是.3天文臺用3.2 萬元買一臺觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n 天的維修保養(yǎng)費(fèi)為n49 元（ n N* ），使用它直至報(bào)廢最合算（所謂報(bào)廢最合算是指使用的這10臺儀器的平均耗資最少）為止，一共使用了天 .4. 如果方程 cos2 xsin xa0 在0,上有解 , 則 a 的取值范圍是.235. 若函數(shù)f ( x)2x2 2ax a 1 的定義域?yàn)?R , 則 a 的取值范圍是.6

11、. 雙曲線x2y21 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1 、 F2 ，點(diǎn) P 在雙曲線上，若 PF1PF2 ，則點(diǎn) P 到 x916軸的距離為.7. 設(shè) f(x) 是定義在 R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x 0 時(shí)， f ( x)x2 ，若對任意的 xt, t 2 ，不等式f ( x t ) 2 f (x) 恒成立，則實(shí)數(shù)t 的取值范圍是.8已知矩形 ABCD 的邊 ABa, BC2,PA平面 ABCD,PA2, 現(xiàn)有以下五個(gè)數(shù)據(jù)：( 1 ) a1(3 ) a3 ;( 4 ) a 2 ; ( 5 ) a4 ,當(dāng)在 BC 邊上存在點(diǎn) Q ，; ( 2 ) a 1;2使 PQQD 時(shí)，則 a 可以取.（填上一個(gè)正確的數(shù)據(jù)序號

12、即可）9.求函數(shù) f ( x) ln(1x)1x2 在0 ，2上的最大值和最小值 .410.設(shè) f ( x)3ax 22bxc , 若 abc0f (0) 0, f (1)0,求證： a 0 且 -2 a -1；b 方程 f(x)=0 在（ 0， 1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根11三棱錐 SABC , SAx ，其余的所有棱長均為1 它的體積為 V。 求 vf ( x) 的表達(dá)式，并求此函數(shù)的定義域； 當(dāng) x 為何值時(shí)， V 有最大值？并求此最大值 .12. 已知函數(shù) Sn1 111 ( n N ) , 設(shè) f ( n)S2n 1Sn 1 , 試確定實(shí)數(shù)m 的值 ,23n11 log (m 1) m1 的正

13、整數(shù) n , 不等式 f (n) logm ( m22使得對于一切大于1)恒成立 .20參考答案第 23 講 函數(shù)與方程的思想考點(diǎn)自測1 ab0 2. 17 3. 4006 4.0典型例題例 1解 : （ 1） Q x 30,x 3或x 3 .x3又 f ( x) 定義域?yàn)?,(0) ，3.設(shè)x1x2,由于 x13 x236( x1 x2 )0，x13 x23(x1 3)( x23)4x13x23x13x23，03x23. 又 0 m 1, log m3log m3x1x1x2所以 f ( x) 在定義域上為減函數(shù).(2) 由 (1) f (x) 在定義域上為減函數(shù)，log m31logm (

14、1),3m(1),33log m31logm (1),3m(1),33方程 mx 2(2m1) x 3(1m)0 有兩個(gè)不同的且大于3的實(shí)根 .設(shè) g(x)= mx 2(2m0,2m13,2mg(3)0,1) x3(1m) ，0 m2 3 4例 2解：（ 1）由 x35, S5 x5 34 ，x12d5,x11xn 2n1所以6 x114d 34d,2（2） sin 2xnxn cos xn1Sn ,由于 xn2n1, Snn2，則方程為 sin 2 (2n-1)( 2n-1) cos(2n-1)1n 2 n1時(shí)， sin 2 1cos1 0無解 n2 時(shí)， sin 2 33cos314 ，所

15、以cos233cos320 ，所以 cos31或 cos32無解 n3時(shí)， sin 2 (2n - 1)(2n - 1)cos(2n - 1)11(2n - 1)12n 1 n 2 ，所以 sin 2 (2n -1) (2n -1)cos(2n - 1)1n 2 無解 綜上所述，對于一切正整數(shù)原方程都無解n1 1(1 ) n 11（3）解法一： an133)n，則 Tn11(31233又 Tnxk22 恒成立， Tn0,0 ，所以當(dāng) Tn取最大值， xk2 取最小值時(shí)，Tnxk2取到最大值又 Tn1 , xk2(2k1) 21 ，所以12，22即210 ，故31225解法二：由 Tnxk22

16、恒成立，則11(1)n 2k1 22 恒成立，231 11n即2( 2k1) 2 max，2311222k12，又0，所以 ( 2k1)22，21212 (2k1)2 max2，所以12，即210， 故3122例 3解：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是x2y212 c2bab2，由 e12a2a2可得b1 e21 3 1 ,即 a 2b a42設(shè)橢圓上的點(diǎn) ( x, y) 到點(diǎn) P的距離為 d ,則d 2x2( y3) 2a2 (1y2) y23y92b244b23y23y9( y1)24b23 （其中byb ）42如果 b1，則當(dāng) yb 時(shí)，d 2 有最大值，從而 d 有最大值，由題設(shè)得7 (b3

