1、包描基本概念，差分格式的構造、截斷誤差和穩定性，這些內容是貫穿整個教材的主線。解答問 題關鍵在過程，能夠顯示出你已經掌握了書上的內容，知道解題方法。這次考試題目的類型: 20分的選擇題，主要是基本概念的理解，后面有五個大題，包括差分格式的構造、裁斷謀差和 穩定性。習題一h2/?2.g梯形公式：兒廠兒F（兒+畑）,兒卄（l+=）y”，所以八 2h兒=(l+k嘰"芒）七+號）"聲忙當20時,£«+|<+ R" + f '3.整體截斷誤差:同理可以證明預報-校正法收斂到微分方程的解. 局部截斷誤差的推導同歐拉公式；/（兀田，y （兀汁

2、J） - fg，K+I）dx<S+R + "?y(兀+J 兒+這里<R而陥I=）'（和）一兒+所以（1一從）陥|= 5+R ,不妨設Sv 1/2,得到:+亠v一 1-厶"1-厶"+亠1+丄+1(1 -時 1 一從 1 _ Lh (1-厶/T£oRJf Xq)4.咄+歷2 2 _11中點公式的局部截斷誤差：y（X"+i）- y；+i = P' /（兀 y（x） - fg + £, y（叫）+2 /（兀 yCj ）M% 2 2£"/Uo'W)-/Un +如(心 + £) +

3、 /(耳 +py(x +£)一 /(斗 + P y(x”)+ £ fg y(xj)k/x=(兀 +彳)+ /(“” +£*(耳 + ) - fx +y(x) + fx, yx )t/x所以上式為昭=yJ +&）；（X-暫 _£如（叫+紐（兀+£）-心+£,心）+號心宀心）曲<17儀（心+§）|牛<皿臚中點公式的整體截斷誤差： /? hy（兀田）一兒+1 =）g）-兒 +£/（x,y（%）-/（x« +-'兒 +-/（x”兒）皿f 51hh=yUJ-兒 + f /gy（x）-j（

4、兀 +-,y（x,） + -/（/”y（x）%22+/（心+£*（兀）+£/（心（斗）一心+£,幾+£/（兀,兒）燉. .2< £” + R + Lh + L)£ . In < (1 + £/ + £)D121 2+5U + + Llt + L：) + - + ( + Ui + ly-'，-h _22-LbLr2< 屮F臨+尺0 Lh5.略6略7.略8.(1)歐拉法：(2)歐拉法：(3)歐拉法：9略10.略1.略2.略3.略4.（嚴如-1）h < 0.2:四階 Runge-Kutta

5、 方法j h < 0.278AM希；四階叫畑方法山n/? < 1 ；四階 Runge-Kutta 方法j h < 0-278習題2'咱、'_ PN _2aTar、ar阻-2ar arM?"?；-2arpx 一 larar必-2、H：；T >ar一 PX - 2a< “MT >差分格式寫成矩陣形式為:+ S矩陣的特征值為：兒=1一處/一20廠+ 2"05出），要使格式穩定，則特征值須滿'M足兄3+曲即"近5.利用泰勒展式可以得到古典隱式差分格式的截斷誤差為O (Az + /r)o古典隱式差分格式寫成矩陣形式

6、為：'1 + 2ar + 阻-ar-ar 1 + 2ar + 處/ 一 ar-ar 1 + 2ar + pN-ar-arI + 2ar + 0N /«特征值為： 九=a + +AV + 2"-2"cos 亞)= 'MHP：Aj =(l + +0A/ + 4Qrcos(2僦)y+如，所以無條件駐。6由Von-Neumann方法，令必=疔/如 代入差分格式得到增長因子為:G(0,zV) = l r4妙sin,色)，所以|G(/7,zV)| = l + 4asin2(理)2 >1,恒不穩上。2， 27.呼=心,則原三層格式等價于:(I + &

7、;)心 一 r(心 一 2“豐 + 郵) = (1 + 2&)心 一 A叮可以得到格式的增長矩陣為:inftf1 + 2&l + + 4rsin 一&l + + 4rsin2 201 + 28土 Jl-166Hin2 色 特征值為忑=莎22(i + 0 + 4rm 也)21 + 2&土 Jl-166sin2 色= ,當 1+2 0 <01+28+ <l+8rsin')2時，格式恒不穩圧。當0>-%時，格式無條件穩圧。-fl+i、叫則可以得到差分格式的增長矩陣為:G(04) = 21 + cl-c， 2c-2c1 一 c特征值為：竺，一加

8、躺牛所以=1.格式無條件穩定。BhRh9(1)由 Vbn-Neumann 方法,GW ")=l+ck-4r (sin，上d + sii?匕丄兒 可以得 22到格式的穩定剁映蟲7(2) G9 h) =4-.無條件穩左。0Rhl-c£ + 4r (sii?匕-sii?厶)2 21O解：消去便可得到u： UU；的關系為(1 遺&-*)(1-討:號)(/;:> (1+|£(1+|&)比由Von-Meuman方法可以得到增長因子BhBh(l-2rsin'-)(l-2rsin-)2 2Rh bBh k(l+2rsiiV c) (l+2rsin&q

