1、第三講：四邊形之類比探究(一)?知識點睛解決類比探究問題的一般方法：1 .若屬于類比探究常見的結構類型，調用結構類比解決.類比探究結構舉例：旋轉結構、中點結構.2 .若不屬于常見結構類型根據題干條件，結合 先解決第一問.類比解決下一問.如果不能，分析條件變化，尋找 :結合所求目標，依據,大膽猜測、嘗試、驗證.?精講精練1 .已知，在 ABC, / BAG90 , / AB(=45 , D為直線BC上一動點(不與點 B, C 重合)，以AD為邊作正方形ADEF連接CF.(1)如圖1,當點D在線段BC上時，求證：BC=CF+CD(2)如圖2,當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出B

2、C CD CF三條線段之間的數量關系.(3)如圖3,當點D在線段BC的反向延長線上時，點A, F分別在直線BC的兩側， 其他條件不變.請直接寫出BC CD CF三條線段之間的數量關系；若正方形ADEF勺邊長為2點，對角線AE, DF相交于點O,求OC的長.2 .如圖1,在四邊形ABCW, AB=CD E, F分別為BC AD的中點，連接EF并延長，與 BA, CD的延長線分別交于點 M N,則/BM = /CNE(1)如圖2,在四邊形ADBg, AB與CD相交于點O,AB=CD E, F分別為BC, AD的中點，連接EF,與CD AB分別交于點M N,判斷OM ONfe間的數量關系，并證明你的

3、結論.(2)如圖3,在 ABC中，AC AB,點D在AC邊上，且AB=CD E, F分別為BC AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G,連接DG若/ EFC=60 ,判 斷ADG勺形狀，并證明你的結論.圖1圖33 .已知，在正方形ABCW, BEF是以BF為斜邊的等腰直角三角形，取 DF的中點G 連接EG CG(1)如圖1,若4BEF的斜邊BF在BC上，猜想EGffi CG之間的數量關系，并證明.(2)將圖1中的4BEF繞點B順時針旋轉45 ,如圖2所示，則(1)中的結論是否仍成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(3)將圖1中的4BEF繞點B順時針旋轉任意角度，如圖3所

4、示，則(1)中的結論 是否仍成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.圖1圖2圖34.在菱形ABC訓正三角形BGF中，/ABG60 , P是DF的中點，連接PG PC如圖1,當點G在BC邊上時，易證：PG 3PCC (不必證明).(1)如圖2,當點F在AB的延長線上時，線段PC, PG有怎樣的數量關系？寫出 你的猜想，并給予證明；(2)如圖3,當點F在CB的延長線上時，線段PC, PG又有怎樣的數量關系？請 寫出你的猜想(不必證明).圖3【參考答案】? 知識點睛2.分支條件不變特征，不變特征?精講精練1. (1)證明略.提示：題目中有旋轉結構，證明 ABDAACF (SAS),得到BD=

5、CF,進而得證.(2) BC CF CD .(3) BC CD CF ; OC 2 .2. (1) OM ON ,證明略.提示：取BD的中點H,連接EH, FH. 11則 FH/AB, FH AB, EH/CD, EH CD, 22由AB CD得EH FH ,進而可得 OM ON .(2) AADG是含30角的直角三角形，證明略.提示：連接BD,取BD的中點H,連接EH, FH .3. (1) EG CG,證明略.提示：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半.(2) (1)中的結論仍成立，證明略.提示：延長EG,交CD于點H.證明EFGHDG (ASA),得到 EF HD , EG HG ,再由直角

6、三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可得證.(3) (1)中的結論仍成立，證明略.提示：過點D作DH / EF,交EG的延長線于點H,連接CE, CH.4. (1) PG T3PC ,證明略.提示：延長GP,交AD于點E.證明DEPzXFGP (ASA),得到 PG PE , DE FG ,證明CEDWCGB (SAS),得到 CE CG ,由三線合一得，PGXPC,進而可得PG V3PC .(2) PG 出PC四邊形之類比探究（一）（隨堂測試）1.如圖1,點E為正方形ABCD邊CB延長線上一點，在 BEFEF=BE,連接DF.取DF的中點G,連接CG, EG,易證CG=EG（1）如圖2,將4BEF

