1、答卷編號（競賽組委會填寫）：答卷編號（競賽組委會填寫）：論文題目：銀行排隊機服務系統的優化(B題)參賽隊員：1.姓名： 夏鑫 學院：數學與計算科學學院班級： 信計二班 電話： 151163357362.姓名： 張朝政 學院：數學與計算科學學院班級：信計二班 電話： 158025546643.姓名： 袁志莉 學院：數學與計算科學學院班級：應數三班 電話：卷編號（參賽報名號）：答卷編號（競賽組委會填寫）：評閱情況（評閱專家填寫）：評閱1.評閱2.評閱3.2010中南大學數學建模競賽題目題目： 銀行排隊機服務系統的優化 【摘 要】銀行排隊服務一直是一個困擾銀行和顧客的重大問

2、題，對于銀行來講，如何設置窗口數目，員工人數，使銀行成本最小且顧客排隊時間最短，減少顧客排隊的不滿意度，減少顧客投訴甚至流失成為一個重大課題；對于顧客來講，通過等待時間和隊長等因素來選擇銀行服務，使自己的時間效益花費最少是現實所需。針對銀行排隊服務系統的評價，首先建立層析分析模型，目標函數為性能指標值Z，根據問訪銀行員工和顧客，并征求專家意見對銀行排隊服務過程中不同影響因子的重要程度兩兩比較得到比值，以此構造成對比較矩陣，通過MATLAB處理矩陣得到最大特征根對應的特征向量，歸一化處理得到各因子的權重。用excel對不同時間段的數據分別進行統計，用MATLAB擬合并通過平移標準差變換和平移極差

3、變換對統計的各項因子標準化處理，與權重結合即得性能指標值Z。對銀行排隊窗口的優化，通過數學推導構建出排隊論模型，由一周不同天數同一時間段數據的周期性特點，對數據按時間段用MATLAB進行擬合，求解過程采用時間步長法，步長取1h，給定不同的窗口數求得各個參數進而得到性能指標值Z便可解出給定條件下的最優窗口數，從而得到一周七天內各個時間段的最優窗口數。考慮人員安排的排隊服務系統的優化，服務系統總成本出發，在滿足一定性能指標值Z的前提下，以單位時間費用的期望值最小為約束條件，而銀行窗口數為整數可知費用期望為離散函數，利用邊際分析方法求出最優的窗口數，進而建立窗口業務組合模型，通過對窗口所設業務組合的

4、優化來分配銀行員工數，得到人員安排的最優化結果。所用求權向量的矩陣通過了一致性檢驗，故可認為合理。綜上，我們建立的銀行排隊服務系統的評價模型可較好地估計出某個銀行的服務情況，而服務情況的比較標準需要對多家銀行進行估計，并按比例劃分來評級；對銀行窗口的優化考慮了各個時間段的最優窗口數，據了解符合現實情況；而對銀行系統人員的安排，我們提出了優化業務組合來優化員工數，并給出了相應的改進。關鍵詞：層次分析 平移標準差變換 排隊論 時間步長法 邊際分析 窗口業務組合模型目錄【摘 要】1目 錄2一、問題背景及重述3二、銀行排隊服務系統評價的優化模型32.1問題分析32.2模型假設32.3變量及符號說明32

5、.4模型建立4（1）建立層次分析模型4（2）構造成對比較矩陣52.5模型求解6三、銀行排隊窗口的優化模型103.1問題分析103.2模型假設103.3變量及符號說明103.4模型建立11（1）泊松分布及負指數分布推導11（2）多服務窗混合痔排隊模型13（3）模型指標和模型說明163.5模型求解17四、考慮人員安排的排隊服務系統優化模型194.1問題分析194.2模型假設204.3變量及符號說明204.4模型建立20（1）考慮成本因素優化窗口數目20（2）窗口業務組合模型214.5模型求解23五、模型的評價24參考文獻24附錄25一問題背景及重述隨著全球經濟復蘇，金融業危機逐步緩和，作為金融業主

6、體的銀行業的利潤卻不斷縮水。因此，如何解決銀行運作和服務的效率問題就越來越緊迫。一直以來銀行柜臺業務承受超負荷壓力，排隊時間長問題嚴重，柜臺服務質量不高，導致人們怨聲載道。事實上，銀行也采取了各種各樣的措施來解決此問題，把排隊等待時間的長短作為業務員的業務考核已屬常見，甚至有銀行不惜增加銀行的窗口數來縮短顧客等待時間。這樣雖然一定程度上可以緩解排隊問題，但是由于缺乏專業的研究和預測，達不到最優狀態，銀行的排隊問題依然沒有很好解決。而我們知道，銀行排隊問題涉及到諸如運籌學、高等數學、計算機軟件等各方面的學科知識，在實施操作時，加上各方面的人為因素就更為復雜。一般來說，銀行排隊問題主要考慮單位時間

