1、分類加法計數原理與分步乘法計數原理說課稿教材分析分類加法計數原理與分步乘法計數原理是人類在大量的實踐經驗的基礎上歸納出 的基本規律，它們不僅是推導排列數、組合數計算公式的依據，而且其基本思想方法也 貫穿在解決本章應用問題的始終，在本章中是奠基性的知識。返璞歸真的看兩個原理， 它們實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法運算的推廣。 從思想方法的角度 看，運用分類加法計數原理解決問題是將一個復雜問題分解為若干“類別” ，然后分類 解決，各個擊破；運用分步乘法計數原理是將一個復雜問題的解決過程分解為若干“步 驟”，先對每個步驟進行細致分析，再整合為一個完整的過程。這樣做的目的是為了分 解問題、

2、簡化問題。可見，理解和掌握兩個計數原理，是學好本章內容的關鍵。教學目標分析1、知識目標：使學生熟練掌握兩個原理的內容、區別，能夠靈活的應用兩個原理解決常見的計數問題。2、能力目標：在教學過程中，凸顯兩個原理發現的原始過程，使學生深刻理解由特殊到一般的歸納推理思維，在應用原理解決問題時，體會一般到特殊的演繹推理思維，從而培養學生 的抽象概括能力、邏輯思維能力以及解決實際問題時主動應用數學知識的能力。3、德育滲透目標：通過探索與發現的過程，使學生親歷數學研究的成功和快樂，感悟數學樸實無華的 內在美，學會提出問題、 分析問題、解決問題、 推廣結論進而完善結論的數學應用意識， 激發學生勇于探索、敢于創

3、新的精神，優化學生的思維品質。教學問題診斷兩個原理的獲得過程對于學生來講并不難，學生已經具備了由具體問題抽象概括、 總結歸納的能力，對于兩個原理的應用，尤其是分類、分步的區別是認識上的難點，事 實上，經驗表明：有些學生一直到高考前都難以準確的區分好兩個原理，教學始終牢牢 把握這一難點也是重點展開。四、本節課的教學特點以及預期效果分析普通高中數學課程標準指出：高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程。新課程標準的價值取向是要求教師 成為決策者而不是執行者，要求教師創造出班級氣氛、創造出某種學習環境、設計相應 教學活動并表達自己的教育理念等等。基于以上

4、思想，本節課采用問題式教學為主線，輔以啟發式、探究式、自主式、討論式教學方式。教學內容以 2010 年南非世界杯相關問題背景為主線展開，輔以大量的 實際例子，形成學生對于兩個原理的發現、歸納、總結、應用、推廣、再認識的過程。具體而言，設置以下幾個環節：1、【創設情境、設疑激趣】引入采用世界杯總場數的設問，引導學生發現逐個列舉所有場數不易操作，從而引 出研究計數問題的必要性并給出計數問題的含義。給出課題，指明探究方向。2、【問題導學、研究分類加法計數原理】先用世界杯網絡測試的背景作為引例，啟發學生放飛思維，聯系生活實際，舉類似 的例子；再引導學生充分討論，深入探究，尋求例子的共性，歸納、概括出分

5、類加法計數原理；接著為了加深對于原理的認識，給出“原理”的含義，并進一步對原理的內容 進行解釋，強調“完成一件事” “分類”“加法”三個關鍵詞；再通過實例引導學生推廣 原理；最后依然用世界杯的背景例子啟發學生歸納出分類的基本原則： “不重不漏”。3、【類比研究、研究分步乘法計數原理】完全類比分類加法計數原理的研究思路，充分討論，層層設問，得出原理，延伸推 廣，強調分步注意“步驟完整，步步相依”4、【典型例題、區分兩個原理】把課本上的書架三層有三種書分別若干本的例子，改編為三問：第一問求任取一本 書的取法數，直接用分類加法計數原理即可解決；第二問求每層各取一本書的方法數，直接用分步乘法計數原理；

6、第三問求取兩本不同學科的書的方法數，需要先分類，再分 步，體現了兩個原理的綜合應用。本題旨在同一背景下認識兩個原理，區分兩個原理， 尤其區分“類”和“步” 。然后先討論，再和學生一起歸納出兩個原理的聯系和區別， 填充表格。5、【課下討論探究】設計了兩個小題， 分別是參賽、 奪冠兩個極易混淆的背景， 需要學生課下充分討論、 探究，深思熟慮再解決，是課堂教學的延伸。6、【布置作業、反思小結】布置課后作業，小結內容，提煉歸納出利用兩個原理解決計數問題的一般思路。最 后指出：細微的生活中往往蘊涵著深刻的數學思想方法，利用數學工具研究繽紛多彩的世界充滿了無限的樂趣！這就是數學的魅力！最后預祝大家都能學好