9、uot;"三 _c)22 22顯然無條件穩定習題3(1) 第一個差分方程的截斷誤差為0 (h")(2)第二個差分方程的截斷誤差為0 (h')2. 邊界條件離散為U 鳥= ln(l+in2/) U 加= ln(4+n?h2)S,小(lh+l)、2ln(lh+l), t/, = ln (lh+iy + 1 然后將未知點按自然順序排列 山5心2心1222)' 町以寫出求解的線性代數方程組 用宜接方法或迭代方法可求解.3. 求解的關鍵是("邊界條件的離散應與差分方程相適應;(2)在邊界的四個角點處差分方程的建立;（3）未知量按自然順序排列，寫岀線性方程組4

10、. 解:（I）將節點以自動順序排列 up陰U打 英中 t/： =（lUKU” ?則Dirichlet問題的差分格式可以寫成方程組AU=b荻中A, B即為題中已給形式，b為由邊界條件離散化后已確定的已知向量（2）考慮 AU=2pBU廣U產九UitA + BfA+U 廣/UtAU屮BUj+Uz嚴九UjU qj BU <H = 2/g|因B為對稱陣，故存在正交陣Q使QBQ = A«=現（尤尤2 二）用Q 左乘以上齊式rTTQBUi+QU=JL、QUiVz+AbV'+V “嚴；LU,選取以上方程組中的每一個小方程組的第j個方程得到V,y/U匕,j=ir 2P-115./q-2

11、+幾丿/. q-1幾八jql這是一齊次三對角線性方程組，若要使其有非零解，則系數行列式值為零,=02； - d根據三對角陣特征值公式有/=1, 2ql而 2； = -4 + 2cos 也 于是證得2：=r+2g 竺+COS 竺8p q/=lr 2qlm=L 2pl事實上由此也可以求出A的特征向量，而AU=b的求解與此類似;（3）求解AU=b的Jacobi迭代G = £)'( L+R ) 因 A=D-L-R設X為A的對應于久：的特征向量，于是GX=（I-D"A） X=權XI 兀w/r這說明X也是G的特征向量，對應的特征值為1 = 1, 2.p-1 m=l, 2q-12

12、； = i +才 -4 + 2( cos + cos1,I 兀mJt=(cos+cos 2pq因在（0,刃b COS&為減函數.于是p(G) =max I1= (cos + cos )2) qIL習題4特征線為：= 3%求解得到曲線為：y = x + C.過點(心0)的特征線為: dx，=/一對。沿特征線.原方程變為常微分方程： = x+y.帶入y =欠'一以 eit1 -2 J1得到J= ，+兀4+(y-x')x + -(x'-y)3+(x'-y)3 ,在點(3, 19)的2 2值為65。12.此問題給出的初始條件比較特殊，為兩條直線，因此有兩條完全不

13、同的特征線，從 而得到沿兩條不同特征線的解。特征線方程為：皿y =皿特征關系為du = 2xdx.HP« = X-+C.對于一條初始曲線% = 0,在其上任取一點(0,%), )8 >0,解在此點滿足初始條件.得到c = o,過此點的特征線為：y =對于列一條初始曲線y = 0在其上任取一點(心,0), x>0.解在此點滿足初始條件，得到C = 過 此點的特征線為：，2=牙2 一兀：。過點(25)的值為« = 2'=4>過點(5,4)的值為 w = 5-3-=16o過此兩點的特征線分別為y = x + 3和r =x-9.若y = 0上的初始條件改為

14、“冋r，則特征線為(y +血y二F+Xr-X；,特征方程為2 2 2 ?"二X +Xr-心，過點R(40)的特征線為(y+2) =r-12 解為"二獷一12,故“ 及y在點P(4.050')的準確值分別為y = 74-4025 -2, “ = 4.4025。13.略14.a ( f 原方程化為三J(一2)(兀 + 1)ddx=0,可以求出A(x-2)(x + l)丿-11 2x的特征值為：幾=幾2 = -2 X時，對應的左特征向量為：$ =(l_d/x_2)(x + l), *=(匕-°_2)("1),因此可以得到方程的正3 333規形式并求解(

15、1)由Von Neumann方法，可以得到增長因子為j(Z?cos(_ ) -(«rsin)' -iahrsin/3liG(0a=(/?cos()- +(«rsm)-2所以G(0,&) = 1 格式無條件穩定。Qu «+Qit 卄丄 利用格式的泰勒展式近似"(一)1 +/?() 1 =C可以得到。 dx加+-dy丿什-16.(1)由 Von Neumann 方法，令4V;爲4嚴,可以得到增長矩陣為:G(04) =cos 例)/Fsin(妙)'"sin(妙)cos例)» 特征值為 J Aj = cos ph ± /r sill ph ,所以17.$14 -得到當r < 1時，格式穩定，又G為正規矩陣，即gg =gg,所以穩定性條件為充要條件。 同教材193頁格式(481)的討論。特征值為：= +- /(V),對應的左特征向量為：5,=(-,2 2J-"3= (-,)>則可以相應地寫出原方程的正規形式。2 2j- pO)r > J II=讐，則原方程等價于阻=0中，方程組的正規形式: 迦=0dt,Ct ox Ct ox 礙哼)< 晉) k ot ox Ct dx0 (1)=0 (2)m = 1.可以得到過點(o,Xr)的特征線為x-