1、第九章 線性定常系統的狀態空間分析與綜合+9.1 線性系統的狀態空間表達式+9.2控制系統狀態空間表達式的解+9.3控制系統的能控性和能觀性9.1 線性系統的狀態空間表達式9.1.1 基本概念 圖 9-1 所示的 電路中，由電路原理可知，回路中的電流 和電容上的電壓 的變化規律滿足如下方程 RLCcuidtduCuuRidtdiLcc) 19( RLiuCcu圖9-1 RLC電路i在知道i和uc的初始值及t=0時的輸入量u的情況下求解微分方程（9-1）就可以求出i和uc的變化規律 和 表征了電路的運動狀態，稱為該電路的狀態變量，icu1. 狀態變量狀態變量 定義：足以完全表征系統運動狀態的最小

2、個數的一組變量 一個用n階微分方程描述的系統，有n個獨立變量，當這n個獨立變量的時間響應都求出時，系統的運到狀態也就都知道了。因此， n階微分方程有n個獨立變量。 同一個系統，狀態變量的選取不是惟一的。 對于一般的物理系統，狀態變量的個數應等于儲能元件的個數。9.1 線性系統的狀態空間表達式2狀態向量狀態向量 把描述系統的 個狀態變量 看作向量 的分量，則 稱為 維狀態向量，記作3 狀態空間狀態空間 以狀態變量 為坐標軸所張成的n維空間， 系統在任意時刻的狀態，在狀態空間中是一個點，隨時間推移，狀態在變化規律在狀態空間中繪出一條軌跡，稱為狀態軌線。n)(,),(),(21txtxtxn)(tx

3、)(txn 簡記為,)()()()(2121nnxxxxtxtxtxtxnxxx,219.1 線性系統的狀態空間表達式4 狀態方程狀態方程 由系統的狀態變量構成的一階微分方程組 式 可以改寫為 若將狀態變量用一般符號 表示，即令 ，并寫成向量矩陣的形式，則狀態方程變為) 19( uLiLRuLdtdiiCdtducc11,1ixixuxc21,uLxxLRLCxx1011021.2.1)29( 9.1 線性系統的狀態空間表達式uLxLRxLdtdxxCdtdx11,121221或式中 對圖9-1所示系統，在以 作輸入時，從式 中消去中間變量 ，得二階微分方程為相應的傳遞函數為buAxx.LLR

4、LCxxx10,110,21bAcu) 19( iuLCuLCuLRuccc11.LCLsRsLCsUsUsGc/1/1)()()(2)39( )49( 9.1 線性系統的狀態空間表達式 若改選 和 為狀態變量，即令 ， 則得一階微分方程組為 寫成矩陣形式 在同一系統中，狀態變量選取的不同，狀態方程也不同。cucu.ccuxux.21,uLCxLRxLCuxxuxcc1121.2.2.1uLCxxLRLCxx10110212.1.x)59( )69( 9.1 線性系統的狀態空間表達式5 輸出方程輸出方程 輸出變量與狀態變量、輸入變量間的函數關系式， 在圖9-1中， 為輸出，用 表示，則有用矩陣

5、表示為其中cuy1xuycxxxTCyy或210101TC)79( )89( 9.1 線性系統的狀態空間表達式6 狀態空間表達式狀態空間表達式 狀態方程與輸出方程組合起來，稱為狀態空間表達式。它構成對一個系統的完整描述。 一般情況下，設單輸入單輸出線性定常連續系統的狀態變量為 ，則一般形式的狀態方程為nxxx,21ubxaxaxaxubxaxaxaxnnnn222221212.112121111.ubxaxaxaxnnnnnnn2211.9.1 線性系統的狀態空間表達式 輸出方程除了是狀態變量的函數外，有時還有輸入變量的直接傳遞，其一般形式為 用向量矩陣表示的狀態空間表達式為式中duxcxcx

6、cynn2211duuxCybAxxT.nnnnnnnnnncccxxxxxxbbbaaaaaaaaa21.2.1.2121212222111211,CxxbA.9.1 線性系統的狀態空間表達式 對于一個 維輸入、 維輸出的多輸入、多輸出系統其狀態空間表達式為式中rmDuCxyBuAxx.mrmmrrmnmmnnmrnrnnrrdddddddddcccccccccyyyuuubbbbbbbbb2112221112112122221112112121212222111211,DCyuB)109( 9.1 線性系統的狀態空間表達式 系統的狀態空間表達式，可以用圖9-2的方框圖表示uBADC.xxy