7、內系統能夠服務的顧客平均數，顧客平均的排隊時間，排隊顧客的平均數和服務窗口數量等因素。如果銀行盲目增開了窗口，投入增加的同時還有可能使窗口閑置無用，得不到有效的利用。因此，解決銀行排隊問題就是要盡可能地找到一個平衡點，使顧客的等待時間，開設的窗口數，排隊等待損失的顧客數三者達到最低的平衡狀態。此題對已給某銀行排隊機服務信息（見長工09年5月至8月流水表），第一問是建立銀行排隊服務系統評價的優化模型（含顧客滿意程度的評價）；第二問給出銀行排隊窗口的優化；第三問是考慮對附近系統內銀行網點的工作人員進行工作統籌安排，建立排隊服務系統的優化模型。二銀行排隊服務系統評價的優化模型 2.1 問題分析此問是

8、要我們建立銀行排隊服務系統評價的優化模型（含顧客滿意程度的評價）。首先需要從所給的數據表長工09年5月至8月流水表中經過統計計算直接求得一些相關參數的值，還需要通過對數據表擬合數據得到另外所需的參數值，我們對這些參數分別標準化得到0,1區間的值，然后根據這些參數對于服務系統所占的權重的不同利用層次分析模型對其進行加權求和，加權因子由計算得出也做標準化處理，最終得到目標分數Z值，利用Z值的大小便可以對此排隊服務系統進行綜合評價。2.2 模型假設1）影響服務系統評價的因素是有限的，不包括一些特設或突發情況例如顧客蠻不講理或遭遇災難等；2）對于不同影響因子之間的比例系數，經咨詢了解是客觀真實的，是有

9、效的；3）服務系統評價不考慮銀行成本影響，或者對于服務來講對銀行成本基本不影響或影響極小，故可以忽略不計。2.3 變量及符號說明：指隊長，表示排隊系統中的顧客數；是其標準化后的值；：指等待時間，表示一個顧客在系統中的等待時間；為其標準化后的值；：指絕對通過能力，表示單位時間能被服務完顧客的均值；：指相對通過能力，表示單位時間能被服務完的顧客數與請求服務的顧客數之比值；：指損失概率，由于系統條件限制，使顧客被拒絕服務而使服務部門受到損失的概率；為其改進后的值；：服務系統中顧客的滿意程度，可由隊長和等待時間加權得到；：服務系統評價的性能指標值；：服務系統評價中間層對目標層的權重因子，其中i=1,2

10、,3,4,5,6；：服務系統評價細則曾對中間層的權重因子，其中i=1,2；：矩陣的特征值；：矩陣的特征向量.（注：本模型數據處理過程中相關變量時間單位為：秒，個體數量單位為：人）2.4 模型建立1）建立層次分析模型我們把銀行排隊服務系統的目標定為第一層，即目標層；把主要影響的六個因子：損失概率，絕對通過能力，相對通過能力，隊長，等待時間，顧客滿意程度定為第二層，即中間層；把通過影響顧客滿意程度S間接影響銀行排隊服務系統的兩個因子：隊長，等待時間定為第三層，即細則層。以中間層和細則層這兩個層次來反應目標層Z，所列層次分析圖如下：由于損失概率是越小越好，隊長是越短越好，等待時間也是越短越好，而總目

11、標Z值，我們令其取值越大越好，那么這些值對于Z值的大小起負向作用，故我們在模型求解時要對它們進行標準化的改進；而絕對通過能力A是越大越好，相對通過能力Q是越大越好，顧客滿意程度S是越大越好，因此只需直接將這三個因子直接無量綱化后與上面改進后的因子加權求和即得最終的性能指標值。由圖1及以上分析可得以下函數式：綜合以上兩式，可得最終Z的函數式：2）構造成對比較矩陣經過上述建立的銀行排隊服務評價的層析分析，我們并不把所有的因子放在一起進行分析，而是兩兩之間的相互比較，對此采用相對尺度，以盡可能減少性質不同的諸因素比較的困難。根據通用的19判斷矩陣尺度表及對以上各個因子重要性的判斷，分別構造出服務系統

