1、幾何最值之胡不歸鞏固練習(xí)(提優(yōu))1 .如圖，拋物線y = x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過B的直線交拋物線于 E,且tan/EBA =,有JD處，再以1.25單位/s的速度沿著 DE爬到E一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段 BE上的點(diǎn)s.【解析】過點(diǎn) E作x軸的平行線，再過 D點(diǎn)作y軸的平行線,兩線相交于點(diǎn)H,如圖, EH / AB , ./ HEB =Z ABE ,tanZHED=tanZEBA =mi 4EH設(shè) DH = 4m, EH =3m,貝U DE=5m,，螞蟻從D爬到E點(diǎn)的時(shí)間=廠寧=4 (s)1 上 J若設(shè)螞蟻從D爬到H點(diǎn)的速度為1單位/s,則螞蟻從D爬到H點(diǎn)的

2、時(shí)間=4m .、-j =4 (s),螞蟻從D爬到E點(diǎn)所用的時(shí)間等于從 D爬到H點(diǎn)所用的時(shí)間相等,，螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段 BE上的點(diǎn)D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點(diǎn)所用時(shí)間等于它從 A以1單位/s的速度爬到D點(diǎn)，再從D點(diǎn)以1單位Is速度爬到H點(diǎn)的時(shí)間，作 AGLEH 于 G,則 AD + DH>AH >AG,. AD + DH的最小值為 AQ的長，當(dāng) y=0 時(shí)，x2- 2x-3=0,解得 x1= 1, x2=3,貝 U A ( 1, 0), B (3, 0),直線BE交y軸于C點(diǎn)，如圖，QQ A在 RtA OBC 中，tan / CBO =,

3、OB 3.OC = 4,則 C (0, 4),設(shè)直線BE的解析式為y=kx + b,把B (3, 0) , C (0, 4)代入得直線BE的解析式為廿=-,解方程組, 下 64，螞蟻從A爬到G點(diǎn)的時(shí)間=(s),即螞蟻從A到E的最短時(shí)間為4內(nèi).2. 如圖，在 ACE中，CA=CE, / CAE = 30°,。經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑 AB在線段AE上.(1)證明：CE是。的切線；(2)若 ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。O的直徑AB ;(3)設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接OD,當(dāng)|cD+OD的最小值為6時(shí)，求。O的直徑AB的長.【解答】（1）見解析；（2） A

4、I3= -3-h ； （3） AB【解析】（1）連接OC,如圖, . CA = CE, / CAE = 30°,.Z E=Z CAE =30°, Z COE=2Z A = 60°, ./ OCE = 90°, .CE是。O的切線；(2)過點(diǎn)C作CH LAB于H,連接OC,如圖,由題可得CH = h.在 RtOHC 中，CH = OC?sinZ COH ,h=OC?sin60 = Tj-OC,.OC =(3)作OF平分/ AOC,交。于F,連接 AF、CF、DF,如圖,則/AOF = /COF= ：/AOC= i (180 60°) =60

5、76;.-，OA = OF = OC,.AOF、COF是等邊三角形，AF =AO =OC= FC,，四邊形AOCF是菱形，根據(jù)對稱性可得 DF=DO.過點(diǎn)D作DH XOC于H,. OA = OC, ./ OCA = Z OAC = 30°,DH = DC?sinZ DCH = DC?sin30° =DC ,I _ _ _-CD+OD=DH + FD.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH + FD (即CD + OD)最小,此時(shí) FH=OF?sin/ FOH= -pOF = 6,則 OF= 4, AB = 2OF= 8 也.當(dāng)|cD + OD的最小值為6時(shí)，

6、O O的直徑AB的長為8代.3. 拋物線廿=廣工廠工+ VG與:r軸父于點(diǎn) a、B (A在B的左邊)，與軸父于點(diǎn) C,點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一點(diǎn)， PFe軸于點(diǎn)F, PF與線段AC交于點(diǎn)巳將線段OB沿軸左右平移，線段OB的對應(yīng)線段是O.Bi ,當(dāng)尸£+9萬。的值最大時(shí)，求四邊形 POjBjC周長的最小值，并求出對應(yīng)的 點(diǎn)0的坐標(biāo).令 y = 0 ,即 - T7 + y/H = 口 ,解得工1 = - 3dHi0 = /2 ,Uo松取仁仆)，令 $ =。，解得獷=£毛，C(0 g V®.l ,、小V人一一、川1 -九" +設(shè)直線AC的解析式為y =匕