7、數學、用好數學、 欣賞數學、熱愛數學！通過以上設計，預期達到以下效果：使學生在對于兩個原理的發現過程中，體會由 特殊到一般的歸納推理思維；在應用原理解決實際問題的過程中，體會主動應用數學的 意識；通過大量的老師舉例、學生舉例、典型例題，使學生熟練兩個原理的應用，體會 兩個原理的廣泛應用。新的課程改革的理念側重以下四個環節：以人為本；樹立開放的大課程觀；樹立師 生交往互動的平等觀；強調整合構建新的課堂教學目標體系。本節課圍繞以上四個環節 緊密展開，力求通過對于兩個原理的探究，提高學生數學素養，增強學習興趣，優化學 習習慣，提高數學能力。分類加法計數原理與分步乘法計數原理教學設計、本節課教學內容的

8、本質、地位、作用分析分類加法計數原理與分步乘法計數原理是人類在大量的實踐經驗的基礎上歸納出 的基本規律，它們不僅是推導排列數、組合數計算公式的依據，而且其基本思想方法也 貫穿在解決本章應用問題的始終，在本章中是奠基性的知識。返璞歸真的看兩個原理， 它們實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法運算的推廣。 從思想方法的角度 看，運用分類加法計數原理解決問題是將一個復雜問題分解為若干“類別” ，然后分類解決，各個擊破；運用分步乘法計數原理是將一個復雜問題的解決過程分解為若干“步 驟”，先對每個步驟進行細致分析，再整合為一個完整的過程。這樣做的目的是為了分 解問題、簡化問題。可見，理解和掌握兩個

9、計數原理，是學好本章內容的關鍵。、教學目標分析知識目標:使學生熟練掌握兩個原理的內容、區別，能夠靈活的應用兩個原理解決常見的計數 問題。能力目標:在教學過程中，凸顯兩個原理發現的原始過程，使學生深刻理解由特殊到一般的歸 納推理思維，在應用原理解決問題時，體會一般到特殊的演繹推理思維，從而培養學生 的抽象概括能力、邏輯思維能力以及解決實際問題時主動應用數學知識的能力。德育滲透目標:通過探索與發現的過程，使學生親歷數學研究的成功和快樂，感悟數學樸實無華的 內在美，學會提出問題、分析問題、解決問題、推廣結論進而完善結論的數學應用意識, 激發學生勇于探索、敢于創新的精神，優化學生的思維品質。三、教學過

10、程【引入】展示世界杯圖片：2010南非世界杯是今年全球的一大體育盛事。32支球隊齊聚南非，觀眾席上，人山人海，彩旗飄飄；綠茵場上，群雄逐鹿，球技高超，真是 一場難得的視覺盛宴啊！通過小組賽、十六強賽，八強賽、四強賽、季軍賽、決賽，最 終決出冠亞季軍，大家知道總共進行了多少場比賽嗎生齊答：64場。正確！這個場數我們能否通過一一列舉出所有的場次，逐個數出呢?學生1我覺得應該可以，但是方法數較大，操作起來繁瑣。沒錯。其實，在生活中，我們還會遇到很多類似的方法數的計算問題，這種 問題我們稱之為計數問題。（板書）一、計數問題：計算完成一件事的方法數的問題。我們將通過本章的研究學習解決不通過逐個數來確定這

11、種方法數的技巧方 法。【新課】今天我們先來研究解決計數問題的兩種最基本、最重要的方法:字幕：1.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理首先，我們大家一起來研究問題1.（鏡頭指向幻燈片）【問題1】南非世界杯開賽前，中央電視臺某位記者通過網絡測試了解到觀眾最感興趣歐洲球隊和美洲球隊如下:歐洲球隊美洲球隊德國巴西英格蘭阿根廷西班牙烏拉圭意大利法國他決定從這些球隊中選擇一個跟蹤采訪，試問：他有幾種選擇方式?誰能解決這個問題?，你來試試!學生2： 8種。很好，請問：這名記者要完成一件什么事?學生2:從這些球隊中選擇一個跟蹤采訪。他怎么完成這件事?學生2:從歐洲球隊或美洲球隊中選一個。怎么計算方法數?學生2

12、:把兩類球隊數相加即可，5+3=8。分析的不錯，請坐!其實，提出問題比解決問題更難能可貴，我們大家思考一下，能否舉一些生活中類 似的例子嗎?【問題2】你能舉一些生活中類似的例子嗎？你能試著解決嗎？20秒學生3：暑假馬上到了，我想去看清華園，從滄州到北京有兩種交通工具供選擇: 長途汽車、旅客列車，已知當天長途汽車有 5班，旅客列車有3班。問共有多少種不同的選擇?相當不錯！你能解決嗎?學生 3： 能, 5+3=8.這個問題中，我們需要完成一件什么事?學生3：從滄州到北京。怎么完成這件事?學生3：坐汽車或火車都可以完成。怎么計算?學生3：把兩類方法數相加即可。嗯，分析透徹，還有同學能舉嗎?學生 4：