12、層次結構中中間層對目標層，細則層對中間層的比較判斷矩陣。 尺度含義1與的影響相同3比的影響稍強5比的影響強7比的影響明顯的強9比的影響絕對的強2,4,6,8與的影響之比在上述兩個相鄰等級之間1,1/2,1/3，1/9與的影響之比為上面的互反數表1:1-9尺度的含義根據搜索到的資料并結合顧客自身的特點，我們認為對于細則層來說，等待時間比隊長的影響稍強，故在相應位置賦值為3或1/3，用公式表示即為，得到以下矩陣D： 同理，把中間層對于目標層的影響分別賦值，根據對長沙市芙蓉南路中國農業銀行調查了解的情況和從網上查找到的資料，我們對以下六種因子的影響做如下排序：損失概率< 絕對通過能力A <

13、; 相對通過能力Q < 隊長< 等待時間<顧客滿意程度S 。我們把它們按照從小到大的順序排序，逐一兩兩相比較，得到以下矩陣C:2.5 模型求解1）特征值，特征根的求解以下定義一致陣：如果一個對稱陣A滿足：，i, j, k=1,2,，n則A稱為一致性矩陣，簡稱一致陣，并且可知一致陣有下列性質：1A的秩為1，A的唯一非零特征根為n；2A的任一列向量都是對應于特征根n的特征向量。我們得到的成對矩陣C和D均不屬于一致陣，但在不一致的容許范圍內，我們分別用C和D的最大特征根（記作V）得出最大特征根的特征向量（歸一化后）作為權向量w，即w滿足：用MATLAB編程得到：矩陣C的最大特征根對

14、應的特征向量歸一化后得到因此有權重，矩陣D的最大特征根對應的特征向量歸一化后得到因此有權重，2）對矩陣的一致性檢測所謂對權向量的一致性檢測即是指對矩陣C或D確定不一致的允許范圍。由一致性矩陣的性質我們可得：n階對稱矩陣A的最大特征值，當且僅當時A為一致陣。由于特征根連續依賴于，當比n大很多時，矩陣的不一致性越嚴重，因而可以用數值的大小來衡量A的不一致程度。首先定義一致性指標：，有完全的一致性；接近于0，有滿意的一致性；越大，不一致性越嚴重。我們已知隨機一致性指標的表格如下：n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.4

15、5 1.49 1.51表2：隨機一致性指標由此定義一致性比率：一般地，當一致性比率時，認為A的不一致程度在容許范圍之內，有滿意的一致性。綜上：我們分別定義出了三個評價的指標，一致性指標，隨機一致性指標，一致性比率，我們對模型給出一致性檢驗如下：1對于矩陣C的檢測一致性指標：隨機一致性指標：(查表可得)一致性比率：2對于矩陣D的檢測：一致性指標： 由于，有完全的一致性，故符合一致性檢驗；經以上計算知：兩矩陣都通過了一致性檢驗。3）對目標函數的求解我們將求得的權重（i=1,2,3,4,5,6）和（j=1,2）代入之前求得的Z的函數式，得到以下式子：接著計算以上式子的五個因子，首先定義因子標準化的處

16、理方法：1平移標準差變換：原始數據之間有不同的量綱，采用下面的變換使每個變量的均值為0.，標準差為1，消除量綱差異的影響。令其中為原始變量的測量值，和分別為的樣本平均差與樣本標準差，即，2平移極差變換：即經過上述平移標準差變換后還有某些，則對其進行平移極差變換，即把樣本數據極值標準化，經過改進處理后，得到：正向因子應得的分數：負向因子應得的分數：用上式處理后的所有，且不存在量綱因素影響。根據題目所給的“長工09年5月至8月流水表”中的數據，我們用MATLAB擬合出絕對通過能力（即每秒辦理的顧客數）的值按一星期七天分為：星期一0.0391，星期二0.0462，星期三0.00114，星期四0.00

17、182，星期五0.0529，星期六0.0393，星期天0.0255。對以上七個值用所述的標準化方法處理后得到改進：星期一0.6675，星期二0.8386，星期三0，星期四0.1639，星期五1.0，星期六0.6723，星期天0.3397，我們對它們取均值得到。同理，我們可以得到所需各個參數值分別為：，。由于存在負向因子，需要根據平移極差變換對其進行數據處理，處理后得到改進因子：，把這五個參數帶入Z中求解得：（由于對數據都做了標準化處理，故Z的最大值為1）綜上，我們通過計算各個權重，得知顧客滿意程度所占權重最大，其次是等待時間，這滿足現實中的情況，而由于損失程度是建立在銀行最忙時刻的基礎上，此時

