1、數(shù)值分析實驗作業(yè)專業(yè)：姓名：學(xué)號：實驗 2.1 多項式插值的振蕩現(xiàn)象問題提出 ：考慮在一個固定的區(qū)間上用插值逼近一個函數(shù)，顯然Lagrange 插值中使用的節(jié)點越多，插值多項式的次數(shù)就越高，我們自然關(guān)心插值多項的次數(shù)增加時，Ln(x) 是否也更加靠近逼近的函數(shù)，Runge 給出的例子是極著名并富有啟發(fā)性的，設(shè)區(qū)間-1,1 上函數(shù)f (x)125x21實驗內(nèi)容 ：考慮區(qū)間 -1 ， 1的一個等距離劃分，分點為xi2i, i0,1,2,.,n1n則拉格朗日插值多項式為n1Ln ( x)li (x)0 12i25 xi其中， li (x) ， i=0,1,2,n 是 n 次 Lagrange 插值函

2、數(shù)。實驗要求 ：（ 1）選擇不斷增大的分點數(shù)目 n=2 ，3， 畫出原函數(shù) f(x) 及插值多項式函數(shù) Ln(x) 在 -1， 1上的圖像，比較并分析實驗結(jié)果。（ 2）選擇其他的函數(shù)，例如定義在區(qū)間-5， 5上的函數(shù)，h( x)x4 , g( x) arctanxx1重復(fù)上述的實驗看其結(jié)果如何。解：以下的f(x) 、h(x) 、 g(x) 的為插值點用“* ”表示，朗格朗日擬合曲線用連續(xù)曲線表示。通過三個函數(shù)的拉格朗日擬合可以看到，隨著插值點的增加，產(chǎn)生Rung 現(xiàn)象。（1） f(x)多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=2多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=3110.9f(x)0.9f(x)lagrange(x)la

3、grange(x)0.80.80.70.70.60.6y 0.5y 0.50.40.40.30.30.20.20.10.100.40.60.8100.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4 -0.200.2-1-0.8 -0.6-0.4-0.200.2xx第1頁共13頁1多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=41.2多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=5f(x)f(x)0.8lagrange(x)1lagrange(x)0.60.80.40.6yy0.20.400.2-0.20-0.4-0.8-0.6-0.4 -0.200.20.40.60.81-0.2-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81

4、-1-1xx1.2多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=61多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=7f(x)0.9f(x)1lagrange(x)lagrange(x)0.80.80.70.60.6yy0.50.40.40.20.30.200.1-0.2-0.8-0.6-0.4 -0.200.20.40.60.810-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-1xx1多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=81多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=90.8f(x)f(x)lagrange(x)0.8lagrange(x)0.60.40.60.20.4y0y-0.20.2-0.40-0.6-0.8-0.2-1-0.8-0.6-0.

5、4 -0.200.20.40.60.81-0.4-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-1xx1.6多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=101多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=111.4f(x)0.9f(x)lagrange(x)lagrange(x)1.20.810.70.80.6y0.6y0.50.40.40.20.300.2-0.20.1-0.4-0.8-0.6-0.4 -0.200.20.40.60.810-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-1xx第2頁共13頁(2) h(x)0.6多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=20.6多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=3h(x)h(

6、x)0.4lagrange(x)0.4lagrange(x)0.20.200yy-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-4-3-2-1012345-0.8-4-3-2-1012345-5-5xx0.6多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=40.8多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=5h(x)h(x)0.4lagrange(x)0.6lagrange(x)0.20.40.20yy0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-4-3-2-1012345-0.8-4-3-2-1012345-5-5xx0.6多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=61.5多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=7h(x)h(x)0.4lagr

7、ange(x)lagrange(x)10.20.50yy0-0.2-0.4-0.5-0.6-1-0.8-4-3-2-1012345-1.5-4-3-2-1012345-5-5xx0.6多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=83多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=9h(x)h(x)0.4lagrange(x)lagrange(x)20.210yy0-0.2-0.4-1-0.6-2-0.8-4-3-2-1012345-3-4-3-2-1012345-5-5xx第3頁共13頁多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=10多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=11150.8h(x)4h(x)lagrange(x)lagrange(x)0.630.420.21

