1、海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期階段性測試2020 春本試卷共6頁，150分。考13t時(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試 結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(2 i)對應(yīng)的點(diǎn)位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)已知集合Ax0A B 1 ,則集合B可以是(3)(A) 1 ,已知雙曲線(A) 1已知實(shí)數(shù)22 y b2(B)1, 31(b 0)的離心率為(B) 2a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,(C)

2、0,1, 2衣，則b的值為(C) 3則下列式子中正確的是(D) 1 , 2, 3(D) 4c h ct o2(A) b a c a (B) c ab,、一1_、6 . 一(5)在(一2x)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為X(A) -120(B) 120(C) c c(D) bc acb a(C) -160(D) 160(6)如圖，半徑為1的圓M與直線l相切于點(diǎn)A,圓M沿著直線l滾動(dòng).當(dāng)圓M滾動(dòng)到圓M 時(shí)，圓M 3與直線l相切于點(diǎn)B.點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A ,線段AB的長度為，則點(diǎn)M到直線BA的距離為2(A) 1(D)已知函數(shù)f(x)m與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.若g(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則 m的

3、取值范圍為(A) -1, +8)(B) (-8, -1(C) -2, +8)(D) (-8, -2(8)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐中最長棱的棱長為(A) 55(B) 2收(C) 2、/3(D)相(9)若數(shù)列an滿足a 2,則“ p, r N，ap rapa是“ an為等比數(shù)列”的(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件n(10)形如2(n是非負(fù)整數(shù))的數(shù)稱為費(fèi)馬數(shù)，記為Fn .數(shù)學(xué)家費(fèi)馬根據(jù)F0, Fi, F2, F3, F4都是質(zhì)(B)必要而不充分條件 (D)既不充分也不必要條件Fs,不是質(zhì)數(shù)，那么F5的位數(shù)是數(shù)提出了猜想：費(fèi)馬數(shù)都是質(zhì)數(shù).多年之后，數(shù)學(xué)家歐拉計(jì)算出(參考數(shù)據(jù)；lg2

4、 0.3010 )(A) 9(B) 10(C) 11(D) 12第二部分(非選擇題共 110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11)已知點(diǎn)P (1, 2)在拋物線 C: y2 =2px上，則拋物線 C的準(zhǔn)線方程為 .(12)在等差數(shù)列an中，a二3, a2+a5=16,則數(shù)列an的前4項(xiàng)的和為.1(13)已知非零向量 a, b滿足|a|二|a-b|,則(a-b) b=.2(14)在 ABC 中，AB= 4屈,/ B= ，點(diǎn) D 在邊 BC 上，/ ADC= , CD=2 ,貝U AD=43 ACD的面積為.(15)如圖，在等邊三角形 ABC中，AB=6 .動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著此

5、三角形三邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)回到A點(diǎn),記P運(yùn)動(dòng)的路程為x,點(diǎn)P到此三角形中心 O距離的平方為f(x),給出下列三個(gè)結(jié)論：函數(shù)f(X)的最大值為12 ;函數(shù)f (x)的圖象的對稱軸方程為x=9;關(guān)于x的方程f(x)=kx+3最多有5個(gè)實(shí)數(shù)根.其中，所有正確結(jié)論的序號是 .注：本題給出的結(jié)論中，有多個(gè)符合題目要求。 全部選對得5分，不選或有錯(cuò)選得0分，其他得3分。三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。(16)(本小題共14分)如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB，平面 BB1C1C, AB=BB 1=2BC=2 , BC1=J3,點(diǎn) E 為 A1C1 的中占I 八、

6、(I)求證：GBL平面ABC :(II)求二面角 A BC E的大小.(17)(本小題共14分)2已知函數(shù) f(x) 2cos 1x sin 2x.求f(0)的值；(II)從 i 1, 2 2；i 1, 2 1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)， 作為題目的已知條件， 求函數(shù)f(x)在 一,一上的最小值，并直接寫出函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.2 6注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。(18)(本小題共14分)科技創(chuàng)新能力是決定綜合國力和國際競爭力的關(guān)鍵因素，也是推動(dòng)經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展的重要支撐，而研發(fā)投入是科技創(chuàng)新的基本保障.下圖是某公司從2010年到2019年這10年研發(fā)投入的數(shù)據(jù)分布圖:其中折線