18、如果不是貴賓（貴賓通過VIP專柜接受服務，較不繁忙），損失的顧客數對銀行整個系統的運作影響不大，所以權重最小，也符合銀行的要求，且以上權重通過了一致性檢驗，故較為準確。通過擬合題目數據表得到歸一化的各個因子，由于算法可實現，故可視為準確值。所以得出的Z值較為精確，由可知，該銀行系統在我們建立的標準下不能令人滿意。三銀行排隊窗口的優化模型3.1 問題分析第二問是在第一問銀行排隊服務系統評價的基礎上優化窗口數目，我們認為這里有必要引入排隊論的知識。銀行系統屬于多服務窗混合制排隊模型，根據銀行可實現的窗口我們分別計算窗口數為2 10的情況，由于已知了窗口數便可利用排隊論的知識，加上限制條件，分別可得

19、到每個窗口對應的，的值，并通過改進計算得到， ，仍把這五個參數代入以下式子求解，這樣我們可得到不同的Z值，最大Z值的窗口數作為銀行可選擇的最優化的窗口。3.2 模型假設1）顧客的總體是無限的；2）顧客一個一個地到來，不同顧客之間到達相互獨立；3）顧客相繼到達的間隔時間是隨機的，且其分布與時間無關；4）系統僅允許有限個顧客等候排隊，即系統容量是有限的；5）顧客服務方式為一個一個地進行，采用先到先服務的原則；6）每位顧客的服務時間長度是隨機的，其分布對時間是平穩的。3.3 變量及符號說明：表示在長為的時間內到達個顧客的概率：系統服務的窗口數：系統的所能承受的最大容量，即顧客退票情況下隊長的期望：系

20、統的服務強度，或稱服務機構的平均利用率，：系統有個顧客時有個顧客被服務完的概率：系統中沒有顧客到達的概率：單位時間平均進入系統的顧客數，：平均忙著的服務窗個數，：表示系統中排隊等候的顧客數，即隊列長：顧客在系統中的平均逗留時間3.4 模型建立1）泊松分布和負指數分布推導排隊系統理論也稱隨機服務系統理論，首先引入泊松分布和負指數分布，并給出推導公式。1泊松分布：表示在時間內到達的顧客數，表示在時間段內有個顧客到達的概率，即，當滿足以下三個條件時，則稱顧客的到達形成泊松流。無后效應：在不相交的時間去內顧客到達數是相互獨立的，即在時間段內到達個顧客的概率與時刻以前到達多少顧客無關。平穩性：對于充分小

21、的，在時間間隔內有一個顧客到達的概率只與時間段的長度有關，而與起始時刻無關，且，其中稱為概率強度，即表示單位時間內有一個顧客到達的概率。普通性：對于充分小的，在時間間隔內有2個或2個以上顧客到達的概率極小，可以忽略不計，即。以下為系統狀態為的概率分布。如果取時間段的初始時間為，則可記。在內， 由于，故在內沒有顧客到達的概率為.將分為和，則在時間段內到達個顧客的概率應為 ，即，令，則， .當時，有由上式解得，同時可得 ，表示在長為的時間內到達個顧客的概率，即為泊松分布，數學期望和方差分別為.2負指數分布：當顧客流為泊松流時，用表示兩個顧客相繼到達的時間間隔，是一個隨機變量，其分布函數。由泊松分布

22、的推導公式可知，于是，；分布密度，.這里表示單位時間內到達的顧客數。同時知T服從負指數分布，且，。設系統對一個顧客的服務時間為（即在忙期內相繼離開系統的兩個顧客的間隔時間）服從負指數分布，分布函數為，分布密度為，其中表示平均服務率，且期望值為，表示一個顧客的服務時間。2） 多服務窗混合制排隊模型的建立（M/M/n/m）1系統的狀態概率設系統內有個服務窗，顧客按泊松流到達系統，其到達強度為；又各個窗口獨立工作，服務時間均服從負指數分布，服務強度為；系統的最大容量為.當系統客滿（即已有個顧客）時，有個接受服務，系統內部有個顧客在排隊等候，新來到系統的顧客便立即離去，另尋服務。那么，此時系統有所損失

23、，這樣的系統為多服務窗混合制排隊模型（M/M/n/m）。圖示化如下：2排隊論的公式推導在M/M/n/m模型中，狀態空間為。易知，當處于狀態時，由于每個窗口的服務率為，故此時系統的總服務率為，而當時，個服務窗均為忙碌，故系統的總服務率為。令，稱為系統的服務強度（服務機構的平均利用率）。已知顧客的到達規律服從參數為的泊松分布，服務時間服從參數為的負指數分布；若有個顧客，只有個接受服務，其余的顧客排隊等待，有無限個位置可排隊，于是在時間間隔內有：（1） 有一個顧客到達的概率為；（2） 沒有一個顧客到達的概率為；（3） 若系統有個顧客時有個顧客被服務完的概率為（4）多余一個顧客到達或多余個顧客被服務完

