1、南通大學畢業論文 摘 要在高等數學的學習中,積分不等式的證明一直是一個無論在難度還是技巧性方面都很復雜的內容.對積分不等式的證明方法進行研究不但能夠系統的總結其證明方法,還可以更好的將初等數學的知識和高等數學的結合起來.并且可以拓寬我們的視野、發散我們的思維、提高我們的創新能力,因此可以提高我們解決問題的效率.本文主要通過查閱有關的文獻和資料的方法,對其中的內容進行對比和分析,并加以推廣和補充,提出自己的觀點.本文首先介紹了兩個重要的積分不等式并給出了證明,然后分類討論了證明積分不等式的八種方法,即利用函數的凹凸性、輔助函數法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用積分的性質、利用泰勒公式

2、、利用重積分、利用微分中值定理,最后對全文進行了總結關鍵詞：積分不等式,定積分,中值定理,柯西-施瓦茲不等式,單調性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skillIn this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowled

3、ge of elementary mathematics and higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing rel

4、ated content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function

5、,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarizedKey words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem, Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty 1.引 言不等式

6、在數學中有著重要的作用,在數量關系上,盡管不等關系要比相等關系更加普遍的存在于人們的現實世界里,然而人們對于不等式的認識要比方程遲的多.直到17世紀之后,不等式的理論才逐漸的成長起來,成為數學基礎理論的一個重要組成部分.眾所周知,不等式理論在數學理論中有著重要的地位,它滲透到了數學的各個領域中,因而它是數學領域中的一個重要的內容.其中積分不等式更是高等數學中的一個重要的內容實際上關于定積分的概念起源于求平面圖形的面積和一些其他的實際問題.有關定積分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希臘時期,阿基米德就曾經用求和的方法計算過拋物線弓形和其他圖形的面積.在歷史上,積分觀念的形成要

7、比微分早.然而直到17世紀后半期,較為完整的定積分理論還沒有能夠形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有關計算的問題得以解決后,定積分才迅速的建立并成長起來本論文研究的積分不等式結合了定積分以及不等式.關于它的證明向來是高等數學中的一個重點及難點.對積分不等式的證明方法進行研究，并使其系統化，在很大程度上為不同的數學分支之間架起了橋梁.深刻的理解及掌握積分不等式的證明方法可以提升我們對其理論知識的理解,同時可以提高我們的創造思維和邏輯思維在論文的第三部分中對積分不等式的證明方法進行了詳細的闡述.分別從利用函數的凹凸性、輔助函數法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用泰勒公

8、式、利用重積分、利用微分中值定理、利用定積分的性質這八個方面給出了例題及證明方法.這樣通過幾道常見的積分不等式的證明題,從不同的角度,用不同的方法研究、分析了積分不等式的特點,歸納總結出了其證明方法.同時論文中也對有的題目給出了多種證明方法,這啟示我們對于同一道積分不等式而言它的證明方法往往不止一種,我們需要根據實際情況采用合適的方法去證明,從而達到將問題化繁為簡的目的 2.幾個重要的積分不等式在高等數學的學習中我們遇到過許多重要的積分不等式,如Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式等.它們的形式及證明方法都有很多種,在這一小結中我們將給出這兩種積分不等式的證明方法2.1 Cau

9、chy-Schwarz不等式無論是在代數還是在幾何中Cauchy-Schwarz不等式的應用都很廣泛,它是不同于均值不等式的另一個重要不等式其形式有在實數域中的、微積分中的、概率空間中的以及維歐氏空間中的4種形式.接下來在這一部分中我們將對其在微積分中的形式進行研究定理2.11 設, 在上連續,則有 2 證明：要證明原不等式成立,我們只需要證 成立設,則只要證成立,由在上連續,在內可導,得 (2.1)由(2.1)式可知在上遞增,由,知,故原不等式成立 證畢實際上關于Cauchy-Schwarz不等式的證明方法有很多,這里我們采用的證明方法是較為普遍的輔助函數法,它將要證明的原積分不等式通過移項

10、轉變為了判斷函數在兩個端點處函數值大小的問題通過觀察我們可以進一步發現原Cauchy-Schwarz不等式能夠改寫成以下行列式的形式,由此我們可以聯想到是否可以將它進行推廣？答案是肯定的.下面我們將給出不等式的推廣形式定理2.22 設,在上可積,則 證明：對任意的實數,有注意到關于,的二次型實際上為半正定二次型,從而其系數矩陣行列式為 證畢以上的推廣是將Cauchy-Schwarz不等式的行列式由二階推廣到了三階的形式,事實上Cauchy-Schwarz不等式是一個在很多方面都很重要的不等式,例如在證明不等式,求函數最值等方面.若能靈活的運用它則可以使一些較困難的問題得到解決.下面我們會在第三