7、(t)圖9-2 狀態空間表達式的結構圖9.1 線性系統的狀態空間表達式9.1.2 狀態空間表達式的建立 狀態空的建立方法有： 1: 可根據系統的運行機理直接建立 2：可由經典控制理論已建立起來的數學模型，即結構圖、傳遞函數和微分方程來導出。9.1 線性系統的狀態空間表達式1、從系統的機理出發建立狀態空間表達式 例例9-1 建立如圖9-3所示機械系統的狀態空間表達式，并畫出系統的狀態圖。 根據牛頓第二定理有 或表示成 選擇位移 和速度 為狀態變量，令 則Fkmyf圖9-3 機械位移系統22dtydmdtdyfkyFFkydtdyfdtydm22ydtdy/dtdyxyx/,211212.21.,

8、1,xyFmxmfxmkxxx9.1 線性系統的狀態空間表達式 用向量矩陣表示的狀態空間表達式為 狀態圖： 為了更直觀地反映各狀態變量之間的信息傳遞關系，狀態空間表達式常用狀態圖表示。繪制方法如下： （1）有多少了狀態變量，畫多少個積分器； （2）根據所給的狀態方程和輸出方程，畫出相應的加法器和比例器，最后用箭頭連接起來。21212.1.01,1010 xxyFmxxmfmkxx9.1 線性系統的狀態空間表達式 該機械系統的狀態如圖9-4所示。F2.x2x1xym1mfmk圖9-4 機械系統狀態圖9.1 線性系統的狀態空間表達式 2、從系統方塊圖出發建立狀態空間表達式 例例9-2 在圖9-5所

9、示系統中，若選取 作為狀態變量，試列寫其狀態空間表達式，并寫成矩陣形式。321,xxx1x2x3xus32s) 1(2ss圖9-59.1 線性系統的狀態空間表達式由結構圖得整理可得系統狀態空間表達式為寫成向量矩陣形式 11313221,) 1()(2,)3()(2xysxxxssxxxsxu1323.212.31.,32232,xyxxxuxxxxxxyxx.001,020320032100u3、由微分方程（或傳遞函數）求狀態空間表達式 （1）微分方程中不含有輸入的導數項（或傳遞函數中沒有零點）：若系統微分方程為 對應的傳遞函數為ubyayayay00.1.2.012230)()()(asas

10、asbsUsYsG)119( )129( 9.1 線性系統的狀態空間表達式 如果選取 為一組狀態向量，即 則有 記成向量矩陣形式為0.0.0/,/,/bybyby,/,/0.201byxbyx0.3/byx 103221103.32.21.,xbyuxaxaxaxxxxx32103212103.2.1.00,100100010 xxxbyuxxxaaaxxx)139( 9.1 線性系統的狀態空間表達式其狀態結構如圖9-6所示u0a1a2a0by1x2x3x3.x圖9-6 狀態圖9.1 線性系統的狀態空間表達式 一般情況下，由 階微分方程描述的系統為相應的傳遞函數為若選 為狀態變量，那么nuby

11、ayayaynnn00.1)1(1)(01110)()()(asasasbsUsYsGnnn0)1(0.0/,/,/bybybyn,/,/,/30.2.20.1.01xbyxxbyxbyxuxaxaxabyxxbyxnnnnnnn121100)(.0) 1(1./,/)149( )159( 9.1 線性系統的狀態空間表達式系統的狀態空間表達式 如上述這樣選擇的一組狀態變量稱為相變量，得出的表達式 稱為能控標準型。系統矩陣 稱為友矩陣 uxxxxaaaaxxxxnnnnn10001000010000101211210.1.2.1.xby0000)169( )169( A9.1 線性系統的狀態空間

12、表達式（2）輸入方程中含有輸入信號的導數項（或傳遞函數中有零點） 從三階推廣到 n 階系統，系統微分方程為 對應的傳遞函數為 只有當傳遞函數分子多項式的次數小于或等于分母多項的次數時，系統的狀態空間表達式才存在。ububububyayayay0.1.2.30.1.2.01223012233)(asasasbsbsbsbsG)189( )199( 9.1 線性系統的狀態空間表達式 當 的分子次數等于分母次數時，首先應用綜合除法把 變成嚴格有理分式，即式中， 是直接聯系輸入、輸出的前饋系數。式中則由 可導出能控和對角線標準型的狀態空間表達式。)(sG)(sG)()()()()()(301223012230122330031123223sDsNbasasasssbasasasbabsbabsbabbsG3b012230122)()(asasassssDsN322231113000babbabbab)(/ )(sDsN)209( )219( )229( 9.1 線性系統的狀態空間表達式第九章 線性定常系統的狀態空間分析與綜合 串聯分解：將 分解為兩部分相串聯如圖9-7所示。 為中間變量， ， 則應滿足若選狀態分量 ，則狀態方程為)(/ )(sDsN)(/ )(sDsNzzyzzzyuazaz