24、的概率為設在時刻系統中有個顧客的概率為，我們首先計算的情況，可能的情況如下表，其中（）：情況時刻t的顧客數在區間在時刻的顧客數到達離去Ak-110kBk00kCk11kDk+101kEk+112kFk+i0ikGk+i1i+1k表三：系統狀態的變化規律化簡得到：則有令，則有如果，則達到穩態解，故上式可化為：，即 特別地，當時，有同理，我們可得的情形，這里求解過程同上，直接給出結果：當時，有故有以下四式：再由遞推關系求得系統的狀態概率為 其中，由可求得3模型指標和模型說明系統的損失概率：系統的相對通過能力：單位時間平均進入系統的顧客數：絕對通過能力：平均忙著的服務窗個數： 隊列長：當時；當時，隊

25、長：顧客逗留時間：顧客等待時間：我們統計一周不同天數不同時間段的等待人數，等待時長，辦理時間，是否棄號數。把時間段分為每一個小時，即把每周的同一天分為89點，910點，1011點，1112點，1213點，1314點，1415點，1516點，1617點，1718點這10個時間段。由于以上求解過程是建立在窗口數給定的情況下，所以對于一周某一天某一時間段內，設定窗口數固定（令窗口數），給定的每一個窗口數都能數據擬合算出顧客的平均到達率，系統的平均服務率，進而求出絕對通過能力，損失概率，顧客等待時間，隊列長，隊長，因此在所建第一個模型的基礎上便可得到一個評價的值。由于窗口數，對應于同一個時間段，我們可

26、以得到9個不同的值，從這些值中取大于評價標準的窗口數的最小狀態為最優窗口數。而1周7天，1天又分為10個時間段，1個時間段根據窗口數可得9個值，通過評價標準取最優窗口數目，因此就得到了一周不同天數不同時間段的所有最優窗口數，共有70個。3.5 模型求解我們給出系統中顧客退票情況下隊長的期望的求解過程：（數據由所給表可得）為第個人到達時系統的隊長綜上我們得出。根據所給長工09年5月至8月流水表，統計全部工作日各個時段到達的總顧客分布圖如下：圖3下面僅列出一個時間段作為說明，任取一個時間段，假設是周二的1011點，窗口數為10的情況，給出服務辦理耗時和到達時間間隔分布的MATLAB擬合圖如下：（程

27、序編碼見附錄一） 圖4由擬合求得在顧客的平均到達率，系統的平均服務率，以此得出絕對通過能力，損失概率，顧客等待時間，隊列長，隊長，故可得 同理可求得這一時間段中窗口數29的數據及它們的值，加上前面10個窗口數的情況得到下表：2345678910Pm0.3530.06130.0011.39E-052.97E-071.04E-085.43E-103.93E-113.68E-12A0.00430.0090.01020.01020.01020.01020.01020.01020.0102Ls20.167912.7314.61943.29953.11733.0943.09123.09093.0909Wq

28、2.75E+031.03E+03150.322720.45292.58980.30390.03310.00333.07E-04z0.31190.59490.86590.91640.9020.85610.84240.83160.8213表4經過比較我們可得出周二的1011點時間段內的窗口數為5為最優窗口數。上面過程我們求出了一周某一天的某個時間段的最優窗口數，經過相同計算方法，我們得出了一周七天89點，910點，1011點，1112點，1213點，1314點，1415點，1516點，1617點，1718點這10個時間段的最優窗口數，列表如下：（程序編碼見附錄二）星期一星期二星期三星期四星期五星期

29、六星期日89273數據不足6669106563656101166536551112673355512135532526131455335351415665365615166632556161765數據不足數據不足656171823數據不足數據不足322表5四考慮人員安排的排隊服務系統的優化模型4.1 問題分析此問題是要我們優化銀行配置的員工數，主要考慮銀行的成本即員工的薪酬方面問題。我們需要在滿足一定性能指標值Z的前提下，給出單位時間費用的期望值的算法，并約束其值為最小時，建模得到最優化的窗口數，然后根據優化后的窗口數，把不同窗口數辦理的不同業務進行組合到達顧客的等待時間最短，然后根據業務的組

