1、浙江理工大學數學系第一章：偏微分方程的基本概念2偏微分方程的一般形式：F（x,u,u,L ,u,2,L ） 0Xixn Xi其中x （xi,x2，xn）是自變量，u（x） u（xi,x2，xn）是未知函數偏微分方程的分類：線性PDE和非線性PDE,其中非線性 PDE又分為半線性 PDE,擬線性PDE和完全非線性 PDE。二階線性PDE的分類（兩個自變量情形）：2uan 2 x22u u2 a12 a 222x y 、yu . u a bxycu0 （一般形式記為PDE （1）主部目的：可以通過自變量的非奇異變換來化簡方程的主部,從而據此分類(x,y)(x,y)根據復合求導公式最終可得到:2 u

2、 Ai2A22uA22uB Cu 0其中:.z O考慮ai () x2a12 二二 x ya22（）20如果能找到兩個相互獨立的解y那么就做變換(x,y)(x,y)從而有AiiA220在這里要用到下面兩個引理:引理1：假設z (x,y)是方程a11()2 x2a12x ya22（）20 （1）的特解，則關系式 （x, y） C是常微y分方程:22a11(dy)2a12 dxdy a22(dx)（2）的一般積分。引理2：假設（x, y） C是常微分方程（2)的一般積分，則函數 z（x, y）是（1）的特解。由此可知，要求方程（1）的解，只須求出常微分方程（2）的一般積分。常微分方程（2）為PDE

3、 （1）的特征方程,（1）的積分曲線為 PDE（1）的特征曲線。2a11(dy)2a12dxdy2a22(dx)02_ _記(x, y)a124但22則:f(x,t)(0 x L,t 0)2一維的熱傳導方程 u a22 f(x,t)(0 x L,t 0)t x2 高維的情況只需要把 一2改為laplace的形式即可。x數學物理方程(泛定方程)加上相應的定解條件就構成了定界問題。根據定解條件的不同，又可以把定解問題分為 三類：初值問題(Dirichlet ):定解條件僅有初值條件 邊值問題(Neumann ):定解條件僅有邊值條件 混合問題(Rbin BC )：定解條件有初值條件也有邊值條件 數

4、學物理方程的解：如果一個函數在某一自變量的取值區域內有所需要的各界連續的導函數，并且帶入數學物理方 程使方程成為等式，稱此函數為在該取值區域方程的解。定界問題的適定性：如果一個定解為題的解存在，唯一且穩定，就稱這個定界問題是適定的；反之，若有一個性質不滿足，則稱這個 定界問題是不適定的。所謂界存在，是指定解問題至少有一個解。如果一個定界問題的解不存在，這個問題就完全失去了意義，但定界 問題反應的是客觀物理實際，在實際問題中解釋存在的。若定解問題的解不存在，說明所建立的定界問題是錯誤的， 可能是在推導過程中有非次要因素被忽略掉了，導致泛定方程錯誤，還有可能定解條件給錯了等。這就需要重新考慮 定解

5、問題的提法。解的唯一性從物理意義上講是顯然的，如果解存在但不唯一，將無法確定所求解是否是所需要的，當然也無法求 近似解。這表明問題的提法還不夠確切，需要進一步分析。所謂解的穩定性， 是指當定解問題有微小變動時，解是否相應地有微小的變動，如果是這樣，該解就是穩定的解；否則所得的解就沒有實用價值，因為定解條件通常是利用實驗方法所獲得的，因而所得到的結果有一定的誤差，如果 因此導致解的變動很大，那么這種解顯然不符合客觀實際的要求。而我們多學的定解問題都是經典問題，他們的適定性都是經過證明了的。第二章：分離變量法分離變量法的主要思想：1、將方程中含有各個變量的項分離開來，從而原方程拆分成多個更簡單的只