11、部分給出Cauchy-Schwarz不等式及其推廣形式在積分不等式證明中的應用除了Cauchy-Schwarz不等式之外還有很多重要的積分不等式,例如Young不等式,相較于Cauchy-Schwarz不等式我們對Young不等式的了解比較少,實際上它也具有不同的形式且在現代分析數學中有著廣泛的應用.接著我們將對Young不等式進行一些研究2.2 Young不等式Young不等式,以及和它相關的Minkowski不等式,HÖlder不等式,這些都是在現代分析數學中應用十分廣泛的不等式,在調和函數、數學分析、泛函分析以及偏微分方程中這三個不等式的身影隨處可見,是使用得最為普遍,最為平凡

12、的知識工具.下面我們將給出積分形式的Young不等式的證明定理2.33 設在（）上連續且嚴格遞增,若,且,則,其中是的反函數,當且僅當時等號成立證明：引輔助函數, (2.2)把看作參變量,由于,且嚴格遞增,于是當 時,；當 時,；當 時,因此 當時,取到的最大值,即 (2.3)由分部積分得,作代換,上面積分變為, (2.4)將(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得,即 證畢3.定積分不等式常見的證明方法關于積分不等式的證明方法較為繁多,難度及技巧性也較大,因此對其進行系統的歸納總結是很有必要的在這一部分中我們將歸納出利用輔助函數、微分中值定理、重要積分不等式及積分中值定理等證明積分不等式

13、的方法3.1 利用函數的凹凸性在數學分析以及高等數學中,我們常常會遇到一類特殊的函數凸函數凸函數具有重要的理論研究價值和廣泛的實際應用,在有些不等式的證明中,若能靈活地利用凸函數的性質往往能夠簡潔巧妙的解決問題下面給出一個例子加以說明定理3.1 若定義在間隔內,且,則必為下凸函數定理3.2 設在上為可積分函數,而又設在間隔內為連續的下凸函數,則有不等式例3.14 設在上連續,且,求證：證明: 取, 因為,即在時,為凸函數,故有，即，故 證畢在上述的題目中我們可以發現在證明中常常先利用導數來判斷函數的凹凸性,然后再利用凹（凸）函數的性質來證明不等式然而對于實際給出的題目,我們往往需要先構造一個凹

14、（凸）函數,然后才能利用其性質來證明我們所要證明的問題3.2 輔助函數法 輔助函數法是積分不等式證明中的一種非常重要的方法,往往我們會根據不等式的特點,構造與問題相關的輔助函數,考慮在相同的區間上函數所滿足的條件,從而得出欲證明的結論在第二部分中我們用輔助函數法對Cauchy-Schwarz不等式進行了證明,下面將對用輔助函數法證明積分不等式進行進一步的探討例3.2.15 設函數在區間上連續且單調遞減,證明：對時,有： 證明：令 ,由連續,得可導則 , 因為在上單調減少,而,有,從而,在上單調減少,則對任意,有即,兩邊同乘,即得 證畢本題根據積分不等式兩邊上下限的特點,在區間上構造了一個輔助函

15、數,進一步我們可以思考對于一般的情形,該題的結論是否依然成立呢？答案是肯定的.例3.2.2 設函數在區間上連續且單調遞減非負,證明：對,且時,有: 證明：令,由連續,得可導, 則 , 因為在上單調減少,而,有,從而,在上單調減少,則對任意,有,即 (3.1)由非負,可得 (3.2)結合(3.1)式和(3.2)式可得 即 證畢例3.2.36 函數在上連續,且 試證：在例3.1中我們給出了本題利用函數的凹凸性證明的過程,在這里我們將給出其利用輔助函數法證明的過程證明: 構造輔助函數, 則 , 所以是單調遞增的,即,故 證畢例3.2.47 設在上連續且單調增加,證明：證明: 原不等式即為,構造輔助函