30、合形式對人員進行分配。4.2 模型假設1）每個窗口單位時間的成本費均相同；2）每個顧客在系統中停留單位時間的費用相同；3）一個窗口可以辦理多項業務.4.3 變量及符號說明1) ：單位時間內每個服務臺的成本費2) ：顧客在系統中停留的時間的平均費用3) ：系統單位時間內的總費用的期望值4) ：表示窗口含有業務5) ：系統中顧客總的等待時間4.4 模型建立1）考慮成本因素優化窗口數目在穩態的情況下，單位時間內每個服務臺的成本費為，顧客在系統中停留的時間的平均費用為，則系統單位時間內的總費用（服務成本和等待的費用的和）期望值， 其中，即與服務臺的個數有關，因此總費用為。滿足一定性能指標值通過MATL

31、AB不斷擬合求得區間參數值為0.9適中，則取程度指標作為測試性能的指標，同時滿足窗口數小于等于工作人員總數時，取的最優值為使得最小，則是符合標準的最小費用。由于只能取整數，即是離散函數，所以只能用邊際分析法求解。事實上，根據為最小值，可有由，則有化簡整理得求解可得。2）窗口業務組合模型為了描述問題的方便，現將各項業務編號如下業務種類編號周末領卡，信用卡專柜1對公2國債3交強險4證券保證金5一柜通業務，一柜通業務16貴賓7表6由于貴賓業務的特殊性，需對其單獨安排一個窗口，因而剩余窗口數為；設表示窗口含有業務，則，設 為項業務單獨排隊時，單位時間到達的顧客數；設有相互獨立的隨機變量，依據期望的性質

32、可知。設來辦理業務的兩顧客相繼到達之間間隔為，則的分布函數，。若設兩個顧客相繼到達窗口的時間間隔為，則，則單位時間內到達窗口的顧客數為其中，為業務6單位時間到達的顧客數的原始數據值。表示單位時間內被服務完的顧客數，令表示業務平均一個顧客的服務時間。同理，設窗口的平均服務率為，。在窗口前排隊辦理業務的顧客數占該隊中隊長的比重為從而在窗口排隊的隊伍中第個人的等待時間窗口的顧客總的等待時間則系統中顧客總的等待時間其中可按本文第二個模型的求解方法得到。依所提供數據可知業務15日辦理量較少，可認為業務15分別只能在某一個窗口中辦理，即 ，而業務6日成交量極大，可認為其可在多個窗口辦理，即，通過求得的值使

33、得最小。4.5 模型求解1）考慮成本因素優化窗口數目運用MATLAB和C+語言綜合編程，依據上述限制條件，求出在考慮到顧客數量在穩態的情況下，單位時間內每個服務臺的成本費為，顧客在系統中停留的時間的平均費用為，編寫計算機模擬窗口優化模擬設置程序（程序編碼見附錄三及附錄四）。Step1：根據題目所給數據，通過銀行排隊窗口優化模型 MATLAB程序，計算得到一周不同天數不同時間段的隊長和性能指標。Step2：根據搜集和統計資料得到及，結合上述數據代入成本優化模型程序（見附錄）。Step3：在不同窗口狀態下，計算機模擬成本因素影響后的綜合成本和相關數據、 、，在此基礎上通過層次分析模型得到各點考慮到

34、成本的值。Step4：我們將窗口數加增加1，根據上述限制條件篩選最符合評價的等級，同時窗口數最小的解，然后重復Step3。Step5：重復Step3直到篩選出全部時間點下窗口的成本優化解，并據此對模型一的結果進行修正。2）窗口業務組合模型 考慮到系統在最大容量時的運行情況能反映系統的優劣程度，下面求系統在達到最大容量時模型的解。在系統到達到最大容量時每個隊長均為m，則，化簡得，等式兩邊同時取對數得，其邊界條件為，。編寫程序用計算機求解可得到使得即最小時的的值。并可以通過求得的值分配窗口業務數，從而確定最合理的人員和業務分配數，使綜合評價得到最高。五模型的評價我們建立的第一個模型銀行排隊服務系統

35、的評價模型，根據對系統的評價因素所占權重的不同而建立的層次分析模型，普遍適應于對銀行系統的評價要求，并且我們分別考慮到銀行方面和顧客方面的利益，所以較為合理。只是求顧客滿意程度時，由于我們無法得到顧客的主觀觀點，于是我們就簡單地以隊長和等待時間為依據進行加權分配對其量化來考慮，也就是說，這里我們并沒有考慮顧客的主觀因素。對于第二個模型對銀行窗口的優化，利用排隊論模擬銀行的服務系統，尤其是我們列出了排隊論模型推導的數學公式，增加可信度。我們分別計算了各個時間段的最優窗口數，雖然我們只得出了優化的窗口數，但是也可由此問實現各個時間段人員的配置，節省了人力資源，降低了銀行的運營成本，符合現實情況。不