8、y0y0-0.2-1-0.4-2-0.6-3-0.8-4-12345-52345-5-4-3-2-101-5-4-3-2-101xx(3) g(x)多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=2多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=31.52g(x)g(x)1lagrange(x)1.5lagrange(x)10.50.5y0y0-0.5-0.5-1-1-1.5-1.52345-22345-5-4-3-2-101-5-4-3-2-101xx1.5多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=41.5多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=5g(x)g(x)lagrange(x)lagrange(x)110.50.5y0y0-0.5-0.5-1-1-1.5-4-3-

9、2-1012345-1.5-4-3-2-1012345-5-5xx1.5多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=62多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=7g(x)g(x)1lagrange(x)1.5lagrange(x)10.50.5y0y0-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-4-3-2-1012345-2-4-3-2-1012345-5-5xx第4頁共13頁多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=8多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=921.5g(x)g(x)1.5lagrange(x)1lagrange(x)10.50.5y0y0-0.5-0.5-1-1.5-1-22345-1.52345-5-4-3-2-101-5-4-3-2-101

10、xx多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=10多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=111.52.5g(x)2g(x)lagrange(x)lagrange(x)11.50.510.5y0y0-0.5-0.5-1-1-1.5-2-1.52345-2.52345-5-4-3-2-101-5-4-3-2-101xx第5頁共13頁實驗 3.1 最小二乘法擬合編制以函數(shù) x k nk 0 為基的多項式最小二乘擬合程序，并用于對表中的數(shù)據(jù)作三次多項式最小二乘擬合。xi-1.0-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552n取權(quán)數(shù)i1,求擬合曲線*k* xk 中

11、的參數(shù) k ，平方誤差2 ，并作離散數(shù)據(jù) xi , yi k 0的擬合函數(shù) y* (x) 的圖形。解：三次多項式的擬合曲線為：y(x) a0a1x a2 x2a3 x3此題中權(quán)函數(shù)( x)1，即 W=(1,1,1,1,1,1,1)利用法方程 A T Aa = A T Y求解這個方程組，就可以得到系數(shù)a。解之得：0 0.54912, 13.9683 10 5 ,22.9977, 31.9991故擬合的函數(shù)為 : y0.549123.968310 5 x2.9977 x21.9991x3,平方誤差為： 2.176191667187105e-05擬合的函數(shù)圖像如下：3次多項式擬合,平方誤差=2.17

12、62e-055離 散 值4擬合曲線321y 0 -1 -2 -3 -4-5-1-0.500.511.52x第6頁共13頁實驗 5.1常微分方程性態(tài)和R-K法穩(wěn)定性試驗試驗?zāi)康?：考察下面的微分方程右端項中函數(shù)y 前面的參數(shù)對方程性態(tài)的影響 （它可使方程為好條件的或壞條件的）和研究計算步長對R-K 法計算穩(wěn)定性的影響。實驗題目 ：常微分方程初值問題yyx1,0x1y( 0)1,其中，5050。其精確解為y(x)e xx實驗要求 ：（ 1）對于參數(shù)，分別去四個不同的數(shù)值：一個大的正值，一個小的正值，一個絕對值小的負(fù)值和一個絕對值大的負(fù)值。取步長h 0.01 ，分別用經(jīng)典R-K 法計算，將四組計算結(jié)

13、果畫在同一張圖上，進(jìn)行比較并說明相應(yīng)初值問題的性態(tài)。（ 2）對于參數(shù)為一個絕對值不大的負(fù)值和兩個計算步，一個計算步使參數(shù)h 在經(jīng)典 R-K 法的穩(wěn)定域內(nèi)，另一個步長在經(jīng)典的R-K 法的穩(wěn)定域外。分別用經(jīng)典R-K 法計算并比較計算結(jié)果。取全域等距的10 個點上的計算值，列表說明。解: 對于 4 階 R-K 法 絕對穩(wěn)定區(qū)為：2.785h 0這里，所以絕對穩(wěn)定區(qū)為：2.785h0（1）對于 h0.01，絕對穩(wěn)定區(qū)：278.50a21-1-2h0.010.010.010.019微分方程數(shù)值解精確 解8數(shù)值 解765y432100.10.20.30.40.50.60.70.80.910x第7頁共13頁