6、含1個自變量的常微分方程；2、運用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個齊次的或易于求解的方程；3、利用高數知識、級數求解知識、以及其他巧妙方法，求出各個方程的通解；4、最后將這些通解“組裝”起來。分離變量法是求解偏微分方程最基本最常用的方法。主要根據的理論依據是線性方程的疊加原理和Sturm-Liouville 理論。最核心的思想是將偏微分方程的求解化為對常微分方程的求解。 下面就有界弦的自由振動的定解問題討論 觀察注意其特點是：方程齊次，邊界齊次.端點會引起波的反射，弦有限長，波在兩端點之間往返反射。兩列反向行進的同頻率的波形成駐波。駐波的特點：(1)沒有波形的傳播，即各點振動相位與位置無關

7、，按同一方式隨時間振動，可統一表示為T (t) (2)各點振幅隨點而異，而與時間無關，用 X(x)表示,所以駐波可用X(x)T(t)表示設u(x,t) X(x)T(t)且u(x,t)不恒為零，帶入方程和邊界條件中得到0(1)X (x) T X(x)a2T(t)XT a2X T由于u(x,t)不恒為零，有：X (x) X(x)0L L L L (2)T''(t)a2T(t)(3)利用邊界條件:X(0)T(t) X(l)T(4)(5)X(0) 0,X(l)參數成為特征值。函數X(x)成為特征函數下面分三種情況討論特征值問題(i) 0方程的通解為X(x) C1e -xC2e I由邊值

8、條件得C1C20C1e lC2e l 0C1 =C 2=0 從而 X(x)0,0無意義(ii) =0方程的通解 X(x)Cix C2同樣的到X(x) 0,=0無意義(iii )0時，通解 X(x)C1cosJ-x C2 sin Ix由邊值條件得C10L得到C20,從而C2sin . l 01,2,3,而由于- n冗X(x) C2sin 丁 x,n 1,2,L再求 T： Tn(t) a22 n_72-Tn(t)0n at其解為：T；(t) An cosBn sin-at所以 un(x,t) (Ancosnyat' MsinDsin釜n 1,2,3,根據疊加原理可以得到:n atn at

9、n xu(x,t) (Ancos丁 Bnsin-n)sin 丁n 1定解問題的解是 Fourier正弦級數，這是在 x= 0和x=l處的第一類齊次邊界條件決定的解的物理意義un(x,t) (Ancos叩Bn sin nj)sin猿u(x,t )是由無窮多個振幅、頻率、初位相各不相同的駐波疊加而成。n= 1的駐波稱為基波,n>1的駐波叫做n次諧波.注意：分離變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊界條件也是齊次的。其求解的關鍵步驟：確定特征函數和運用疊加原理。對于不同類型的定解條件做了如下總結左端點右端點特征值特征函數取值范圍一一n=1,2,3 ,000一二n=0, 1,2,。二二n

10、=0, 1,2,。一一n=0, 1,2,。齊次化原理：(Duhamel )3設(x,t, ) R :0 x ,t 0上的函數U(x,t,)關于自變量x, t二次可微U(x,t,)連同關于x和t的一階和二階偏導數都對(x,t,)在( x,t, ) R3：0 x ,t 0上連續，且U(x,t,)滿足：t則函數u(x,t) 0U(x,t, )d是下面方程的解：1、圓域上的laplace方程定界問題2u 0 (0 r a, 02 )邊界條件u(a, ) f( ) (02 )想法是把空間柱面坐標退化為二維的極坐標。挖掘邊界條件：r的邊界是0和a, j的邊界是0和2n.自然邊界條件u(0,)有限值，周期邊

11、界條件:u(r,0)u(r,2 )，分離變量令u R(r)()，帶入極坐標 Laplace方程:1 u1 2ur2 0得到:r r rrr d rdRR dr dr2m于是可以化為下面兩個常微分萬程:m20,(0)(2 ) L L L (1)22 .一r R rR m R 0L L L (2)、求解式(1)的本征函數得到:Am cos(m ) Bmsin(m ) (m 0,1,2,L )在求解(2)式，形式上是歐拉方程，因此可以通過t ln r來進行代換，得:2因此式(2)化簡為：R (t) m R(t) 0它的通解是:m=0 時，R0(t) Co D°lnr mmmwo 時，Rm(

