1、第三章一階微分方程解的存在走理教學目標1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結論及證明思路，拿握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計式。2. 了解解的延拓定理及延拓條件。3. 理解解對初值的連續，性、可微性定理的條彳牛和結論。教學重難點解的存在唯一性定理的證明,解對初值的連續性、可微性換的證明。教學方法講授，實踐。教學時間12學時 教學內容解的存在唯F定理的條件、結論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件, 解對初值的連續性、可微性定理及其證明。考核目標1. 理解解的存在唯一性俱啲條件、結論，能用逐次逼近法解簡單的問題。2. 熟練近彳瞬的誤差估計式,解對初值的連續性及可微性公式。3. 利用解的存在唯Ti

2、艇、解的延拓定理及延拓條件能證明有關方程的某些性質。§1解的存在性唯一性定理和逐步邁近法微分方程來源于生產實踐際.硏究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規 律,能動解釋所出現的各種現象并預測未來的可能情況。在第二童介紹了一階微分方 程初等解法的幾種類型，但是,大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。 而實際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條彳牛的解。因此初值問題的研究就顯 得十分重要，從前面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的 條件才能保證初值問題解的存在性與唯T4,而討論初值問題解的存在性與唯一性在 常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性

3、理論，穩I定性理論以及其他理 論的基礎。例如方程過點（0.0）的解就是不唯一 易知）y 0是方程過0）的解，此外，容易驗證,y =只2 或更一般地函數0< x<cC<Y< 1都是方程過點（0,0）而且定義在區間0<X< 1上的解,其中C是滿足0 VC < 1的任一數。解的存在唯一理能夠很好地解釋上述問題，它明確地肯定了方程的解在一定 條件下的存在性和唯T4。另外，由于育樑辱到精確解的微分方程為數不多,微分方程 的近似解法具有重要的意義,而解的存在唯F是逬行近似計算的前提,如果解本身 不存在,而近似求解就失去意義；如果存在不唯一,不能確定所求的是哪個解。

4、而解 的存在唯F定理保證了所求解的存在性和唯一tt。1.1性與唯一14理：1）顯式一階微分方程牛= /(x,y)ax(3.1) 這里/(兒刃是在&域：/? :1 X-心 m y - yj< h(3.2) 上連續。走理1 :如果函數f（x,y）滿足以下條件：1 ）在R上連續：2 ）在R上關于變量y 滿足李普希茲（Lipschitz條件,即存在常數£>0 ,使對于R上任何一對點（兀|）, （扯力）均有不等式|/（x j）/Uy2）|Mqxy2|成立，則方程（3.1）存在唯一的解 >' =0（兀），在區間x-x<b上連續,而且滿足初始條件0（尤0）=

5、兒(3.3)其中"=min(a,),M = maxMf(x,y) , L 稱為 Lipschitz戦思路： 1 ）求解初值問題（3.1）的解等價于積分方程的連續解。2）構造近彳瞬函數列他任取f 連續函數（犬），使得Iq一兒1",替代上述積分方程右端的八得到弼（X）= Vo + r fg %xy）dx如果三0oCt）,那么e）（x）是積分方程的解,否則，又用（x）替代積分方程右端 的y，得到%（X）=兒+r /（忑 01%如果,那么®是積分方程的解，否則,繼續進行，得到狄W=兒+r /（兀9| wMx（3.4） 于是得到函數序列g（x） 3）函數序列倫（X）在區間旺

6、-爪兀+刃上一SS：收斂于0（兀），即lim0N（x） = 0（x）存在，對（3. 4）取極限，得到lim=）b + lim r /（兒7（x）M«»«*oo«FAii=）b+r/（xw（x）Mi*'b即（px=旳 + J： /（X,（pxy）dx.4）0（0是積分方程y=兒+ r/（兒ydx在兀一爪x,+h上的連續解. J才0這種一步一步求出方程解的方遂步逼近法.在定理的假設條件下，分五個命題來 證明定理.為了討論方便，只考慮區間xXo + A,對于區間心-/?牙扯的討論完全類 似.命題1設y = 0（兀）是方程（3. D定義于區間xXo +