14、(2)對于20，穩(wěn)定區(qū)0h0.1391a-20-20h0.010.151.1微分方程數(shù)值解,a=-20,h=0.018微分方程數(shù)值解,a=-20,h=0.151精 確 解精 確 解數(shù) 值 解7數(shù) 值 解0.90.860.75y 0.6y 40.530.420.30.210.10.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.900xxxy（精確解）數(shù)值解 y1y1-y數(shù)值解 y2y1-y（ a=-20,h=0.01 ）（ a=-20,h=0.15 ）0.150.1997870.1997892.35E-061.5250001.32521

15、30.300.3024790.3024792.34E-072.1906251.8881460.450.4501230.4501231.75E-083.0496092.5994860.600.6000060.6000061.16E-094.1744633.5744570.750.7500000.7500007.23E-115.6648864.9148860.900.9000000.9000004.32E-127.6579696.757969可見 h=0.01 時，數(shù)值解穩(wěn)定h=0.15 時，數(shù)值解不穩(wěn)定。第8頁共13頁程序源代碼function testCharpt2_1%對數(shù)值分析實驗題第2

16、章第 1 題進(jìn)行分析promps=' 輸入 f 為選擇 f(x) ；輸入 h 為選擇 h(x) ；輸入 g 為選擇 g(x)' result=inputdlg(promps,' 請選擇實驗函數(shù) '); chooseFunction=char(result);switch chooseFunctioncase 'f'f=inline('1./(1+25*x.2)');a=-1;b=1;nameFuc='f(x)'case 'h'f=inline('x./(1+x.4)');a=-5;b

17、=5nameFuc='h(x)'case 'g'f=inline('atan(x)');a=-5;b=5nameFuc='g(x)'end% promps2='n='% nNumble=inputdlg(promps2,' 請輸入分點數(shù) n'); nNumble=2:11for i=1:length(nNumble) x=linspace(a,b,nNumble(i)+1); y=feval(f,x);xx=a:0.1:b;yy=lagrange(x,y,xx) figurefplot(f,a,b,

18、'*')hold onplot(xx,yy,'LineWidth',2)xlabel('x')ylabel('y')legend(nameFuc,'lagrange(x)')nameTitle=' 多項式求值的振蕩現(xiàn)象',' n=',num2str(nNumble(i)title(nameTitle,'FontSize',14);grid onend第9頁共13頁function yy=lagrange(x,y,xx)%s 實現(xiàn)拉格朗日插值%輸入?yún)?shù)x，y 分別為已知

19、插值點的自變量和因變量%輸入?yún)?shù)xx 為擬合點的自變量值%輸出參數(shù)yy 為對應(yīng)自變量xx 的擬合值xLength=length(x);xxLength=length(xx);for i1=1:xxLengthyy(i1)=0;for i2=1:xLengthp=1;for i3=1:xLengthif(i2=i3)p=p*(xx(i1)-x(i3)/(x(i2)-x(i3);endendyy(i1)=yy(i1)+p*y(i2);endend第 10頁共13頁function testCharpt3_1()%對數(shù)值分析實驗題第3 章第 1 題進(jìn)行分析%輸入?yún)?shù)：自變量x，因變量y%輸入?yún)?shù)：多

20、項式擬合次數(shù)nclcclearformat longx=-1.0,-0.5,0.0,0.5,1.0,1.5,2.0y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552n=3A=;for i=1:length(x)A=A;1 x(i) x(i)2 x(i)3endA2=A'*A;a=inv(A2)*A'*y'%多項式的系數(shù)% a=roundn(a,-6) yy=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3; r=(y-yy)*(y-yy)' % 平方誤差clfhold onplot(x,y,'or');x2=-1:0.01:2;y2=a(1)+a(2)*x2+a(3)*x2.2+a(4)*x2.3;plot(x2,y2,'LineWidth',2);legend('離散值 ','擬合曲線 ')xlabel('x');ylabel('y');title('3 次多項式擬合,平方誤差 =',num2str(r),'FontSize',14);gridon第 11頁共13頁function testCharpt5_1%對數(shù)值分析實驗題第3 章第 1 題進(jìn)行分析%