36、足之處是若針對各個時間段進行人員調配，程序上有些繁瑣，和現在情況有些差距，且對銀行方面考慮的因素較少，只是根據銀行排隊服務的情況給出，可增加銀行成本來優化模型，即第三個模型。第三個模型對銀行系統人員的安排，我們建立了窗口業務組合模型，考慮到各個窗口的不同業務數，實現了在既有的窗口數量上通過對不同業務進行組合，達到資源的優化配置，同時在保證系統效率的前提下，對人數上限進行了約束，節省了人力資源的成本。但是由于考慮因素較多，算法較難實現，但所建立的模型還是很新穎，有一定的參考價值。六參考文獻1 姜啟源、謝金星、葉俊，數學模型（第三版），高等教育出版社，北京，2003.2 陳冬彥、李冬梅、王樹忠，數

37、學建模，科學出版社，北京，2007.3 科學計算與數學建模，中南大學數學科學與技術學院，長沙，2010.4 劉衛國，MATLAB程序設計教程，中國水利水電出版社，北京，2005.5 唐應輝，排隊論(基礎與應用)，電子科技大學出版社，成都，2000.6 楊米沙，銀行排隊系統分析及窗口設置優化研究，武漢理工大學學報,2008.七附錄附錄一：統計數據處理負指數模型參數擬合程序（以周二上午10點到11點數據為例）clear ally=t=13;u=t*40;y=y'x=linspace(0,t,t);k=linspace(0,u,t);f=inline('1-exp(-a*x)'

38、;,'a','x');xx,res=lsqcurvefit(f,0.1,k,y)plot(k,y,'ro');hold onplot(k,f(xx,k),'b*')plot(k,f(xx,k),'b*');title('周*點-*點服務辦理耗時分布數據擬合圖')xlabel('服務辦理耗時')ylabel('分布概率值')legend('實際數值點','公式擬合點',4)text(450,0.7,'曲線F(t)=1-exp(-0

39、.0036x)')附錄二：MATLAB數據選優程序clear allz=;lx=;for n=2:1:10;r=0.0155 0.0211 0.0069,0.001,0.0146, 0.0141,0.0129; 0.0098,0.0102,0.0064,0.0057,0.0115,0.0073,0.0092; 0.0099,0.0100,0.0080,0.0073,0.0105,0.0073,0.0090; 0.0079,0.0208,0.0078,0.0071,0.0082,0.0063,0.0082; 0.0124,0.0121,0.0063,0.0059,0.0134,0.008

40、4,0.0191; 0.0097,0.0114,0.0070,0.0054,0.0105,0.0075,0.0086; 0.0082,0.0109,0.0079,0.0075,0.0102,0.0063,0.0097; 0.0103,0.0123,0.0075,0.0060,0.0111,0.0073,0.0103; 0.0095,0.0088,0,0,0.0105,0.0067,0.0100; 0.0058,0.0066,0,0,0.0067,0.0045,0.0059;u=0.0017,0.0035,0.0047,0.0081,0.0028,0.0026,0.0035; 0.0027,0.

41、0033,0.0029,0.0037,0.0031,0.0037,0.0031; 0.0032,0.0033,0.0038,0.0044,0.0032,0.0042,0.0038; 0.0033,0.0036,0.0052,0.0044,0.0038,0.0037,0.0037; 0.0048,0.0051,0.0044,0.0055,0.0063,0.0067,0.0057; 0.0042,0.0050,0.0042,0.0043,0.0042,0.0046,0.0040; 0.0028,0.0036,0.0046,0.0053,0.0037,0.0035,0.0032; 0.0034,0.

42、0042,0.0051,0.0051,0.0043,0.0038,0.0038; 0.0036,0.0039,0,0,0.0038,0.0037,0.0035; 0.0045,0.0047,0,0,0.0052,0.0046,0.0051;m=22;p1=r./(n.*u);p=n.*p1;x=1,1;y=1,1;j1=1,1;j2=1,1;for i=1:1:70 xi=1,ones(1,n-1).*p(i); yi=cumprod(xi); k1=1:1:n-1; k=1,k1; j1i=(sum(yi./k)+nn/prod(1:n)*(m-n+1)(-1); j2i=(sum(yi./

43、k)+(p(i)n)./prod(1:n).*(1-p1(i)(m-n+1)./(1-p1(i).(-1);endj1=cell2mat(j1);j2=cell2mat(j2);j1=reshape(j1,10,7);j2=reshape(j2,10,7);%if p1=1% p0=j1;% lg=(nn)/(prod(1:n)*2)*(m-n)*(m-n+1).*p0;%else p0=j2; lg=(p1.*(n.*p1).n)./(prod(1:n).*(1-p1).2).*(1-(m-n+1).*p1.(m-n)+(m-n).*p1.(m-n+1).*p0;%endpm=(nn)/pr

