1、換元思想在微積分中的應用高楊數學與信息學院數學與應用數學專業07級9班 指導老師：郭瀟摘要：高等數學是高等院校許多專業開設的一門重要的基礎課程，而微積分是高等數學的基礎，學習好這部分知識對后繼課程的學習格外重要。那么怎樣來學好 它呢？除了對概念的深刻理解，再者就要多做相關的習題。在微積分的學習中， 學習者要經常面對大量的計算。如果找不到合適的方法，會讓學習者無所適從， 掌握了解題方法對深刻理解微積分起到事半功倍的作用。其實數學解題的方法很 多，需要我們慢慢的學習和積累。本文結合教學實際，列舉出一些具體問題，單 獨對“換元”這一方法，對微積分相關問題加以討論，或許能開拓學習者的解題思 路，來解決

2、實例問題。關鍵詞：換元；高等數學；微積分；極限；微分；積分Thought substitution of calculusGao YangMathematics and Information Science Mathematics and Applied Mathematics Grade 07 Instructor:Guo XiaoAbstract: Many professional institutions of higher learning higher mathematics is the creation of an important basic courses, and c

3、alculus is the foundation of higher mathematics, study and knowledge of this part of the subsequent courses is particularly important. So how to learn it? Excepting deep understanding of concepts, we should do more necessaryprectice. In the calculus of learning, learners shouldalways face a lot of c

4、alculations. If you can not find a suitable way, you will not know how to master the problem-solving methods on a deep understanding of calculus play a multiplier role. In fact, a lot of mathematical problem-solving approach, we need to learn and accumulate slowly. This combination of teaching pract

5、ice, a number of specific issues listed separately on the "substitution" This method, discussedissues related to calculus, may be able to develop the learner's problem-solving ideas to solve the instance of the problem.Key words: Substitution; Higher Mathematics; Calculus;Limit;Differe

6、ntial;Integral微積分主要包括了極限、微分和積分，所以研究換元思想在微積分中應用， 我們應該分別從這幾個方面來研究。一、換元思想在極限中應用極限是高等數學的基本概念，求解極限的方法靈活多樣。其中，洛必達法則 和等價無窮小代換因具有廣泛的適用范圍而倍受重視。而換元的基本思想是指通 過變量代換，使原問題化繁為簡、化難為易，發生有利的轉化，從而達到解題的 目的。下面舉例談談換元法在求極限過程中的妙用。例1求下列函數的極限呵,x2 2x 2 -1sin x 1'1+£x,(2)lim 沃一y 1Tx=1 0(1)解設 t=x+1則 lim x2 2x Z -Llimx 口

7、 sin x 1 t 0 sin t= lim2 1J0sin t t2 1 1= lim -_-L一t= lim 一 t 50 sin tJ0 sintt2 1 1tlim t 叫 t2 1 1=0（2）解設t=r則= limx 二 1 -tarcsinx例2求limx0Xt11.解. 令 t = arcsin x, 則 x = sin t, 于是原式 =lim= lim=1.x0 sin tt0 sin t . sin tlim 一t t >0 t例3求解. 令 t = ex1, 則x = ln(1+t). 于是原式 = limt = lim , 1, = 1 t Q 1n(1 t)

8、 t)0 ln(1 t)t二、換元方法在微分中的應用在求解微分的過程中，如果能根據問題的特點，靈活巧妙地結合換元法解題, 就可以給解題帶來方便，達到事半功倍的效果。下面談談換元思想在微分中的應 用。例4求函數y = farcsinx2的微分.解：由蟲二曳曲的積分公式知先設u = arcsin x2dx du dx則 y =Fudy = fu du dxdx以上類推，再令t = x .du 11o.一2=-f- = lnu+C= ln|1 + x2|+C .(代回 u = 1 + x ) a 二arcsin? C .x2 aa du = 15 M dx.1-t2 dx而 dt = 2xdxu 1