16、數 ,則 , 因為,單調增加,所以故在上單調遞增,且,所以對,有當時,即,故原不等式成立, 證畢通過以上幾道題目的觀察我們可以發現：1.當已知被積函數連續時,我們可以把積分的上限或者是下限作為變量,從而構造一個變限積分,然后利用輔助函數的單調性加以證明2.輔助函數法實際上是一種將復雜的問題轉化為容易解決的問題的方法在解題時通常表現為不對問題本身求解而是對與問題相關的輔助函數進行求解,從而得出原不等式的結論3.3 利用重要積分不等式在第2部分中我們給出了Cauchy-Schwarz不等式以及它的推廣形式的證明過程,實際上Cauchy-Schwarz不等式的應用也很廣泛,利用它可以解決一些復雜不等

17、式的證明.在這一小節中我們將通過具體的例子來加以說明它在證明積分不等式中的應用例3.3.18 函數在上一階可導,試證明：證明：由和可得 , , , 因此 , (3.3) (3.4)將(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到 證畢例3.3.22 設,在上可積且滿足：,則以下兩個積分不等式及 成立證明：取,由及定理2.2知 因此 (3.5)由可知 ,因而由于,因此化簡得,兩邊同時積分得 ,由算數-幾何平均值不等式可知 ,于是 則 (3.6)由式(3.5)和式(3.6)可知 證畢以上兩道題分別利用了Cauchy-Schwarz不等式及其推廣形式我們在證明含有乘積及平方項的積分不等式時應用Cauchy

18、-Schwarz不等式頗為有用,但要注意選取適當的與,有時還需對積分進行適當的變形3.4 利用積分中值定理積分中值定理展現了將積分轉化為函數值,或者是將復雜函數積分轉變為簡單函數積分的方法.其在應用中最重要的作用就是將積分號去掉或者是將復雜的被積函數轉化為相比較而言較為簡單的被積函數,從而使得問題能夠簡化.因此合理的利用積分中值定理能夠有效的簡化問題.下面將通過兩道例題來說明定理3.3（積分第一中值定理） 若在上可積且,則存在使成立.特別地,當在上連續,則存在,使成立定理3.4（積分第一中值定理的推廣） 若函數,在區間上可積,連續,在上不變號,則在積分區間上至少存在一個點,使得下式成立 定理3

19、.5（積分第二中值定理的推廣） 若函數,在區間上可積,且為單調函數,則在積分區間上至少存在一個點,使得下式成立 例3.4.1 設函數在區間上連續單調遞減,證明：對,且時,有,其中對于這道題目我們在3.2.2中給出了其利用輔助函數法證明的過程,實際上這道題目還可以用積分第一中值定理來證明,下面我們將給出證明過程證明：由積分中值定理知 , ； ,；因為,且遞減,所以有,即 ,故 證畢例3.4.2 設在上連續且單調增加,證明：同樣地，在之前的證明中我們給出了此題利用輔助函數法證明的過程,仔細分析觀察這道題目我們還可以發現它可以用積分第一、第二中值定理的推廣形式來證明,接著我們將給出此題在這兩種方法下

20、的證明過程證法一證明: 由定理3.4可知,分別存在,使得 , ,因此,由于在單調增加的,且,所以有 從而,故原不等式成立, 證畢證法二證明:由定理3.5可知：存在,使得 由單調增加及知,可得,故原不等式成立, 證畢通過上述兩道題目我們可以了解到積分中值定理在實際應用中起到的重要作用就是能夠使積分號去掉,或者是將復雜的被積函數轉化為相對而言較簡單的被積函數,從而使問題得到簡化.因此,對于證明有關結論中包含有某個函數積分的不等式,或者是要證明的結論中含有定積分的,可以考慮采用積分中值定理,從而去掉積分號,或者化簡被積函數3.5 利用積分的性質關于積分的性質在高等數學的學習中我們已經學到了很多,我們

21、可以利用它來證明許多問題.在這里我們主要利用定積分的比較定理和絕對值不等式等性質對問題進行分析處理例3.5.19 設在上導數連續,試證：,有證明：由條件知在上連續,則必有最小值,即存在,由, .故原不等式成立, 證畢3.6 利用泰勒公式在現代數學中泰勒公式有著重要的地位,它在不等式的證明、求極限以及求高階導數在某些點的數值等方面有著重要的作用.關于泰勒公式的應用已經有很多專家學者對其進行了深入的研究,下面我們將舉例說明利用泰勒公式也是證明積分不等式的一種重要方法定理3.6(帶有拉格朗日型余項的公式) 設函數在點處的某鄰域內具有階連續導數,則對該鄰域內異于的任意點,在與之間至少存在一點,使得：