44、od(1:n).*p1.m.*p0;q=1-pm;a=r.*q.2;ls=lg+(r.*q)./u;wq=lg./(r.*q);opm=reshape(pm,70,1);opm(find(isnan(opm)=;epm=mean(opm);vpm=std(opm,0,1);gpm=(pm-epm)./vpm;ggpm=(gpm-min(min(gpm)./(max(max(gpm)-min(min(gpm);oa=reshape(a,70,1);oa(find(isnan(oa)=;ea=mean(oa);va=std(oa,0,1);ga=(a-ea)./va;gga=(ga-min(min

45、(ga)./(max(max(ga)-min(min(ga);ols=reshape(ls,70,1);ols(find(isnan(ols)=;els=mean(ols);vls=std(ols,0,1);gls=(ls-els)./vls;ggls=(gls-min(min(gls)./(max(max(gls)-min(min(gls);owq=reshape(wq,70,1);owq(find(isnan(owq)=;ewq=mean(owq);vwq=std(owq,0,1);gwq=(wq-ewq)./vwq;ggwq=(gwq-min(min(gwq)./(max(max(gwq

46、)-min(min(gwq);zn=0.0329.*(1-ggpm)+0.0612.*gga+0.1014.*q+0.2568.*(1-ggls)+0.5447.*(1-ggwq);disp(pm(12);disp(a(12);disp(ls(12);disp(wq(12);disp(zn(12);n;lxn=ls;endcelldisp(z);zz=;for pp=1:1:70 for p=2:1:n zzpp(p-1)=zp(pp); endend for i=1:1:70 zzi=zzi' end celldisp(zz); lxx=;for pp=1:1:70 for p=2:

47、1:n lxxpp(p-1)=lxp(pp); endend for i=1:1:70 lxxi=lxxi' end celldisp(lxx); llxx=; zzx=;for ii=1:1:10 llxxii=lxii; zzxii=zii; llxxii(find(isnan(llxxii)=0; zzxii(find(isnan(zzxii)=0;llxxii=sum(sum(llxxii)/65;zzxii=sum(sum(zzxii)/65;end附錄三：基于系統單位時間成本最低的窗口數優化模型程序#include<iostream>#include<cm

48、ath>#define M 10double cs=1;double cw=3;#define PERCENT 0.9using namespace std;int main()double c20=0;double d20=0;int i=0;int j=0;int index=0;int flag=0;double temp=0;double t=0;double lsM= 0,12.8798,6.8855,4.1801,3.3543,2.7999,2.6284,2.5266,2.5194,2.5191;double zM=0,0.6497,0.8129,0.8848,0.9125,

49、0.9296,0.9249,0.9011,0.8973,0.8958;double max=z0,min=z0;for(i=0;i<M;i+)if(max<zi) max=zi;if(min>zi) min=zi;t=max-min;for(i=0;i<M;i+)ci=cs*i+cw*lsi;temp=ci;if(zi>=(t*PERCENT+min)&&i>0&&i<M)dj=ci;cout<<dj<<endl;if(temp<=(cs*(i-1)+cw*lsi-1)&&(

50、temp<=cs*(i+1)+cw*lsi+1)cout<<"窗口數n="<<i<<" "<<endl;cout<<"總開銷c="<<temp<<endl;cout<<"評價指標z="<<zi<<endl;flag=1;j+;temp=d0;if(flag=0)for(i=1;i<j;i+)if(temp>di)temp=di;index=j;cout<<"

51、窗口數n="<<index<<" "<<endl;cout<<"總開銷c="<<temp<<endl;cout<<"評價指標z="<<zi<<endl;for(i=0;i<M;i+)cout<<"窗口數n="<<i<<" "<<"總開銷c="<<ci<<"評價指標z=&qu

52、ot;<<zi<<endl;return 0;附錄四：銀行服務模擬多窗口的顧客排隊模型程序#include <iostream>#include <fstream>#include <queue>#include <time.h>#include <cmath>#include <vector>#include "customer.h"#define M 22#define AVERAGE_TIME 5using namespace std;const int MAX_WINDO

53、WS = 10; void function(int windows, double customers_Arrived_Per_Time, double customers_Served_Per_Time, double lastTime,ofstream& output_File_Words,ofstream& output_File_Numbers,int week,int hour);int main()double y=0;double customers_Arrived_Per_Time;double customers_Served_Per_Time;double lastTime;double landa710=0;double mu710=0;ifstream input_File;ofs