13、咱們班共有男生 30 名，女生 20 名，從班上選出 1名同學當班長，有多少不同的選法？也不錯，你能類似分析嗎？學生 4：我需要完成一件事是：從班上選出 1 名同學當班長，只要從男生 或女生中選出一人即可，所以， 30+20=50.剛剛我們研究的這些問題雖然簡單， 但體現出數學中的一個原理， 拋開其實際意義，我們能否尋求共性，抽象出一個命題呢？大家可以討論一下。誰能試著分析一下問題 3】這些例子有哪些共性？你能試著歸納出一個一般的命題嗎？學生 5： 這些例子都是計數問題，即需要完成一件事，計算其方法數，都有兩類方案可以選擇，都用加法運算。很好! 你的抽象概括能力很強。你能把它敘述為一個命題嗎？

14、學生5:做一件事有兩類不同的方案，在第 1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有 n 種不同的方法，那么完成這件事共有N=n+ m種不同的方法。相當不錯，你的語言表達能力也很強。好極了，我們把剛才那位同學敘述的內容整理一下，得到分類加法計數原理：完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有ni種不同的方法，在第2類方案中有n2種不同的方法,那么完成這件事共有N=n1+ n 2種不同的方法。板書）二、分類 N=n 1+ n 2原理是指在大量的觀察、實踐的基礎上，歸納總結出的具有普遍意義的基本規律，一般無須證明。我們看到 : 在這個原理中，大家要注意:完成一件事”，“分類”，“加法”幾個關鍵詞

15、。這個原理淺顯易懂，關鍵能夠靈活應用。以后在用這個原理解決問題時，大家要能夠用原理表達，要清楚完成一件什么事？怎么完成？分哪幾類？接著看下一個問題。【問題1的變式】世界杯是今年體育界的一大盛事。開賽前，中央電視臺某位記者 通過網絡測試了解到觀眾最感興趣歐洲球隊、美洲球隊和亞洲球隊如下:歐洲球隊美洲球隊亞洲球隊德國巴西韓國英格蘭阿根廷日本西班牙烏拉圭法國他決定從這些球隊中選擇一個跟蹤采訪，試問：他有幾種選擇方式?這個問題你能解決嗎?學生 8： 能, 5+3+2=10.不錯，這個問題對你有什么啟發呢？學生8：我覺得原理中的方案的種類不一定是兩類，可以是三類。你能試著把原理推廣到三類嗎?【問題4】你

16、能進一步推廣到有3類方案的情況嗎？ m類方案呢?學生8:當然能，完成一件事有三類不同的方案，在第1類方案中有n1種不同的方法，在第2類方案中有n2種不同的方法，在第3類方案中有n3種不同的方法，那么完成 這件事共有N=n+ n 2+ n 3種不同的方法。推廣1完成一件事有三類不同的方案，在第 1類方案中有ni種不同的方法，在第 2類方案中有n2種不同的方法，在第3類方案中有n3種不同的方法，那么完成這件事共N=n+ n 2+ n 3種不同的方法。我們當然還能進一步推廣到4類、5類、甚至m類。學生，你試試!推廣2完成一件事有m類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n2種不

17、同的方法，在第 m類方案中有nm種不同的方法，那么完成這件事共有N=n+ 門2+nm種不同的方法。讓我們繼續我們的世界杯之旅。【問題5】世界杯開賽前，新浪網和搜狐網在網上分別進行了 “本屆世界杯你最支搜狐網持的球隊”的評選活動，位于前五位的結果如下:德國巴西巴西阿根廷西班牙烏拉圭意大利西班牙法國何二新浪網試問：如果你從這兩個網站的評選結果中挑選一支你最支持的球隊，有多少種選 法?誰能試著分析一下你的思路。學生9：因為我要完成的事是挑選一支最支持的球隊，所以我從新浪網和搜狐網中 選，但是巴西、西班牙兩個網的結果都有，所以有 5+ 5-2 = 8種選擇。很好，我們能否直接用分類加法計數原理解答呢?