7、/|上,滿足初始條件0（扯）=兒(3.3) 的解，則y = 0（Q是積分方程(3. 5) 的定義于兀 X 兀）+ h上的連續解.反之亦然.證明因為y = 0（兀）是方程（3.1滿足0（心）=兒的解,于是有兩邊取心到X的積分得到如）-如滬/（兒如皿x<x<x + b即有似X）=兒+/（X, gw所以y = 0（兀）是積分方程y = ' +f（x, y）cix定義在區間 x 如+ h上的連續解.反之，如果y =何X）是積分方程（3. 5）上的連續解，則仇X)=旳 + r f(x(p(x)iix心 < X < 無 +力(3.6)由于/（X）在R上連續,從而/（X,仇X

8、）連續兩邊對X求導，可得弩衛=_/（兒0（對）而且ax0(扯)= )d故y = px）是方程（31）定義在區間兀 X Xo + /?上,且滿足初始條件卩（兀）=兒的解.構造Picard的逐次逼近函數睜列倫 0(") =兒Z(« = 12 )久 W =兒 + J J(§®i(§)§ 如 < X < 心 + h<力0(3.7) 命題2對于所有的 , （3.6）中的函數在兀。x心+ /?上有定義，連續且滿 足不等式(3.8) 證明用數學歸納法證明當 = 1時，價（人）=兒+，顯然0（犬）在無x£）+ /?上有定義

9、、連續且有I % W - 兒曰 J： /(§ 旳 Mg IS J： I兒)I Mg < M(X - %) < Mh < h 即命題成立.假設 = R命題2成立，也就是在如 X 勺+力上有定義、連續且滿足不等式當,i = k + i 時，心Q = y。+/G段（§）皿由于/（X. y）在R上連續,從而/（X®（X）在心 X x。+力上連續于是得知% W 在丫0 牙無+力上有定義.連續,而且有I (X)- >0 IM LI /(§，<Pk )IM M(;v - x) < Mh < h即命題2對 = A +1時也成立.

10、由數學歸納法知對所有的«均成立.命題3函數序列© （Q在心 X 心+ h上是一致收斂的.記lim%(x) = x), x<x<x+h證明構造函數項級數X%（兀）+ 工錢（0-卩（兀）Xo<X< 兀+""1(3.9) 它的部分和為91于是倫 的一致收斂性與級數（3.9）的TS收斂性等價.為此，對級數（3.9） 的通項進行估計.10|(x)-0()(x) 1< J：l /(g,0o(g) I 吝 <M(x-%)(3. 10)I 例(X)- 叭 W 1< : I 坷(§) 一00(歹)I dg由Lipschi

11、tz條件得知I 02(X)- ®(X)IM 町：I e (§ ) - (§ )1代一兀MgM 頁(xf設對于正整數有不等式成立,則由Lipschitz條件得知，當兀< X<無+力時,有I 鈣+0）-久 W 町；|）一 f e 益“）I <厶|0”（§）-加“）|代ni辦。 Mlu-xor'<（H+1）!于是由數學歸納法可知.對所有正整數匕有I似（龍）一広氣M警丄臚 X<X<Xo+/l kk!(3. 11)*A*由正項級數工MZ/E 2 的收斂性，利用Weierstrass判別法.級數（3. 9）在 2k!%0

12、<x<Xo+/?上一致收斂.因而序列©（X）在心<x<Xo+力上一St收斂.設lim%（x） = x）,則俠X）也在心<x<兀0+/2上連續,且 MTW命題40（x）是積分方程（3. 5）的定義在x,<x<x,+h上的連續解.證明由Lipschitz條件I f（X,佻（X） - /（X, 0（x） IS 厶 I 約（X）一 0（x） I以及%"）在兀 Uo+/?上一致收斂于處6可知/（x®（x）在兀）<x<Xo+力上 致收斂于/（X0X）.因此lim ®(X)=兒 + lim T f ©

13、; % (§)§ NT»二兒+lim必 JI»%(x)=凡+r*-'b故0（x）是積分方程（3. 5）的定義在x。< X < x。+ h上的連續解.命題5設肖（X）是積分方程（3 5）的定義在心< X <兀。+ "上的一個連續解，則 從 X）= 0（x）,心 < X < 兀 + " 證明 設&（兀）=1處丫）-0（切1,則g（x）是定義在忑<X<Xo + /?的非負連續函數,由于似X）=兒+r肖w=jo+r /（§（§）§J心M而且/（x,&