7、圖是該公司研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比，條形圖是當(dāng)年研發(fā)投入的數(shù)值 (單位：十億元).(I)從2010年至2019年中隨機(jī)選取一年，求該年研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比超過10%的概率；(II )從2010年至2019年中隨機(jī)選取兩個(gè)年份，設(shè)X表示其中研發(fā)投入超過 500億元的年份的個(gè)數(shù)， 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(III)根據(jù)圖中的信息，結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，判斷該公司在發(fā)展的過程中是否比較重視研發(fā)，并說明理由.(19)(本小題共15分)已知函數(shù)f(x) ex ax.(I)當(dāng) a=-1 時(shí)，求曲線y f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程;求函數(shù)f ( x) 的最小值：(II)求證：當(dāng)aC (-2

8、, 0)時(shí)，曲線y f (x)與y=1-lnx有且只有一個(gè)交點(diǎn).(20)(本小題共14分)223已知橢圓 c：與 4 i(a 0,b 0)的離心率為 3, A1( a。)，A(aQ) , B(0,b), ABA2的 a b2面積為2.(I )求橢圓C的方程；(n)設(shè)M是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線A1B與直線A2M交于點(diǎn)P ,直線A1M與直線A2B交于點(diǎn)Q.求證：BPQ為等腰三角形.(21)(本小題共14分)已知數(shù)列 an是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，若存在常數(shù)k N ,使得a2n i a2n kan ,對任意的n N成立，則稱數(shù)列 an具有性質(zhì)(k).(i)分別判斷下列數(shù)列an是否具有性

9、質(zhì) (2)；(直接寫出結(jié)論) an 1； an 2n.(n)若數(shù)列an滿足an1 an(n 1,2,3,)，求證：“數(shù)列a0具有性質(zhì)(2)”是“數(shù)列a0為常數(shù)列”的充分必要條件；(出)已知數(shù)列an中21 1,且an1 an(n 1,2,3, ) .若數(shù)列an具有性質(zhì)(4),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期階段性測試參考答案數(shù) 學(xué)2020春閱卷須知：1 .評分參考中所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。2 .其它正確解法可以參照評分標(biāo)準(zhǔn)按相應(yīng)步驟給分。、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.題號12345678910答案ABBDCCDCAB、填空題：本大題共5小題，每小題

10、5分，共25分.題號1112131415答案X 1240472， 2灰注：第14題第一空3分,第二空2分；第15題全部選對得5分，不選或有錯(cuò)選得 0分，其他得3分。三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。(16)解：(I)因?yàn)?AB 平面 BB1c1C, C1B 平面 BB1cle所以AB C1B.在4 806 中，BC 1, BG 而，CC1 2,所以 BC2 BCf CC12.所以CB C1B.因?yàn)?ABI BC B , AB,BC 平面 ABC ,所以CiB 平面ABC.(n)由(I)知， AB CiB, BC CiB, AB BC,如圖，以B為原點(diǎn)建立空間

11、直角坐標(biāo)系 B xyz.1uuruuu i _BC S BE (萬姬設(shè)平面BCE的法向量為n (x, y, z),則 B(0,0,0) , E( -,73,1) , C(1,0,0).LULTn BC 0,則 uur八n BE 0.x 0,即 lx ,3y z 0.令 y J3貝U x 0 , z 3,所以 n (0, . 3, 3).又因?yàn)槠矫鍭BC的法向量為m (0,1,0),m n 1cos m, n 一|m|n| 2由題知二面角A BC E為銳角，所以其大小為 -3(17)解：(I) f (0) 2cos2 0 sin0 2 .(n)選擇條件.f (x)的一個(gè)周期為兀2f (x) 2c

12、os x sin 2x(cos2 x 1) sin 2x2(光 sin2x二cos2x) 22 sin(2x ) 1 .4因?yàn)閤 2,6,所以3 712x+ , .44 12所以 1 sin (2x ) 1. 4所以 12 f(x) 12.當(dāng)2x -= 5時(shí)，即x= ?時(shí),f(x)在,取得最小值1 72. 2 6選擇條件.f (x)的一個(gè)周期為2仁2f (x) 2cos x sin x22(1 sin x) sin x1 2172(sin x ).481因?yàn)?x 一,一, 所以 sinx 1,-. 2 62所以當(dāng)sinx= 1時(shí)，即x=時(shí)， 2f (x)在2,取得最小值1.(18)解：(I)設(shè)

13、事件 A為“從2010年至2019年中隨機(jī)選取一年，研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比超10%過10%”，從2010年至2019年一共10年，其中研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比超過有9年，所以P(A) 旦 10(n)由圖表信息，從 2010年至2019年10年中有5年研發(fā)投入超過500億元，所以X的所有可能取值為0,1,2.211_lC52C5c5 5C52且P(X 0) ct=9； P(X 1) 式=9； P(X 2)康所以X的分布列為:X012P2529992 9 1-2故X的期望E(X) 0 - 19(ID)本題為開放問題，答案不唯一.要求用數(shù)據(jù)說話，數(shù)據(jù)可以支持自己的結(jié)論即可，閱卷時(shí)按照上述標(biāo)