7、+ j ,將A、C兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入得_b = V6=且解得3 ，直線AC的解析式為#= £H十 代,設(shè)F(JO), 丁 PFt軸，且點(diǎn)E在直線AC上，點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上,，F(xiàn)E = PF EF = - *6/OC=,OA = .urn/ag =熟=空，./ CAO = 300FJ 月t3過點(diǎn) E 作 EH / AB 交 y 軸于點(diǎn) H ,則 EH±y 軸且/ CEH = / CAO = 300,，CH = EC , 二PF，x 軸，F(xiàn)OXOH, EH，y 軸，四邊形 EFOH 為矩形,QH =月產(chǎn)=呼£ +述，：5=C = -烏 O"J尸

8、3;+暴C二尸月PE +.=一叫.一小一叫.警,“E+“c一乎產(chǎn)竽哈G+26+竽, 當(dāng)t = -2調(diào)時(shí)，PE + 取得最大值，此時(shí) 產(chǎn)（-2注.用）,:. PC/ 鼻軸， PFe軸，CO,二軸，Uf/F, 四邊形PFOC為矩形，作C關(guān)于£軸的對稱點(diǎn)D,連接DB1,則BiC=BiD,過Oi作OQ/ B1D且OiQ=BiD,連接DQ、PQ,PQ交£軸于點(diǎn)G.則四邊形 OiBiDQ為平行四邊形. 01 區(qū)=，。出=OB = DQ = >/2,DiQ=BiP,HiC =, BiC = 0iQ,PC =P0+ 0Q+ /2 + 2V2 =F0i +QQ十 3g當(dāng)01+0iQ最小

9、時(shí)，四邊形 OK"的周長最小，而0十O|QN PQ, 當(dāng)點(diǎn)。與G重合時(shí)，/0十QQ的值最小為PQ的長， 點(diǎn)C、D關(guān)于不軸對稱，且£8一）,二口（0, -通）,V 秩為IIQ5QD = 93 =，Q（-g-7S）,/ PQ =艮 g + 優(yōu)）+ （述 + ''=V2G，尸Oi + OjQ的最小值為v瓦,即四邊形 尸01Hle'的周長的最小值為 v瓦,設(shè)直線PQ的解析式為y =療仃+凡， in + 捏=一 vTi f m 2v/3 L V L，解得L，-2/2 + n= n = -3/6=- 2/一？/，k4.如圖）已知拋物線 y=彳（x+2） （x-4

10、） （k為常數(shù)）且k>0）與x軸從左至右依次交于 A, B兩點(diǎn)）與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)B的直線y = 3gx+b與拋物線的另一交點(diǎn)為 D. J（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A, B, P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設(shè) F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF, 一動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動到 F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動到 D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo) 是多少時(shí)，點(diǎn) M在整個(gè)運(yùn)動過程中用時(shí)最少？時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動過程中用時(shí)最少 .-2, 2V3 )【解析】(

11、1)拋物線y=± (x + 2) (x-4),令y= 0,解得x= - 2或x=4, .A (- 2, 0), B (4, 0).;直線y = -%+ &經(jīng)過點(diǎn)B (4, 0),V31V3 Tj- X 4+ b= 0, 斛得 b= - ,4/34/3 直線 BD 解析式為： y 3- 7 H4-.當(dāng) x= _ 5時(shí)，y = 31/3 , .D (- 5, ：/). 點(diǎn) D ( 5,)在拋物線 y= - (x+2) (x-4)上,oj(-5+2)(-5-4)= 3/3, o，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=(x+2) (x-4).(2)由拋物線解析式，令 x=0,得y=- k, .C

12、 (0, - k), OC=k.因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以/ ABP為鈍角.因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是ABC s' apb或 abc s' pab .若 ABCapb,則有/ bac =/ pab,如答圖2 - 1所示.設(shè)P (x, y),過點(diǎn)P作PN±x軸于點(diǎn)N,則ON = x, PN = y.tan / BAC = tan Z PAB，即：& =,P (x, ：x+k),代入拋物線解析式 y= : (x+2) (x-4),kJr得工(x + 2) (x-4) = x+ k,整理得：x2-6x-16=0,解得：x=8或x= - 2 (與點(diǎn)A重合

13、，舍去)，P (8, 5k). ABCA APB ,解得： 若 ABCA PAB ,則有/ ABC =Z PAB,如答圖2-2所示.設(shè)P (x, y),過點(diǎn)P作PN±x軸于點(diǎn)N,則ON = x, PN = y., _ r 一 卜Vtan/ABC = tan/PAB,即： 7二 二力，箸圖24SSi.2kI-k .P(x, ?x+ ：),代入拋物線解析式 y= - (x + 2) (x-4), 42S得上 (x + 2) (x - 4) = §x+g,整理得：x2 - 4x - 12 = 0,X42解得：x=6或x= - 2 (與點(diǎn)A重合，舍去)，P (6, 2k). ABC