18、學生9：不能！去掉重復的隊即可。【問題6】由此你能試著總結應用分類加法計數原理需要注意的問題嗎?學生9：分類需要注意“不能重復”。總結的很好，當然我們在分類時除了不能重復之外，還不能遺漏，即“不重不漏” 這也是分類討論的數學思想的關鍵點。再來研究下一個問題。【問題7】 世界杯小組賽中，A小組成員有：南非、墨西哥、法國、烏拉圭，在 小組賽前，你能計算前兩名的可能情況有多少種嗎?學生10： 12種。談談你的想法。學生10：如果第一名是南非，第二名可以是墨西哥或法國或烏拉圭，共三種方法;當然第一名還可能是墨西哥或法國或烏拉圭，所以方法數為4咒3=12.分析很精彩。我們可以用圖來展示這位同學的思想，這

19、種圖示你能形象的給它命個 名嗎?學生10：嗯，我覺得它形狀象樹，叫做“樹形圖”，可以嗎?很好，這種圖示我們在解決計數問題時十分常用，我們通常就稱之為“樹形圖”。學生11：我覺得還可以這樣考慮：我們要完成一件事是排出第一、第二名，那么我 先選第一名，有4種方法，再選第二名有3種方法，所以共有4咒3=12.這位同學的分析也很好。我們也能舉出生活中一些類似的例子。大家可以討論一下。【問題8】你能舉一些生活中類似的例子嗎?學生3：老師，我想改編一下剛才的例子，暑假來了，我要從滄州到北京旅游，若想中途參觀南開大學，已知從滄州到天津有3種乘車方式，從天津到北京有2種乘車方式，試問：要從滄州到北京共有多少種

20、不同的方法?你能解答嗎?學生3： 3x2 = 6種。這個問題中，要完成一件什么事?學生3：從滄州到北京。不太確切。學生3：從滄州先到天津，再到北京。你能指出所有的路線嗎?學生 3： 1A、1B、2A、2B、3A、3B。1是否是完成這件事的一種方法?學生3：不是。為什么?學生3：1不能完成這件事。學生4：老師，我也能改編我的例子,咱們班共有男生 20名，女生10名，從班上選出1名男生和一名女生擔任節目主持人,有多少不同的選法?你能類似的分析一下嗎?學生4：我要我要完成從班上選出1名男生和一名女生的任務，先選男生，再選女生，共有20咒10 = 200種方法。還有同學能從別的情景下舉例并解決嗎?學生

21、12：我有5件上衣，4條褲子，選出一件上衣和一條褲子進行搭配，有5汽4 = 20種選法?學生13:食堂有米飯、饅頭、花卷3種主食，有6種炒菜，要選擇一種主食和一 種炒菜，有6x3=18種不同的選法？大家舉的例子漂亮極了！我相信大家一定能夠尋求共性，仿照分類加法計數原理抽 象出一個一般命題?【問題9】這些例子有哪些共性？你能仿照分類加法計數原理試著歸納出一個一般 的命題嗎?學生14：這些問題都需要完成一件事，計算其方法數，都有兩個步驟，用乘法計算。很好，你能把它敘述為一個命題嗎?學生14:可以，完成一件事有兩個步驟，做第1步有n1種不同的方法，做第2步有n2種不同的方法，那么完成這件事共有N=n

22、x n2種不同的方法。(板書)二、分步 N=n1xn2我們看到：在這個原理中，我們要注意：“完成一件事”，“分步”，“乘法”幾個關鍵 詞。步與步之間要相互獨立，分步要做到“步驟完整”，從剛才的討論可以看出，只有 每一步都完成了，這件事才宣告完成。這個原理依然淺顯易懂，關鍵能夠靈活應用。以 后在用這個原理解決問題時，要用原理表達，完成一件什么事？怎么完成？分哪幾步?【問題10】你能進一步推廣到有3個步驟的情況嗎？ m個步驟呢？學生15:完成一件事有三個步驟，做第1步有n1種不同的方法，做第2步有n2種 不同的方法，做第3步有n3種不同的方法，那么完成這件事共有N=nx n2xn3種不同的方法。推

23、廣2完成一件事有m個步驟，做第1步有ni種不同的方法，做第2步有n2種不 同的方法， ，做第 m步有nm種不同的方法，那么完成這件事共有N=nx 門2咒X nm種不同的方法。好，我們共同來解決一個例題。【例1】書架的第一層有4本不同的計算機書，第二層有 3本不同的文藝書，第三層有2本不同的體育書。(2) 從書架的第1, 2, 3層各取一本書，有 _24_種不同的取法;種不同的取法。這個問題綜合應用了兩個原理，體現了“類中有步”“步中有類”思想。(3) 從書架中任取2本不同學科的書，有26學生16：( 1)要完成從書架中取出1本書這件事，我分三類，即取出計算機書或文藝書或體育書，由分類加法計數原理，有4+3+2=9種不同的取法(2)要完成從書架中第1, 2, 3層各取一本書的這件事，我分三