1、二、函數的有關概念1.函數的概念：設 A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合 A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數 f(x)和它對應，那么就稱f : AtB為從集合A到集合 B的一個函數.記作：y=f(x) , x A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍 A叫做函數的定義域； 與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| x A 叫做函數的值域.1 .定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數不小于零；(3) 對數式的真數必須大于零；(4) 指數、

2、對數式的底必須大于零且不等于1.(5) 如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6) 指數為零底不可以等于零，(7) 實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義相同函數的判斷方法：表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關)；定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2 .值域：先考慮其定義域(1) 觀察法配方法(3) 代換法3.函數圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x) , (x A)中的x為橫坐標，函數值 y為縱坐標的點P(x , y)的集合C,叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象.

3、C上每一點的坐標(x , y)均滿足函數 關系y=f(x)，反過來，以滿足 y=f(x)的每一組有序實數對 x、y為坐標的點(x , y)，均在C上. 畫法A、描點法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對稱變換4 .區間的概念(1) 區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間(2 )無窮區間(3)區間的數軸表示.5. 映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對應，那么就稱對應 f: AB為從集合A到集 合B的一個映射。記作"f (對應關系)：A (原象)r B

4、 (象)”對于映射f : atB來說，則應滿足：(1) 集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3) 不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6. 分段函數(1) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2) 各部分的自變量的取值情況.(3) 分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集. 補充：復合函數如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),則 y=fg(x)=F(x)(x A) 稱為 f、g 的復合函數。二函數的性質1. 函數的單調性(局部性質)(1) 增函數設函數y=f(

5、x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量 xi, X2，當 Xi<X2時，都有f(x i)<f(x 2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區 間-如果對于區間D上的任意兩個自變量的值Xi, X2,當Xi<X2時，都有f(x 1) >f(x 2),那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局部性質；(2) 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升

6、的，減函數的圖象從左到右是下降的(3) .函數單調區間與單調性的判定方法(A) 定義法： 任取 X1, X2 D,且 X1<X2； 作差 f(x 1) f(x 2)； 變形(通常是因式分解和配方)； 定號(即判斷差f(x 1) f(x 2)的正負)； 下結論(指出函數 f(x)在給定的區間D上的單調性).(B) 圖象法(從圖象上看升降)(C) 復合函數的單調性復合函數fg(x)的單調性與構成它的函數 u=g(x) , y=f(u)的單調性密切相關，其規律： "同增 異減”注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.8函數的奇偶性(整體性

7、質)(1) 偶函數一般地，對于函數 f(x)的定義域內的任意一個X,都有f( x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.(2) .奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X ,都有f( x)= f(x),那么f(x)就叫做奇函數.(3) 具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于 y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱.利用定義判斷函數奇偶性的步驟：首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；(可確定f( x)與f(x)的關系；(作出相應結論：若 f( x) = f(x)f(x) 或 f( x) + f(x) = 0 ，則 f(x)或f( x) f(x) = 0，貝y f(x)是偶

8、函數；若f(是奇函數.注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件首先看函數的定義域是否關于原 點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數若對稱，(1)再根據定義判定；(2)由f(-x)或f(x) /f(-x)= ± 1來判定；(3)利用定理，或借助函數的圖象判定9、函數的解析表達式(1) .函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們 之間的對應法則，(2)1)2)3)4)10.x)=± f(x)= 0二是要求出函數的定義域求函數的解析式的主要方法有： 湊配法 待定系數法 換元法 消參法函數最大(小)值(定義見課本p36頁)利用二次函

9、數的性質(配方法)求函數的最大(小)利用圖象求函數的最大(小)值如果函數y=f(x)在區間a，b上單調遞增，在區間 最大值f(b);如果函數y=f(x)在區間a， b上單調遞減，在區間 最小值f(b);例題：1.求下列函數的定義域：b , c上單調遞減則函數y=f(x)在b，c上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有x=b處有.x2 -2x -15y 二x 3 -32.設函數f(x)的定義域為0,1，則函數3. 若函數f (x -1)的定義域為-2,Jx 2(x 乞-1)4. 函數一、 2，若f (x) =Qx (1 <x <2)2x(x _2)5. 求下列函數的值域：2 y =x

10、 2x -3 (x 三R)yT：)2f (x2)的定義域為3，則函數f(2x_1)的定義域是-H-*f(x) =3，貝u x = y =x2 2x -3 x 1,2利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值:yx2 4x 56.已知函數f(x-1) =X2 -4x，求函數f(x), f(2x 1)的解析式7.已知函數 f(x)滿足 2f(x) f( -x3x 4，則 f (x) =8.設f(*是R上的奇函數，且當x迂0,掃c)時，f(X)=X(1+MX)，則當xE(-oa,0)時f(x) =f(x)在R上的解析式為9. 求下列函數的單調區間： y =x2 2x 3 y - . -x2 2x 3 y