14、gt;）滿足Lipschitz條件,可得£(對=|0(只)一附(JV) l=lJJ/(M，0(§)-/(g,/(g)MglJg< 4 »(g)- 0g)I d加 L r ggM 合幾J心令H（X）= Zj： g（M）% ,則M（X）是心< JV <兀+血的連續可微函數，且1心0）= 0 ,0 < g(x) < u(x), u(x) = Lg(x), ux) < Li心),(ux) - Luxe < 0, 即0心）0仏）'<0,于是在尤0 <X<Xu+"上，/心疋"<!心0

15、）05 =0 故x(x)</(%) <0,即 g(x)三0, x。<x<兀命題得證.對定理說明幾點:存在唯一性定理中h = mm（a A）的幾何意義. MX在矩形域R中|/（x,y）<M.故方程過（兀,凡）的積分曲線y =卩的斜率必介于-M 與M之間,過點（心兒）分別作斜率為-M與M的直線.當M<2時，即（如圖（&）所示），解y = 0（x）在心一d<x<Xo+a上有定義； aM當M>-時,即2",（如圖（b）所示），不能保證解在如+«上有定義， a M它有可能在區間內就跑到矩形外去，只有當%0-<X<

16、;Xo + 才能保證解MM> =（px）在R內，故要求解的存在范圍是(2)、由于李普希茲條件的檢驗是t匕較費事的,而我們能夠用一個較強的，但卻 易于驗證的條件來代替他,即如果函數/(X)在矩形域R上關于y的偏導數A(x,y) 存在并有界,即A(x,y) <L ,則李普希茲條件條件成立.事實上6厶 I)-”！這里(21)心亠)尺0<&<1如果XXy)在R上連續，它在R上當然滿足李普 希茲條件但是，滿足李普希茲條件的函數/(AO )不一定有偏導數存在.例如函數 /(X, >') =1 y I在彳召可區域都滿足李普希茲條件,但它在y = 0處沒有導數.、

17、設方程(3.1是線性的,即方程為字"(小+3)易知，當P(x),0(x)在區間上連續時,定理1的條件就能滿足，且對任一初值 Or。*。),。曰0.0所確定的解在整個區間2,0上有定義、連續.實際上 對于一般方程(3.1),由初值所確定的解只能定義在I x-xj< h上,是因 為在構造逐步逼近函數序列”時,要求它不越出矩形域R,此時，右端函數對y沒 有任何限制.只要取M = max I P(x)yo + Qx) L科a0、Lipschitz條件是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件例如試證方程0v=0dx.yin I y I y 工0 經過wy平面上任一點的解都是唯一的.證

18、明時，f(x.y) = yny.在y HO上連續./；gy) = l + lnly 丨也在y H0上連續,因此對X軸外的彳點(心兒)，方程滿足y(xo)=兒的解都是唯一存在的. 又由可得方程的通解為y = 土丘心，其中y = 為上半平面的通解，y = y"為下半平面的通解尼們不可能與y = 0相交注意到y = 0是方程的解，因此對X軸上的任 點（忑,0）.只有y = 0通過，從而保證xoy平面上任一點的解都是唯一的.I /(a y) - /(工 0) 1=1 y In I y 11=1 In lylll y因為lim Un I y 11= Q，故不可能存在厶0，使得 y->0所

19、以方程右端函數在y = 0的任何鄰域并不滿足Lipschitz條件此題說明Lipschitz條件是保證初值問題解惟一的充分條件,而非必要條件.2）考慮一階隱方程Fg”y)=o(3. 12) 由隱函數存在定理,若在（心兒；）的某一鄰域內F連續且F（心= 0 ,而 工H 0,則必可把y唯一地表為V的函數y=/g)(3. 13) 并且/（x）于（弘兒）的某一鄰域連續,且滿足 = /（心>0）如果F關于所有變元存在連續的偏導數，則f（x.y）對兀,y也存在連續的偏導數，并 且空-_蘭/竺dy dy dy'(3.14) 顯然它是有界的由定理1可知方程（3.13）滿足初始條件的y（x