14、準(zhǔn)酌情給分.(19)解：(I)當(dāng) a 1 時(shí)，f(x) ex所以f'(0)0.所以曲線yf (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程為y 1令f'(x)此時(shí)f (x),f(x)隨x的變化如下:可知f (x)minx(-? ,0)0(0,+?)f (x)-0+f (x)極小值,函數(shù)f (x)的最 小值為1.0 1(n)由題意可知，x(0,).1令 g(x) e ax lnx 1 ,則 g (x) e - a .x由(I)中可知ex x 1 ,故ex 1 x .因?yàn)?a ( 2,0),11貝U g'(x) e a x 1 axx所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增.11

15、因?yàn)?g(-) = ee + - - 2 < e 所以橢圓方程為y21. (II )解法111證明：設(shè)直線 AM方程為y k(x 2)(k 0且k1),直線 AB方程為y -x 122 - 2 < 0 ,e ee2又因?yàn)?g(e) = e + ae>e - 2e>0 ,所以g (x)有唯一的一個(gè)零點(diǎn).即函數(shù)y f(x)與y 1 lnx有且只有一個(gè)交點(diǎn)C通， a 2(20)解：(I )由題 ab 2,222a b c .解得 b 1.y2 x4k(x1x2k(x2),解得點(diǎn)1.2)，得(4 k 1.4k 2P(2k21)x4k2K-216k x16k22xM =2-74k

16、 1所以xm =8k2 24k24k九 =1).216k40,4k 4k21).14k4k2k4k1Kam28k 2 o24k2k 12故PQ中點(diǎn)在定直線y 1上.從上邊可以看出點(diǎn) B在PQ的垂直平分線上，所以|BP BQ所以 BPQ為等腰三角形解法2證明：設(shè) M(x0,y0)(x02,y01)則 x2 4y2 4 .4k 1于是直線A1M的方程為1 (x 4k2),直線A2B的方程為1 (x 2)4k解得點(diǎn)Q(14k 22k 1u)T日于 ZE Xp所以PQ x軸.設(shè)PQ中點(diǎn)為N ,則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1直線A2M方程為yy(x 2),直線A1B方程為y -x 1 .xo 22-0-(x 2)

17、, x 21 x 1.2解得點(diǎn)p(2% 4y0 44y°)2y0 xo 2 2y0 xo 2直線AM方程為y 竺（x 2）,直線 AB方程為yxo 22),1x1. 2解得點(diǎn)Qi區(qū)/y+l,).2yo +xo 22 yo xo 22% 4yo 4 2xo 4 yo+4xP %2y0 xo 22yo+xo 22(% 2y。 2)(2y0+% 2) 2(% 2y。+2)(2 y。 2)(2yo xo 2)(2yo+xo 2)222 (xo 2yo)2 4) (4 (xo 2y0)2o.(2yo xo 2)(2yo+xo 2)于是xP xq ,所以PQ x軸.ypVq4yo4yo2yo x

18、o 2 2yo+x0 24yo(4yo4)(2 yo xo 2)(2 yo+xo 2)4yo(4yo4)一一 22(2 yo2)xo故PQ中點(diǎn)在定直線y 1上.從上邊可以看出點(diǎn) B在PQ的垂直平分線上，所以|BP BQ所以 BPQ為等腰三角形(21)解：(I)數(shù)列an具有“性質(zhì) (2)” ；數(shù)列 an 不具有“性質(zhì) (2) ” .(n)先證“充分性”：當(dāng)數(shù)列an 具有“性質(zhì) (2) ”時(shí)，有a2n 1a2n2an又因?yàn)閍n 1 an ，所以 0a2n anan a2n 10 ，進(jìn)而有an a2n結(jié)合an 1an 有anan 1a2n ,即“數(shù)列an 為常數(shù)列”；再證“必要性”：若“數(shù)列an 為常數(shù)列”，則有a2n 1a2n 2a12an ，即“數(shù)列an 具有“性質(zhì) (2) ”.(出)首先證明：an 1 an 2 .因?yàn)閍n 具有“性質(zhì) (4) ”，所以a2n 1a2n4an .當(dāng) n 1 時(shí)有a2 =3a1 3 .又因?yàn)閍2n 1 ,a2 n ,an N 且 a2n a2n-1 ，進(jìn)而有 2an 1a2n a2n 1 1 2an 1 2,所以 2(%1 an) 3,結(jié)合，+1d N*可得：an 1 an 2.然后利用反證法證明：an 1 an 2.假設(shè)數(shù)列an中存