9、c；:arcsinx21所以 dy =F 2x = J 2x 1-t21-x4三、換元思想在積分中應用換元思想在積分中的應用是微積分學習中的重點內容， 它能使解題思路更 加清晰，使計算更加簡單。而積分主要包括不定積分和定積分。下面談談換元思 想在積分中的應用。1.不定積分的第一換元法一一湊微分先看一個例子：例5求*2 .1 x解.因(1 + x2 )= 2 x,與被積函數的分子只差常數倍數2,如果將分子補成2 x ,即可將原式變形：百一 1 2xdx 1 d 1 x22、原式=一(7 = (丁(令 u = 1 + x )2 1 x22 1 x2F<P （x）+C= F 中（x）中 （x）

10、 = f 即（x）邛 （x）.這就驗證了公式的正確性.例 6 求 / ( ax + b ) mdx , ( m w1 , a w 0 ).1斛.原式 二一 J(ax+b)md(ax+b)a1 a1aumdua(m 1)(ax b)m 1 C .(湊微分d( ax + b )(換元 u = ax + b )（積分）(代回 u = ax + b )3例 7 求 Jx e dx .一 一, 13 o解.原式=-fe d(-x3 )33(湊微分d( x )=3 x2 dx )1,e du =31ue C =3_x+ C (換元u =x3).注.在熟練掌握湊微分法之后，中間換元 u=p （x）可省略不寫

11、，顯得計算過程更簡練，但要做到心中有數.例 8 求 / tan x dx .d cosxcosxIn |cos x| + C .解. 原式 =-sin-x dx = - cosx同理可得f cot x dx = In |sin x| + C .一、 , dx 例9求 2 2x a解.原式=w adx/ >2x 1I<a )1 x 一2 = arctan 一 C例10求f adx2 2-x一 ，1解.原式二1 adxd x1例11求dx , (a = 0)解.原式=21 -x dx= if-dx- - f-dx- 1 2a 'x a x+aj 2a y x -a x + a1

12、 一d(x-a)pd(x+a) 1 r . , i 1, I x - al -=4- =lnxa -ln x + a J + C =In + C2a I x -a b x+a _ 2a2a |x + a|例 12 / secx dx .解.(換元 u = sin x )cosxdx2 cos xd sin x1 -sin2 xdu/_ d(1 -u) d(1 u)1 u 2 I 1 - u 1 u(代回 u = sin x )1 , 1 +sin x=-In21 -sin x-1C In2(1 +sin x)21 -sin2 x=21n21 +sin xcosx,11sinx=In+cosx

13、cosxC = In |secx + tan x | + C .2.不定積分第二換元法.第一換元法公式的核心是/ f W (x)中(x)d x = f f(u)du .從公式的左邊演算 到右邊，就是湊微分換元：u=5(x).如果我們從公式的右邊演算到左邊，就成為換元 的另一種形式，稱為第二換元法.即若u=邛(x)是單調可導函數，那么有公式換元u =中(x)積分代回x =邛-1 (u)f f(u)du = f f m(x)邛 (x)d x = F (x)+C = F(cp-1(u)+C第二換元法常用于被積函數含有根式的情況.例13求dx1.x解.令7x=tu x=t2 (此處中=t2 ).于是原

14、式迪=2t +1 1dt = 2 f 1 -=2t 2ln1+t +C =2%僅一2ln(1+vG )+C(代回 t =P-1 (x)= xx ).注.你能看到，換元，x =t的目的在于將被積函數中的無理式轉換成有理式，然后積分.第二換元法除處理形似上例這種根式vx以外，還常處理含有根式<x2 -a2 , %；x2+a2 , Ja2 -x2 ( a > 0 )的被積函數的積分.被積函數含根式換元方法運用的三角公式/ 22<x -ax = a sectsec t1 = tan21,x2 + a2x = a tan ttan2t + 1 = sec t/ 22va -xx = a

15、 sin t1sin21 = cos21dx例 14 求d ( a > 0 ).22x - aa sect tantdt原式=atant解.令 x = a sec t, 貝U dx = a sec t tan t dt ,于是 =/ sect dt = ln |sect + tan t | + C 1到此需將t代回原積分變量x,用到反函數t = arc secx,但這種做法較繁.下面介紹一種直觀的便于實施的圖解法:圖2.1作直角三角形，其一銳角為t及三邊a, x, Jx2-a2滿足：sect =-.由此, a原式=In | sect + tan t| + C i=lnJ 22x .Vx