7、繞點B順時針旋轉，使BE落在AB邊上,3此批：0G某留做題痕跡； G1出不變結構； ,將佻比解決問題BD上，其他條件不變，則線段 CG, EG有怎樣的數量關系和位置關系？請寫出你 的猜想，并加以證明.（2）如圖3,將4BEF繞點B逆時針旋轉90,其他條件不變.若 AB=3, BE=1,請直接寫出CG的長.分析不變特征工對比四1,圖2中的條件,發現一是不變特征;考慮 與 組臺.形成不變結構；類比此結構整決問題.路線圖（示洌）場中點考慮輔助線，7【參考答案】1. (1) CG=EG 且 CGXEG,證明略.(2) .5四邊形之類比探究（一）（習題）?例題示范例1:已知等腰三角形 ABC中，/ACB

8、=90,點E在AC的延長線上，且/ DEC=45 , M, N分別是DE, AE的中點，連接 MN,交直線BE于點F.當點D在CB的延長線上1時，如圖1所小，易證MF FN BE .2（1）如圖2,當點D在CB邊上時，上述結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成 立，請寫出你的猜想，并說明理由.（2）當點D在BC的延長線上時，如圖3所示，請直接寫出線段 MF, FN, BE之間的 數量關系（不需要證明）.圖1圖2圖39【思路分析】1.里面有多個中點，考慮中位線,先證明易證的思路.連接AD,由中位線定理可知MN由題意可證 ACDABCE,得到AD=BE,MNM是DE的中點，N是AE的中點2.1

9、所以 MF FN BE.2照搬易證的思路解決第一問.MN=1AD2連接AD,由中位線定理可知MN ACDA BCE (SAS)由題意可證 ACDABCE,得到AD=BE,MN3.1 所以 NF MF BE.2照搬易證的思路解決第二問.AD=BE連接AD,由中位線定理可知MN2AD，MN= 2AD= 2 BE由題意可證 ACDABCE,得到AD=BE,MNBE,1 所以 MF NF BE.2mf+fn=- BE2【過程書寫】證明：(1)不成立，理由如下：連接AD,在4AED中，M是DE的中點，N是AE的中點, MN是中位線1 MN AD 2在等腰三角形ABC中，/ACB=90 .AC=CB, /

10、ACB=90, /DEC=45 .CD=CE.ACDABCE (SAS) .AD = BE1 MN -BE. FN MF 2-BE 2(2) MF1 FN - BE2#?鞏固練習1.已知 ABC是等邊三角形，D是直線BC上一動點(不與點B, C重合)，以AD為 邊作菱形ADEF (A, D, E, F按逆時針排列)，使/ DAF=60,連接CF.(1)如圖1,當點D在BC邊上時，求證：BD=CF; AC CD CF .(2)如圖2,當點D在BC的延長線上時，其他條件不變，結論 AC CD CF是否 仍成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出 AC, CD, CF之間的數量關系，并說 明理由.(3

11、)如圖3,當點D在CB的延長線上時，其他條件不變，探究 AC, CD, CF之間 的數量關系.圖12.如圖1, C是線段BG上一點，分別以BC, CG為邊，向外作正方形BCDA和正方形 CGEF,使點D落在線段CF上，M是AE的中點，連接DM, FM .(1)求證：DM=FM, DMXFM.(2)如圖2,將正方形CGEF繞點C順時針旋轉45,其他條件不變，探究線段DM, FM之間的關系，并加以證明.(3)如圖3,將正方形CGEF繞點C旋轉任意角度，其他條件不變，探究線段 DM, FM之間的關系，并加以證明.圖1圖2圖33. (1)如圖1, zABC和4BDE都是等腰直角三角形，ABXAC, B

12、DLDE,點D在 AB邊上.取CE的中點F,連接AF, DF,猜想AF, DF之間的數量關系和位置關 系，并加以證明.(2)將4BDE旋轉至如圖2所示的位置，使點E在AB的延長線上，點D在CB的延長線上，其他條件不變，判斷(1)中AF, DF之間的數量 關系和位置關系是否發生變化，并加以證明.圖1圖213【參考答案】? 鞏固練習1. (1)證明略.提示：證明ABDzXACF,得至ij BD=CF, 進而得到AC CD CF .(2) AC CF CD,理由略.(3) AC CD CF .2. (1)證明略.提示：延長DM ,交EF于點H.證明ADMzXEHM (ASA),得到 AD=EH, DM=HM, 進而得到 DFH是等腰直角三角形， 所以 DM=FM, DMXFM.(2) DM=FM, DMXFM,證明略.提示：延長DM ,交CE于點H,連接DF, HF.證明ADMzXEHM (ASA),得到 AD=EH, DM=HM,再證明CDFzXEHF (SAS),得至U DF=HF, /CFD = /EFH,進而得到 DFH是等腰直角三角形，則可得證.(3) DM=FM, DMXFM,證明略.提示：過點E作