12、t) CmrDmr由自然邊界條件“ u(0,j)=有限值"可知Do=o和Dm =0.所以，原Laplace方程的通解為：u(r, )Ao(Am cosmBmsinm )rm再代入邊界條件：u(a, ) f( ) (02 )m 1f( ) A0(AmcosmBmsinm )am上式實際上就是f。)的傅立葉級數展開式，所以待定系數可以確定:m 112A0- 0 f( )d二Zi Laplace 方程的一般解為：u(r, ) Co Do ln rCmr mDmr m Am cosmBm sin m1)如果考慮圓內問題則其解為：u(r, )Am cos m Bm sin m rm 02)如果

13、考慮圓外問題則其解為：u(r, )Am cosmBmsin m r mm 03)如果考慮是圓環問題，則其解為一般解，其中的系數由邊界條件確定。關于非齊次邊界條件的問題可以轉化為其次邊界條件，因此在這里就不多說了，其求解原理和方法和求解其次邊界條 件問題是一樣的。第三章：行波法和積分變換行波法:1 .基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定界問題確定特解。2 .關鍵步驟：通過變量代換，將波動方程化為便于積分的其次二階偏微分方程3 .適用范圍：無界域內的波動方程等達朗貝爾公式:其解為：，、1，、u(x,t) (x at)2再次引入一個平均值函數1 x at(x at) ()d(一味的達朗貝爾公式

14、)2a xat1 bf , f(x)dx為了應用這種表達式在這里令b' a' a'1 x atff (s)ds2at xat則達朗貝爾公式可以表示如下形式:u(x,t) (t )a'=x+at;b'=x-att則有解的物理意義: ，、1,、a.只有初始位移時，u(x,t) (x at)2代表以速度a沿x軸負向傳播的波。(x at) , (x at)代表以速度a沿x軸正向傳播的波,b.只有初始速度時:1 x atu(x,t) ()d ,假使初始速度在區間2a x at上是常數，而在此區間外恒等于(x at)0,u(x,t) 1(x at) 1(x at)結

15、論是：達朗貝爾解表示沿x軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法相關概念:當方程為非齊次時:t2f(x,t),u(x,0)(x),u(x,0)(x),x ,t 0(*)x由疊加原理可知，如果 v (x, t)是初值問題:v(x,0)2，x(x-(x),t 0的解。w (x, t) 貝Ij u=v+w是初值問題：是初值問題（*）的解，即可直接寫出（*）的解u (x,t)為:x ata(tu(x,t)(x at)(x at)2ax at()d2aa(t)f( , )dd （這個公式成為維非齊次波動方程初值為題解的Kirchhoff公式）半無界弦的振動問題:1 .端點固定求解的思想是，把它

16、轉化為無界弦的振動問題, 則問題轉化為：因此需要做一個奇延拓：、，1即斛為：u(x,t) (x at) (x21 x at at)2a x at()dx a(t2ax a(t)f()d d通過討論t的范圍（分為x>at,和0Vx<=at）2 .端點自由思路同上只不過是把延拓改為偶延拓：可以得到原來要求方程的解(x)(x),x 0(x),x 0(x)(x),x 0(x),x 0三維波動方程的初值問題222 uua 22xy2u2z0,x,y,z(x, y,z)(x, y,z)球對稱情形化為球面坐標系r sincosr sinsinr cos2uu 2x2u2y2u2z12 .r si