11、 = x2 -6 x -110. 判斷函數y - _x3 1的單調性并證明你的結論1f( ) =f(x)x11. 設函數f(x) =L_2L判斷它的奇偶性并且求證:1 x2第三章基本初等函數一、指數函數(一) 指數與指數幕的運算1 根式的概念：一般地，如果x" =a，那么x叫做a的n次方根，其中n >1，且n N負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是 0,記作n 0 = 0。當n是奇數時，；an = a，當n是偶數時，n. an =|a|="):-a (acO)2 分數指數幕正數的分數指數幕的意義，規定：mm 1 1 *an = %'am(a >0,m,

12、n N ,n a1) , a n = = , (a >0,m, n N , n > 1)a下0的正分數指數幕等于 0, 0的負分數指數幕沒有意義3 實數指數幕的運算性質rrr七(1) a a a(a 0,r,s R)；r srs(2) (a ) =a(a 0,r,s R)；(3) (a 0,r,s R) (二) 指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數 y=ax(a 0,且a = 1)叫做指數函數，其中 x是自變量,數的定義域為R.注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1 2、指數函數的圖象和性質值域y>0值域y>0在R上單調遞增在R上單調遞減非奇

13、非偶函數非奇非偶函數函數圖象都過定點(0, 1)函數圖象都過定點(0, 1)注意：禾U用函數的單調性，結合圖象還可以看出：(1 )在 a, b上，f(x)二ax(a O且 a")值域是f(a),f (b)或f(b),f (a)；(2) 若x = 0，則f (x) = 1 ； f (x)取遍所有正數當且僅當 x R ；(3) 對于指數函數f(x)二ax(a .0且a/)，總有f(1) = a ；二、對數函數(一)對數1 對數的概念：一般地，如果ax=N (aA0,a1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作:x =loga N ( a 底數，N 真數，loga N 對數式)說明：注意底數

14、的限制a 0 ,且a "； ax = N log a N 二 x ； 注意對數的書寫格式.一兩個重要對數： 常用對數：以10為底的對數lg N ； 自然對數：以無理數 e =2.71828 為底的對數的對數ln N .指數式與對數式的互化冪值真數ab = N = loga N = b底數指數對數（二）對數的運算性質如果a0 ,且a =1 , M 0 , N 0 ,那么: loga（M N）二 loga M + loga N ; log a M = loga M - loga N ；N logaMn 二 n loga M （n R）.注意：換底公式log a b = I。®c

15、 b（ a 0 ,且 a=1 ； c 0，且 c=1 ； b 0）.logc a利用換底公式推導下面的結論n nI（1） log am b log a b ; （2） loga b 二 mlog b a（二）對數函數1、對數函數的概念：函數 y =logax（a .0,且a = 1）叫做對數函數，其中 x是自變量，函數的定義域是（0, +m）.注意： 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：y=2log2x,X都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數.5二 logy對數函數對底數的限制:2、對數函數的性質:(a 0 ,且 a = 1).（三）幕函數1、 幕函數定義：一般地，形如

16、y = x（a R）的函數稱為幕函數，其中 :-為常數.2、幕函數性質歸納.（1） 所有的幕函數在（0, +8）都有定義并且圖象都過點（1, 1）;（2） 0時，幕函數的圖象通過原點，并且在區間0, ：）上是增函數.特別地，當1時, 幕函數的圖象下凸；當 0 ：1時，幕函數的圖象上凸；（3） ：0時，幕函數的圖象在區間 （0,匸：）上是減函數.在第一象限內，當x從右邊趨向原點 時，圖象在y軸右方無限地逼近 y軸正半軸，當x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近 x軸 正半軸.例題：1.已知a>0, aHo，函數y=ax與y=log a（-x）的圖象只能是（）2. 計算： log32 二 ； 2

17、4 109 23 =; 25；叫27 2叫2=；log 27 64 O.O64.(_7)0(G)3： 16-750.01；=83. 函數y=log 1 (2x2-3x+1)的遞減區間為24. 若函數f (x) =logax(0 <a <1)在區間a, 2a上的最大值是最小值的 3倍，則a=5. 已知f(x)=logat(a：>a護)，(。求f(x)的定義域(2)求使f(x)>0的X的取值范圍1 X第三章函數的應用一、方程的根與函數的零點1、 函數零點的概念：對于函數y二f (x)(x D)，把使f (x) = 0成立的實數 x叫做函數 y = f(x)(x D)的零點。2、 函數零點的意義：函數y二f (X)的零點就是方程f(x) =0實數根，亦即函數 y二f (X)的圖象與X軸交點的橫坐標。即：方程f (x) 0有實數根=函數y = f (x)的圖象與x軸有交點=函數y = f (x)有零點.3、函數零點的求法： (代數法)求方程