20、1;） = 0解存在且唯一. 從而得到下面的定理.定理2 如果在點（心）°兀）的某一鄰域中:i ） Fx. ”十）關于所有變元（A ” /）連續,且存在連續的偏導數；:：)°F(XoJdy；)則方程（3. 12 ）存在唯一的解y = y(x) x-x<b（h為足夠小的破）滿足初始條件(3. 15)近似計算和誤差估計求方程近似解的方;一Picard的逐次逼近法0(")=兒%Q)=兒+r /g®-")胯如 S < x。+力"o對方程的第/次近似解® （A）和真正解俠X）在I大-兀IS h內的誤差估計式(3. 16 )

21、此式可用數學歸納法證明.1%（尤）一僅 X）設有不等式ntI-I 一護 H!成立,則I eQ)-卩 I寸；I f© 加")-/(§,卩)I dg <4”1備一 0(g)嚨ill畑<泌"叫衛J嚴°(卄1)!例1討論初值問題=-V" + V",v(0) = 0dx *'解的存在唯一性區間并求在此區間上與典正解的誤差不超過0. 05的近似解其中, 7?:-l<x<h-l<y <1.解 M = max I f (x,y 1= 2、a = l,b = 1,A = min«，=,由于

22、lx.y)« 八丿M 2ll=l2yl<2 = L.根據誤差估計式（3.恥）“爲宀為皿必（切=0 卩=Jo 疋+號禺=y 卩（X）=口2 +吠床=y +右 ©w叮宀叭龍)皿=乂+蘭+£+丄二J° 匕363 2079 59535©W就星所求的近似解,在區間-寸<x<寸上,這個解與典正解得誤差不超過0. 05. 乙乙§2解的延拓上節我們學習了解的存在唯T±定理，當生=/（兀刃的右端函數/）在R dx*（ly _、上滿足解的存在性唯T±條件時,初值問題藥刃的解在Ix-x店上存在且 .兒=y（Xo）唯一.

23、但是，這個定理的結果是局部的，也就是說解的存在區間是很小的.可能隨看/（兒刃的存在區域的增大，而能肯定的解得存在區間反而縮小。例如，上一節的例1,71當定義區域變為肥一2<x<2,2<y<2時，M=&A = mm2,|） = i，解的范圍縮 小為x-x,l<-.在實際引用中我們也希望解的存在區間能盡量擴大，下面討論解 4的延展概念，盡量擴大解的存在區間，把解的存在唯T4定理的結果由扃部的變成大范®的.h飽和解及飽和區間走義1 對定義在平面區域G上的微分方程牛= /(“)dx(3.1) 設y = x）是方程（3.1）定義在區間IUR上的一個解，如果

24、方程（3.1）還有一個定義在 區間yUR上的另一解y = 0（x）,且滿足（1）人uA ；但是t工厶（2 ）當 X /時 F 0（兀）=肖（X） 則稱）' =0（%）/人是可延拓的,并稱）=肖（X）是y = 0（x）在A上的延拓否則如果不 存在滿足上述條件的解y = #（x）,則稱y =俠X）," /,是方程（3. D的不可延拓解或飽 和解，此時把不可延拓解的區間/,稱為一個飽和區間.2.局部李普希茲條件定義2若函數f（x.y）在區域G內連續,MG內每一點P ,都存在以P點為中 心,完全含在G內的閉矩形域Rp ,使得在Rp上/（x,y）關于y滿足李普希茲條件（對 于不同的點，

25、閉矩形域Rp的大小和李普希茲常數乙可能不同），則稱/（x,y）在G上 關于y滿足周部李普希茲條件.z/»定理3 （延拓定理）如果方程罕=y）的右端函數f（x,y在（有界或無界） cix區域GeQ上連續,且在關于y滿足局部李普希茲條件，則對任意一點（冷亠疋G 方程字= /（"）以（忑亠）為初值的解g）均可以向左右延展,直到點（"（X）任 ax蕙接近區域G的邊界.以向%增大的一方來說,如果y =卩只能延拓到區間上，則當X T /»時, （X, <p（x）趨于區域G的邊界。證明 （心兒）e G ,由解的存在唯T4定理初值問題丿0 =）'（如）(1

