1、設空間曲線的方程設空間曲線的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三個函數均可導式中的三個函數均可導.一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面m.),(0000tttzzyyxxm 對應于對應于;),(0000ttzyxm 對應于對應于設設m 考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxmm 割線割線 的方程為的方程為mm ,000zzzyyyxxx ,0,時時即即當當 tmm曲線在曲線在m處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切

2、向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttt 法平面：過法平面：過m點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解當當0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 z

3、yx. 0832 zyx即即1.空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxm,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為特殊地：特殊地：2.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxgzyxf切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyggffzzggffyyggffxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zzggffyyggffxxggffyxyxxzxzzyzy例例 2 2 求曲線求曲線6222 zyx，0 zyx在在

4、點點)1, 2, 1( 處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對x求導并移項，得求導并移項，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 t所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz設曲面方程為設曲面方程為0),( zyxf),(),(),(000tttt 曲線在曲線在m處的切向量處的切向

5、量在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點過點m的曲線的曲線,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線ntm),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 令令則則,tn 由于曲線是曲面上通過由于曲線是曲面上通過m的任意一條的任意一條曲線，它們在曲線，它們在m的切線都與同一向量的切線都與同一向量n垂直，故垂直，故曲面上通過曲面上通過m的一切曲線在點的一切曲線在點m的切線都在同一的切線都在同一平面上，這個平面稱為曲面在點平面上，這個平面稱為曲面在點m的的切平面切平面.切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000

6、 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx 通通過過點點),(000zyxm而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱稱為為曲曲面面在在該該點點的的法法線線.法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 曲面在曲面在m處的法向量即處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.特殊地：空間曲面方程形為特殊地：空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在m處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000z

7、zyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxf 令令)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點的上點的豎坐標豎坐標的增量的增量的全微分的全微分在點在點函數函數),(),(00yxyxfz 因為曲面在因為曲面在m處的切平面方程為處的切平面方程為全微分的幾何意義全微分的幾何意義),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在點在點),(000zyx處的處的切平面上的點的豎坐標的增量切平面上的點的豎坐標的增量. 若

8、若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與并假定法向量的方向是向上的，即使得它與z軸的正向所成的角軸的正向所成的角 是銳角，則法向量的是銳角，則法向量的方向方向余弦余弦為為,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 3 3 求旋轉拋物面求旋轉拋物面122 yxz在點在點)4 , 1 , 2(處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切

9、平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在點在點)0 , 2 , 1(處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程.解解, 32),( xyezzyxfz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yfx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xfy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzef令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平

10、面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.解解設設 為曲面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx, 10 x所求切點為所求切點為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方

11、程(2)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線（當空間曲線方程為一般式時，求切向（當空間曲線方程為一般式時，求切向量注意采用量注意采用推導法推導法）（求法向量的方向余弦時注意（求法向量的方向余弦時注意符號符號）三、小結三、小結思考題思考題 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .思考題解答思考題解答,2,2,6000zyxn 設切點設切點),(000zyx依題意知切向量為依題意知切向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點滿足曲面和平面方程切點滿足曲面和平面方程,016

12、930169320202200020 xxxxxx . 2 一、一、 填空題填空題: :1 1、 曲線曲線2,1,1tzttyttx 再對應于再對應于1 t的點的點處切線方程為處切線方程為_； 法平面方程為法平面方程為_._.2 2、 曲面曲面3 xyzez在點在點)0 , 1 , 2(處的切平面方程為處的切平面方程為_； 法線方程為法線方程為_._.二、二、 求出曲線求出曲線32,tztytx 上的點上的點, ,使在該點的切使在該點的切線平行于平面線平行于平面42 zyx. .三、三、 求球面求球面6222 zyx與拋物面與拋物面22yxz 的交線的交線在在)2 , 1 , 1(處的切線方程處的切線方程 . .練練 習習 題題四、求橢球面四、求橢球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程. .五、試證曲面五、試證曲面)0( aa