22、(1)其中（在與之間）稱為拉格朗日型余項,(1)式稱為泰勒公式例3.6.110 設在上有二階連續導數,試證明:證明：對,由泰勒公式得 , , , ,兩式相加得 ,兩邊積分得 ,其中 ,于是有 ,故 證畢例3.6.26 設在上有二階導數,且,求證 證明：將在處作泰勒展開得到 , 因為,所以可以得到 ,對不等式兩邊同時積分得到 因為, 所以有 證畢通過這兩道題目我們大致可以了解到當題目中出現被積函數在積分區間上有意義且有二階及二階以上連續導數時,是提示我們用泰勒公式證明的最明顯的特征一般情況下我們選定一個點,并寫出在這個點處的展開公式,然后進行適當的放縮或與介值定理相結合來解決問題3.7 利用重積

23、分在一些積分不等式的證明中,由于被積函數的不確定,從而我們不能求出其具體的數值,這時我們可以將定積分轉換為二重積分再利用其性質來求解以下列舉了3種利用重積分來證明積分不等式的方法,這種技巧在高等數學中雖然不常見,但卻是很重要的,下面我們將通過3道例題來進一步說明3.7.1 直接增元法命題一11：若在區間上,則 例3.7.111 設,在上連續,且滿足：,證明：證明：由題得,從而可以得到,即左式 (其中) 則 , 即 證畢在本題中我們將一元積分不等式的兩邊同時增加一個積分變量，使得一元積分不等式化為二元積分不等式，然后巧妙的運用轉換積分變量順序的方法達到證明一元積分不等式的方法.3.7.2 轉換法

24、在利用重積分來證明積分不等式的時候，我們不但可以采用直接增元法，還可以采用轉換法.關于轉換法又分為將累次積分轉換為重積分，以及將常數轉換為重積分這兩種形式.下面我們將依次來介紹這兩種方法.1.將累次積分轉為重積分命題二11 若在上可積,在上可積,則二元函數在平面區域上可積,且其中例3.7.211 設,是上的連續函數,在上,為單調遞增函數,試證：證明：由可知：,令,下證； (3.7)同理 (3.8) (3.7)(3.8) 得 ,因為,同為單調增函數,所以又因為,故 ,即 證畢2.將常數轉換為重積分的形式在例3.7.2中我們介紹了將累次積分轉換為重積分,在下面的例3.7.3中我們將對常數轉換為重積

25、分來進行說明我們可以發現有這樣一個命題,若在二重積分中被積函數,則可得到,其中例3.7.3 函數在上連續,且試證：本題與前面的例3.1以及例3.2.3是同一道題目,在這里我們將利用重積分證明此題證明：原題即為 ,移項可得, ,所以即為證,因為,所以故 恒成立,即成立, 證畢通過以上三道例題我們可以大致了解到，在這一類定積分不等式的證明過程中我們一般先將所要證明的不等式轉化為二次積分的形式,進一步再轉換為二重積分,最后利用二重積分的性質或其計算方法得出結論.這種方法克服了數學解題過程中的高維數轉化為低維數的思維定勢,豐富了將二重積分與定積分之間互化的數學思想方法3.8 利用微分中值定理微分中值定

26、理是數學分析中的重要的一個基本定理,它是指羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理這四種定理.關于微分中值定理的應用也是很廣泛的,證明不等式是微分中值定理最基本的應用之一.在這里我們將對利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理證明積分不等式進行研究.下面將通過兩個例子來具體說明這兩個定理在證明積分不等式中的應用,以及不同的微分中值定理在證明不等式時的區別例3.8.112 設,在區間上的導數連續,證明： 證明：應用Lagrange中值定理,其中,使得 ,因為, 所以, , 從到積分得 即.證畢例3.8.213 設函數在上可微,且當時,試證：證明：令,在上滿足柯西中值定理,則 , 所

27、以 證畢通過以上兩道題目可以發現：1.在應用Lagrange中值定理時先要找出符合條件的函數,并確定在使用該定理的區間,對在區間上使用該定理若遇到不能用該定理直接證明的,則從結論出發,觀察并分析其特征,構造符合條件的輔助函數之后再應用Lagrange中值定理2.在研究兩個函數的變量關系時可以應用Cauchy中值定理,在應用該定理證明不等式時關鍵是要對結果進行分析,找出滿足Cauchy中值定理的兩個函數,并確定它們應用柯西中值定理的區間,然后在對,在區間上運用Cauchy中值定理無論是Cauchy中值定理還是Lagrange中值定理在積分不等式的證明中都各具特色,都為解題提供了有力的工具.總之在證明不等式時需要對結論認真的觀察有時還需要進行適當的變形,才能構造能夠應