26、)存在唯一的解y = 0（兀），解的存在唯一區間為lx-xj九取召=忑+兒,'1 = 03），以（X, 31）為中心作一小矩形R| G ,則初值問題字= /(x，y)« dx?4 = y(X|)存在唯一的解y =肖，解的存在唯一區間為IX -召IS人因為0（X） =） 有唯一14理，在兩區間的重壘部分應有0（x） = 0（戈），即當X,-/?, % X,日寸0（人）=0（x）.定義函數礦（X）n級X),托一兒 Mx<Xo + /ioyW，Xq + 兒 <A < Ay + ho + /?,則y = 0（x）是方程（3.1）滿足（或（2）的，在心-佩M+如上有定

27、義的唯一的解. 這樣,把方程（3.1）；莆足的解y = e（x）在定義區間上向右延伸了一段.即把解 y =譏X）看作方程（3.1）的解y = p（x在定義區間x-x 1九的向右延拓，延拓到更大 區間兀0 -幾 X 心+人）+ Aj 同樣的方法，也可把解' =0（兀）向左延拓這種將曲線向 左右延拓的辦法可繼續進行下去,最后將得到一個解y = 0（對，不能再向左右延拓了 這 個解稱為方程（3. D的飽和解.推論1對定義在平面區域G上的初值問題其中（無b）wG牛=f(x, y) ax兒=)'(">)若/（如y）在區域G內連續且關于y滿足局部Lipschtiz條性,則它

28、的任一非飽和解均可 延拓為飽和解 推論2 設y = 0（x）是初值問題其中（心yJwG仇=）'（心）的一個飽和解，則該飽和解的飽和區間/一定是開區間.證明 若飽和區間/不是開區間,不妨設/ = a 0，則（04（0） G,這樣解y = <px還可以向右延拓，從而y = 0匕）是非毓解,矛/!對I = 70）時，同樣討論,即 或人 Ta#）時，（x,0a）T加.推論3如果G是無界區域.在上面解的延拓定理的條件下,方程（3 1）通過（心兒）點的 解y =血X）可以延拓，以向X增大（減小）一方的延拓來說，有以下兩種情況: 解y = （x）可以延拓到區間心+S）（或（yo,/。） 解y

29、= W只可延拓到區間IxoJH）（或伽人）,其中為有限數，則當X T W時，或者y = 0（兀）無界,或者點（A ©（x） f dG 例1討論方程空=分別通過點（0.0）和點（In 2, -3）的解的存在區間. dx 2無 此方程右端函數/（兒刃=號在整個Ay平面上滿足解的存在唯 F 定理及解的延拓定理的條件.易知方程的通解為故通過點（0,0）的解為y = （1 -嚴）/（I +0）這個解的存在區間為Y0 < X <； 通過點（in2-3）的解為y =（l + K）/（l_K）,這個解的存在區間為0<x<*Q （如圖所示）注蕙 過點（ln2,-3）的解為y =

30、 （1 + K）/（1-K）向右方可以延拓到 2，但向左方只能延拓到0,因為當天T 0*時，yX例2討論方鶴十12(®點的解的存在區間.fS 方程右端函數/(X, y) = 1 + In X在右半平面X > 0上滿足解的存在唯理 及解的延拓定理的條件.區域G (右半平面)是無界開域,y軸是它的邊界.易知問題的解為y = xln；f,它于區間0 <x<*o上有定義、連續且當x->0時，y T 0,即所求問題的解向右方可以延拓到+8,但向左方只能延拓到0,且當X T 0時 積分曲線上的點(X/)趨向于區域G的邊界上的點.例3考慮方程另假設/(“)和/g)在杠平面上

31、連續,試證明：對于任意及)b Vd ,方程i鬲足)£%) =兒的解都在(-00,+8)上存在.證明 根據題設，易知方程右端函數在整個xoy平面上滿足解的存在唯理及 解的延拓定理的條件.又y = ±«為方程在(-00,2)上的解，由延拓定理可知，對 VxqJ yj< a,滿足>'(%0) = Vo的解y = y(x)應當無限遠離原點，但是,由解的唯T4, > = y(x)又不能穿過直線y = ±G故只能向兩側延拓，而無限遠離原點，從而解應在 (O0, +oO)存在.注：如果函數/(兒y)于整個xoy平面上定義、連續和有界，同時存在