17、nsin12.r sin所謂球對稱是指u和，無關,則波動方程可化簡為:從數學上看，總x, y, z）,又可以化為：這是關于v= r u的一維半無界波動方程.我們利用球面平均法。從物理上看，波具有球對稱性。 希望把高維化為一維情形來處理，并設法化為可求通解的情況，所謂球平均法，即對空間任一點（ 考慮u在以（x, y, z）為球心，r為半徑的球面上的平均值。直接得出三維波動方程的解為：x r sin cos并令y r sin sin 則得到:z r cos二維波動方程的初值問題由Hadamard最早提出的。由于初始數據與第三個變量無關，因此，在sOM上的球面積分可由在圓域:M /at ：(x)2、

18、22y) (at)上的積分得到。r=at,1由 "IT4 a t SM d a sm r14 a2t SMat 2 (x cos ,yM .(at)2 ( x)2 ( y)2(at)2sin ) d d2求解方法：降維法：由高維波動方程的柯西問題的解來求解低維波動方程柯西問題的方法。可以得到二維波動方程的解為：物理意義：三維情況是惠更斯原理(有清晰的前鋒和后尾) 二維情況是波的彌散(有清晰的前鋒但無后尾)積分變換(Fourier變換和Laplace變換)I.Fourier 變換:U( ,t)定義：u(x,t)u(x,t)e j xdxU( ,t)ej xd性質：t己Rf1(t)Fi(

19、),F(f2(t)F2()1.線性性質:則F(GM(t)c2f2(t)gFi()c2 F2 (Ci,C2為常數2.尺度性質:若 F(f(t) F()，則F(f at )1 aF,a為非零函數3.位移性質:F(f (x Xo) exp( iwx°)F(f(x)4 .微分性質：F(f'(x) iwF(f(x)一般情況下有 F(f (n)(x) (iw)nF(f(x)L，X，、，、1 L，、5 .積分性質：F( f(t)dt) F(f(x) 0iw6 .卷積公式：F(f * g) F(f)?F(g)7 .Parseval 等式 f (x) dxF (f) dwLaplace變化及性

20、質性質：1 .線性T質 T(af bg) aL( f) bL(g)2 .相似性質 T(f(ct)1T(-)c c3 .微分性質：T(f') sT(s) f (0) 一般情況T(嚴(t) snT(s) sn 1 f (0) sn2f'(0) . f(n1)(0) 一 t，1 _4 .積分性質：T( n f(p)dp) -T(s) 0s5 .乘多項式性質：T(tnf (t) ( 1)nT(n)(s)6 .延遲性質：T(f(t a) easT(s)7 .初值定理：f (0) lim f (t) lim sT(s) t 0s8 .終止定理：f( ) pmf(t) lim sT(s)9

21、.卷積公式：T(f *g) T(f )?T(g)第四章：拉普拉斯方程的green函數法Green函數：格林函數，又稱點源影響函數，是數學物理中的重要概念，代表一個點源在一定的邊界條件和初始條件下所產生 的場，而知道了點源的場，可以用疊加的方法計算任意源產生的場.O第一 green 公式： u v dS(u v)dV u vdVu vdV同理v u dS v udV u vdV第二green公式：兩式相減就得到vu(u v)nndS(u vv u)dV (green 第二公式)討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問題，泊松方程u f (r),(r T)而第一，第二，第三類邊界條件可以統一表示為

22、u f其中f是區域邊界上給定的函數，0,0為第一類邊界條件(Dirichlet BC ),n0,0為第二類邊界條件(Neumann BC);0,0為第三類邊界條件(Robin BC)三維空間Laplace方程的基本解：定點是 M0(x0, y0,z°)動點是 M(x, y,z)二維空間Laplace方程的基本解：M 0(X0, yO),動點是 M(x, y)1 ,11 ,1基本解：v(M,M°)ln - ln =222rM°M2 (x %) (y y°)調和函數 2u 0的性質：1).牛曼問題有解的必要條件f(x,y,z)dS 02)平均值公式 設u(M )在 內調和，M 01則 u(M0) 2 udS u4 aaa3)極值原理：設函數u(不等于常數