14、A PAB,AB CB=.AP AH '6 .v!H£,盛？+6工6解得"土僅k>0,用=V-,綜上所述，k. =或k =、網(wǎng).(3)方法一：如答圖3,由（1）知：D （ 5,3代）,如答圖 2 2,過點(diǎn) D 作 DN，x 軸于點(diǎn) N,則 DN = 3、/5, ON = 5, BN=4+5=9, .tan / DBA =DN 苑/ DBA = 30° .過點(diǎn) D 作 DK / x 軸，則/ KDF = / DBA = 30°.過點(diǎn)F作FG，DK于點(diǎn)G ,則FG= D DF .由題意，動點(diǎn) M運(yùn)動的路徑為折線 AF + DF,運(yùn)動時(shí)間：t=A

15、F+】DF,，t = AF+FG,即運(yùn)動的時(shí)間值等于折線AF + FG的長度值.由垂線段最短可知，折線 AF + FG的長度的最小值為 DK與x軸之間的垂線段.過點(diǎn)A作AH XDK于點(diǎn)H,則t最小=AH , AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求之 F點(diǎn).A點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2,直線BD解析式為：y,y = -苧 X (-2)+弓3 = 2/F (-2, 2V).綜上所述，當(dāng)點(diǎn) F坐標(biāo)為(-2, 2v氣)時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動過程中用時(shí)最少.方法二：作 DK / AB , AH ± DK , AH 交直線 BD 于點(diǎn) F,/ DBA = 30°, ./ BDH =30°,FH =

16、DF x sin30 =，當(dāng)且僅當(dāng) AHDK時(shí)，AF + FH最小,點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動中用時(shí)為:AF . Fx = Ax= - 2, F (-2, 25/3 ).5.(1)如圖1,已知正方形 ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，求PD+PC的最小值和 PD - ： PC的最大值；、，一 一 ,2(2)如圖2,已知正萬形 ABCD的邊長為9,圓B的半徑為6,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，那么PD+ - PC的最小值為 , PD - - PC的最大值為 .(3)如圖3,已知菱形 ABCD的邊長為4, / B=60°,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，那么【解答】(1)

17、 5, 5; (2) /l06 , V底；(3) 忻，【解析】(1)如圖1中，在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=1.7Jt7(2)如圖的PBUci麗，. / PBG = Z PBC,/ PBG = Z PBC, Pli . PBGACBP,PC PB 2 'PG= - PC, 2PD+ - PC = DP+ PG,2 DP+PG>DG,當(dāng)D、G、P共線時(shí)，PD+；PC的值最小，最小值為 DG="7n三=5. PD- 2 PC =PD-PGWDG,當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí)，PD - 2PC的值最大（如圖2中），最大值為DG = 5.3中，在BC上取一點(diǎn)G,使得BG = 4. .

18、 PBGACBP,FG13G2.=一.PCPB32 PG= 1PC ,PD+= DP+ PG,3; DP+PG>DG,9當(dāng)D、G、P共線時(shí)，PD+彳/。的值最小，最小值為 "G= /G + fV = 海記. 1j PD- 士尸C7=PDPGW DG,jDG = 006 .當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí)，PD-:嚴(yán)。的值最大，最大值為(3)如圖4中，在BC上取一點(diǎn) G,使得BG = 4,作DFLBC于F.2 c BC 12BG - T FB 一我 1' . PBGACBP,，空二空PC PR ”PG=/ C.PD+ PC=DP+PG, DP+PG>DG,當(dāng)D、G、P共線時(shí)

19、，PD+ J尸C的值最小，最小值為 DG,在 RtACDF 中，/ DCF = 60°, CD = 4, . DF = CD?sin60° =, CF=2,在RtGDF中，DG= FC=4口遙1+笊=，. PD ± PCd PD PGW DG ,當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí)，PD -1戶口的值最大(如圖2中)，最大值為DG =/療.6.如圖1,拋物線y=ax2+ (a+3) x+3 (aw0)與x軸交于點(diǎn)A (4, 0),與y軸交于點(diǎn)B,在x軸上有一動點(diǎn)E (m, 0) (0vm<4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線 AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn) P,過點(diǎn)P作PMXAB于點(diǎn)M.(1)求a的值和直線 AB的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè) PMN的周長為Ci, AEN的周長為 C2,若G _ C 亂一記求m的值;(3)如圖2,在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 OE ,旋轉(zhuǎn)角為a(0°< “V 90°),連接E' AE'匕求E'肚稱E' B的最小值.IJqqj【解答】(1) a= , y =+ 3 ; (2) m=2; (3)萬44iJ【解析】(1)令 y=0,貝U ax2 + (a+3) x+3=0,( x+1) (ax