32、關于y的一 階連續偏導數,則方程(3. 1)的任一解均可以延拓到區間0<工<2.練習 試證對任意X。，兒，方程滿足初始條件yM = yo的解dx X + 1都在(一0+8)上存在.§3解對初值的連續性和可微性定理*在初值問題 =八"'刃中我們都是把初值（兒）看成是固定的數值,然后再 .兒=y（Xo）去討論方程字= /（“）經過點（心兒）的解但是假如（心y。）變動，則相應初值問題 ax的解也隨之變動，也就是說初值問題的解不僅依賴于自變量X,還依賴于初值（冷*0）. 例如：fa, y） = y時,方程y = y的解是y = ce",將初始條件yg）

33、=兒帶入，可得 y =兒.很顯然它是自變量X和初始條件（心凡）的函數.因此將對初值問題 =f（X V）* dx '的解記為y =卩（兀,心,兒），它滿足兒=卩（心心凡）.>0 = yCm）當初值發生變化時,對應的解是如何變化的？當初始值微小變動時.方程解的變 化是否也很小呢？為此就要討論解對初值的一些性質.h解關于初值的對稱性設方程（3.1）滿足初始條件y（x,）=兒的解是唯一的,記為y = g X, 兒），則在此 關系式中，（乙刃與（如,y。）可以調換其相對位置.即在解的存在范圍內成立關系式證明在方程（3. 1）滿足初始條件，（兀）=凡的解的存在區間內任取一點州，顯然y,=卩（

34、心心,Vo）,則由解的唯F知,過點（兀小）的解與過點（心兒）的解是同一條積 分曲線即此解也可寫為并且,有Vo = 0（心西,yJ 又由（X| J）是積分曲線上的任一點，因此關系式 兒=0（%兒y） 5癥積分曲線上的任蕙點均成立.2.解對初值的連續依賴性由于實際問題中初始條件一般是由實驗測量得到的，肯定存在誤差.有的時候誤 差t匕較大,有的時候誤差t匕較小,在實際應用中我們當然希望誤差較小，也就是說當 （扯*0）變動很小的時候相應的方程的解也只有微小的變動，這就是解對初值的連續 依賴性所要硏究的問題：在討論這個問題之前,我們先來看一個引理：弓I理：如果函數/（不y）于某域D內連續，且關于y滿足L

35、ipschtiz條件（Lipschtiz 常數為厶）,則對方程（3.1）的任意兩個解假X）及肖（X）,在它們公共存在的區間內 成立S不等式10（v）-卩（X）1<1 卩（）-肖（竝）I 嚴F(3. 17 ) 其中心為所考慮區域內的某一ffl.證明 設做X）> 0W于區間a<x<b上均有定義,令V(X)= (p(x)-0(x)F.a <x<hV'(x) = 29Gy)-0(x)/(xw)-/(x)于是Vx) V Vx) 1= 21 俠X)- 0(x) II /(X, <p) f (工屮、l< 2厶UCy)%)嚴一2厶V(x)嚴 < 0

36、從而 所以，對0斗）0",有V(x)<心)嚴匕如<A <b對于區間fl < X< %0，令-x<f，并記-如“0,則方程（3.1）變為dx而且已知它有解y =鎖-f）和y =屮0 類似可得卩（X）< V（竝）嚴吩化0 < X < .v。因此,V(x) <<x<Ka <x<h兩邊開平方即得（3.17）.利用此引理我們可以證明解對初值的連續依賴性:解對初值的連續依賴走理假設/（x,y）在區域G內連續，且關于y滿足局部李普希茲條件，如果=f（x y）（心yJwG ,初值可題，有解y = 0（兒兒），它于區間

37、d<x<Z?上有 .兒=y（無）定義（“<x（><b）,貝!I對任意£>0 , 35 = 5（£衛/）>0，使得當（耳-心尸+仇-兒尸時'方程（3.1）滿足條件y（無0）= %的解y = 0（兒兀0）在區 間d<x<b上也有定義,并且有證明 記積分曲線段S:y =（p（x.x,.y,） = <p（x）.a<x<h是小平面上一個有界閉集.第一步:找區域D 使S U D,而且/（如y）在D上關于y滿足Lipschitz砂由已知條件，對（兒y） S,存在以它為中心的開圓C, C U 6使/（A；y）在