16、-a 十 a aCi -lnCiln x + Vx2 -a2,、C=C1lna十 (C1 - ln a )ln x + V x -2 .國一 a sec tdt原式=a sect圖2.2注.Ci是任意常數，In a是常數，由此C = C i In a仍是任意常數.dx例 15 求 f l ( a > 0 ).x2 a2解.令 x = a tan t,貝U dx = a seC t dt ,于是 =f sec t dt = In | sec t + tan t | + C 1 .圖解換元得原式=In | sect + tan t| + C 1ln,x2 a2+ C1=lnx+Vx2+a2

17、+C1-In a公式:C =C1 -lnaIn x + Vx2 + a2 +C .dx二 inx2a2x . x2 ± a2C ( a > 0 ).:,于是1 cos2t .dt2原式 = a cost a costdt =a2出C =例16求1J 解.令 x = a sin t,貝U dx = a cos tdt2-t sin t cost 1 + C2圖解換元得:2 原式二Lx x Ja2 x22c axx 22 c+ C =arcsin, a - x + C2a23.定積分換元法定理.設函數f (x)在區間a, b上連續，且函數x =(|)t)滿足：(1)在區間a , B

18、 上有連續導數 小；arcsin - 十-a a a 當1在a ,B上從a變到B時，皿單調地從a變到b；(H) = a, O) = b ; -b-.則 a f (x)dx = J f 中(t)中'(t)dt應用上述定理計算定積分時，最重要的一點是注意積分上下限的對應關系.即下限a對應著下限a,上限b對應著上限B，不管它們的大小關系如何.定積分與不定積分的換元差別在于：不定積分的結果是函數，積分變量(自變量)應回代到原變量；而定積分的結果是數值，就不必回代成原變量后再代入原來的上下限，只要按新變量的對應上下限代入計算即可.我們看下面的例子，以說明兩個換元過程的差別.例17不定積分dx t

19、 =、x 2tdt1 %x 1 t=2t -2ln1 +t 十CBB=2,x-2ln1 x C ;定積分= 2t-2ln1 t2 dx t = x - 2tdt1 1 <x 1 1 t不必回代 t = ，x 2、2 -2ln1 ,2 L2 2ln2=2、.2 -2 2ln2 -2ln 1-2 .a 2例 18 求 g xex dx解一.原式=eex d(x2 )(湊微分d(x2),積分變量未改，上下限也不改)1 x2 va 1 / a 0、1 / a=-e 0 = 一(e -e )= 一(e 1).2 22解二.原式=1(aex2d(x2 )(湊微分d(x2),積分變量未改，上下限也不改

20、)a u .0e du(換元，積分變量改了，上下限也要改)10= 2 ' a”從上例的兩種解法，你要看清上下限的改變是與積分變量的改變同步且對應的. 四、換元思想在微分方程中的應用換元思想在微分方程中也有著充分體現，解題時必須根據問題的特點，靈活 應用，這樣能給解題帶來方便。下面主要討論在微分方程得求解為題， 可以體會到換元思想的妙用。x_1 = -1的特解例19求微分方程y2 +(x2 -xy ) =0滿足初始條件y解：方程y2 +(x2 -xy ) =0可以化成2V2y-底xy-x.x令1=乂則丫=乂" y' = t+xt'帶入方程得 x, txt =t -1分離變量得1 -1 ,t=1dxx兩邊積分t -In x = In x In ct = In cxt即 y = In cyxy通解是cy二ex1帶入初始條件y (1 ) = 1知c =ey 1最后特解為y -ex由上可見，換元法在高等數學的教學中有著廣泛的應用。因此，在數學學習 時，特別是解數學問題時，要有意識地訓練運用換元法的技能， 有效提高解題的 應變能力與思維能力，從而增