17、)2，2311112由此得 b7，與 b矛盾，因此必有 b成立，于是當(dāng) y時(shí)，d 222222有最大值， (7) 24b23，由此可得 b1,a2 故所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是x2y21，41及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)( 3,1)，點(diǎn)(3,1由 y2) 到點(diǎn) P的距22離為7 例 4解：設(shè) OO1 為 xm ，則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為32( x1)282xx2 (m) ，于是底面正六邊形的面積為6（ m232(x 1)26g3 g( 8 2x x2 )23 3 (8 2x x2 ) m242帳篷的體積為 V ( x)3 3(82 xx2 )1(x1) 13(1612xx3 ) m32

18、32求導(dǎo)數(shù)，得 V ( x)3 (123x2 ) ，令 V ( x)0 解得 x2 ( 不合題意， 舍去 ) 或 x 2 。2當(dāng) 1<x<2 時(shí)， V (x)0 ,V(x) 為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4 時(shí)， V ( x) 0,V(x) 為減函數(shù)所以當(dāng) x=2 時(shí) ,V(x)最大答: 當(dāng) OO1 為 2m 時(shí)，帳篷的體積最大。m0時(shí)，x1,例 5 解：（ 1）由題意可知，當(dāng)13 k,即 k2,x 32,1m每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5816x 元.x2009年的利潤yx 1.5816 x(816xm)x48xm48(32 )mm116(m1)29(m0).m 1(2)Qm時(shí) ,

19、16( m1)2168.0m 1y82921,當(dāng)且僅當(dāng)16m1時(shí) ,1答：該廠家m21萬元.2009 年的促銷費(fèi)用投入3 萬元時(shí)，廠家的利潤最大，最大為誤區(qū)分析分析：上述解答中考慮問題欠全面解：由 f (3 )f ( 3 3)f ( 3) ，及 f ( 3)f ( 3 ) 得 f ( 3)0 ，故答案為 5222222隨堂練習(xí)1.45o ， 2.ab 0 ， 3. 13 ，4.5 ，25.解 : 由 題 意 , 可 設(shè) f ( x)( x21)m(2 x1) , 即 f ( m)0 在2,2 內(nèi)恒成立, 7f (2)，2，2( x1)(2 x1) 0713 10.f (2), 即2解得2x2，

20、2( x1)(2 x1)0，06.解：（）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21(ab0) ，a2b2由已知得： a c3 ， ac1 ，a2 ， c1 ，b2a2c23 x2y21 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為34ykxm，（）設(shè) A( x1， y1 ) ， B( x2， y2 ) ，聯(lián)立x2 y21.43得 (34k 2 )x28mkx4( m23)0 ，64m2k216(34k2)(m23)，即4k2m2，030x1 x28mk2 ，34kx1 gx24(m23) .34k 2又 y1 y2(kx1m)( kx2m)2x1x2mk (x1x2 )m23(m24k2 )k34k 2，因?yàn)橐?AB 為直徑的

21、圓過橢圓的右焦點(diǎn)D (2，0) ，kAD kBD1 ，即y1 g y21 ，y1 y2x1 x22( x1x2 ) 4 0 ，x12 x223(m24k 2 )4(m23)16mk40 ，9m216mk4k20 3 4k 23 4k 234k2解得 m12k ， m22k，且均滿足 34k 2m20 ，7當(dāng) m12k 時(shí)， l 的方程為 yk ( x2) ，直線過定點(diǎn) (2，0)，與已知矛盾；當(dāng)m22k時(shí)， l的方程為 yk x2，直線過定點(diǎn)2 ， 7707所以，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為2，708學(xué)力測評1.3 2.ax1 3. 800 4.1,1 5.1,06.167.2,8.或1x ，化簡

22、為 x259. 解 ： f(x)1x20 ，解得 x2（舍去） x1. 當(dāng) 0x 1x2時(shí) f ( x)0 ,f ( x) 單 調(diào) 遞 增 ,當(dāng) 1 x2 時(shí) f (x)0 ,f ( x) 單 調(diào) 遞 減 ,所 以f (1)ln 210 ,f (2)ln3 10, f (1) f (2),為函數(shù) f (x) 的最大值 , 又因?yàn)?f (0)4所以 f (0)0為函數(shù) f (x) 在0,2 上的最小值 .10. 證明：（ I）因?yàn)?f (0)0, f (1)0 ，所以 c0,3a2bc0 .由條件 abc0 ，消去 b ，得 ac0；由條件 abc0 ，消去 c ，得 ab0 ， 2ab0 .故 2b1.a（II ）拋物線 f ( x)3ax22bx c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (b3acb2,3a) ，3a在 2b1的兩邊乘以1，得1