38、其內關 于y滿足Lipschitz條襄.因此根據有限覆蓋定理,可以找到有限個具有這種性質的圓 C,（/ = 1,2,N）（不同的C-.其半徑/-和Lipschitz常數厶的大小可能不同），它們的全N體覆蓋了整個積分曲線段S,令5=UG，則SuGuG,對W>0,記P = f/（5G» 5）, / = iTiin（£-, p/2）, L = max（ I,-厶），則以 S 上的點為中心，以"為半徑的 圓的全體及其邊界構成包含S的有界閉域DuGuG、且/（X,>-）在D上關于y滿足 Lipschitz條件,Lipschitz常數為 E.第二步:證明日5 =負

39、比“上）>0（5<），使得當（耳70）2+（亍。一兒）2<52時,解 y = （X）= e（X,喬齊）在區間d<XMZ?上也有定義.由于D是一個有界閉域且f（x.y）在其內關于y滿足（007血條件'由解的延拓定 理可知，解y = 0（兀）=俠不兀齊）必能延拓到區域D的邊界上.設它在D的邊界上的點 為（00（0和（乩0（），c<d,這時必有e<4d>b否則設c>gl<l兒由引理有I 0（X）-肖 CV） IV 0區）一譏忌）I<A</利用 於）的連續性,對4 =寸嚴 E >必有> 0存在,使當I心1< Q

40、時有 厶I卩（羽-0（兀）1<5,取3 = min（qV2）,則當（兀-竝）2 + （凡-兒）2時就有1 0（X）-嘰X）IT 卩（兀）-0（和 I-I -<（|0（兀）- 0g）l + l0（如）-0（和 1）2 嚴7< 2（10（和-0（耳）F +10（如）-肖（兀）矽<2（閃+1兒-時）嚴i<45：嚴 g） =2（c<x<d）（3. 18） 于寸一切X e cd（px）-0（兀）1< 7成立,特別ttfiWI 仇C）-0（C）IV，|0（）一0（）1<即點（c（c）和（¥（）均落在域£>的內部，這與假設矛盾,

41、故解y =肖（只）在區間 仏切上有定義.第三步 I -<£,a<x<h.在不等式（3. 18 ）中將區間Gd換成“上,可知當 鳳-%）' +（齊一兒）y 52時，就有0（兒乂）9齊）一0（兒缶）0）<ri<£、a<x<b根據方程解對初值的連續依賴定理及解對自變量的連續性有3解對初值的連續性定理若函數/（X'）在區域G內連續，且關于y滿足局部李普希茲條件則方程（3. 1） 的解y =卩（不心兒）作為血心凡的函數在它的存在范圍內是連續的.證明 對0（心兒）6方程（31）過（心兒）的飽和解y = 0（兒心幾）定義于 a（心

42、yo）Sx<0（心兒）上令U = （xXoo）la（Xo,o）Wx<0（Xo，yo）.（Xoo）EG下證y = 0（x.大0,）b）在V上連續對區兀$0）卩，3（40,使解y =環兀）在上上有定義,其中“#對0£>0.34>0,使得當（鬲一忑）2 + （%-兒）2<犀時,0（兀齊）-0（x,Xo，yo）£ ,< ,a<x<h2又y =心y。）在人“切上對X連續.故36 >0,使得當I無一 Xis時有|卩（元,如，旳）一 0（x,心 旳）| < "1,兀X e 恥取 J = nun（Jp（52）,則只要（了

43、-"+（耳-Xo）2+（凡一兒）2 <52就有0（疋瓦,亓）-0（忑如，兒）V 0（疋兀,）- 0（兄心，兒）1 + 10（兄兀0，兒）-卩（/無,比）1£ £<+=S2 2從而得知>' =0（兒兀*0）在V上連續.4.解對初B和參數的連續依賴定理討論含有參數2的微分方程G人：（X, y） G. a < 2 < 0（3. 19）如果對c”/1）G久，都存在以（x,yM）為中心的球CuG ,使得對彳丑可 （乳,）.幾）,（欠2，幾）WC ,成立不等式I /（X, H, A） 一 /（X,比，幾）IS 厶 I y, - y. I其中厶是與X無關的正數，稱函數/（x,丿）在