1、教學過程、復習預習般地，求函數f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下:求f(x)在(a,b)內的極值;將f(x)的各極值與端點處的函數值f (a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值，得出函數f(x)在a,b上的最值.二、知識講解 常應用函數方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征,利用數形結合法。考點1 :利用導數解決恒成立問題若不等式f xA在區間D上恒成立，則等價于在區間 D上f xmin A若不等式f x B在區間D上恒成立，則等價于在區間 D上f xmax考點2 :利用導數解決能成立問題若在區間D上存在實數X使不等式fx A成立

2、,則等價于在區間D 上 f x max若在區間D上存在實數X使不等式fx B成立,則等價于在區間D 上的 fXmin B.解決不等式恒成立問題和能成立問題， 的時候要注意求的到底是函數最大值和最小值。注意一個是全稱命題,一個是存在性命題，所以轉化三、例題精析【例題1】【題干】設函數f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x2時取得極值.(1)求a、b的值;(2)若對于任意的 x0,3，都有 f(x) c2 成立,c的取值范圍.【答案】(1) a 3, b4 (2) c的取值范圍為(1)U(9,)【解析】(1) f (x) 6x26ax 3b ,函數f (x)在x1及x 2取得極值，則

3、有 f(1) 0, f (2)0 即 64 6a2a3b3b00，解得 a 3，b 4 -由(1)可知，f(x) 2x3 9x212x 8c , f (x) 6x2 18x 126(x 1)(x當 x (0,1)時，f(X)0 ；當 x (1,2)時，f(X)0 ；當 x (2,3)時，f (x)8c, f (3)9 8c .2c，解得c 1或c當x 1時，f(x)取得極大值f(1)5 8c,又f(0)則當x 0,3時，f(X)的最大值為f (3)9 8c .2對于任意的x 0,3，有f (x) c恒成立， 9 8c因此c的取值范圍為(，1)U(9,).【例題2】/迂尸3(孟-)-£

4、疋K【題干】設函數X(1)當a=1時，求曲線在點處的切線方程;(2)若函數力在其定義域內為增函數，求實數a的取值范圍;(3)設函數【解析】E盤，若在1, e上至少存在一組可心使了卸M軸成立，求實數a的取(1)切線為 y 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2ax xA-aF，由題意若函數/(x)在其定義域內為增函數,二八2°在(0, +P上恒成立，即加-工+盤二0遼丄.-La:在二X + -, x-2工 +丄 2 口丄1十X ,丸，X ，工，2 ?( 3)在1，e上至少存在一組可心使畑燉 成立;則/W晦皿，兀色哄, ? ? ? ? ? 分9g(x) = / 上在1， e上遞減

5、，S WnLitiHlKg（片）吹=日，g（x）芒1，旨,令狀兀）=&/-工+位當噸時，”）在g上遞增，5"金二心”r時冷在1肩上遞增，選（己宀 =參弓-1B 二倫） 1 = gH詭，不合題意。當a 0時軌工）=處2 一兀+口 X皂1疋血（1）=花-1 uo,丄/W "，二/W在"上遞減,當說=0時，f（x） = -lii2r，在1肩上遞減，ks5u-僅蘭°時，孑W晌=了=° V1,不合題意。Q E 上P他)綜上：& 一 1? ? ? ? ? ? ? ? ?【例題3】【題干】已知函數-如理+加a=(1 )當缶時，求丿E的極值;(

6、2)若只Q在(一“上是增函數，求a的取值范圍.【解析】(1)(耳=色一如& +芍近一耳_當口 _ 6時，尸="工+審工一吸，-他在(f-2)內單調遞減，在(一入伽內單調遞增，二當"-2時，"對有極小值，二臨 的極小值是=(2 )在(-M上是增函數，當且僅當rw = 4(x-I)P®c 43ax-D >0，即孑&+3四一1<0h當広aO時，若要成立，則需3a-f1<0，解得 6u當ff>0時，若要成立，則需+3a-(-l)-l <0a>-22，解得 3t-1,1綜上，金的取值范圍是3 6四、課堂運用【基礎

7、】1.三次函數f（ x） =x3 - 3bx+3b在1 , 2內恒為正值，貝U b的取值范圍是【答案】b<-4【解析】方法1:拆分函數f （ x）,根據直線的斜率觀察可知在與y1=X3相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范圍方法2：利用函數導數判斷函數的單調性，再對b進行討論,1 , 2范圍內，直線y比較是否與已知條件相符,2.對于"一U總有王0成立，則（2的值為多少?若不符則舍掉，最后求出 b的范圍。【答案】a=4【解析】若"0,則不論曲取何值，產（對K0顯然成立;>31當GO,即賽亡時/（工）=沁7工十1"可化為皿77設曲=*弓，則童訃3(1-呵

8、所以豐（*）在區間®衛上單調遞增，在區間P上單調遞減，因此嚴“禺円從而心弋色一丄丄一丄當即MFW時，可化為"工2 "，則J在區間7叭單調遞增，因此玄（兀丄=£（一1）=耳，從而*4【鞏固】1.設 a 為實數，函數 f(x) 2x2 (x a) | x a|.若f (0)1，求a的取值范圍;求f(X)的最小值;設函數 h(x) f (x),x (a,直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x) 1的解集.【解析】(1 )若f (0)1，則 a|a|(2 )當x a 時，f (x)3x22axa時,f(x) x22ax綜上 f (x)min2a2, a2a2T

9、,af (a),a02a2, af(扣02a23 ,af( a),a02a2,af(a),a 02a2, a0000f (x)mina2, f(x)min(a,)時，h(x)1 得 3x2 2axa2 14a22 212(a1) 12 8a0,x(a,);時， >0,得：(x2a J3 2a23)(xaa 3 2a2)3)討論得:(a,);晅)時，解集為(a,a C2a丿3 2a23)；2込時，解集為2 2a J3 2a23).2.已知函數f(x) x 2 a(2xIn x),( a0)討論f(x)的單調性.【解析】f (x)的定義域是(0,+)，f (x)2cx ax 22x設g(x)

10、 x2 ax 2,二次方程g(x) 0的判別式8.當 a2 80，即 0 a 2罷時，對一切x 0都有f (x)0 ,此時f (x)在(0,)上是增函數。a280 ,即a 2/2時，僅對X 有f (x)0 ,對其余的x 0都有(X)0,此時f (X)在(0,)上也是增函數。a2 80,即a 2邁時,a8,0X1X2.X(0,X1)X1(X1,X2)X2(X2,)f (X)+00+f(x)單調遞增極大單調遞減極小單調遞增方程g(x)此時f(X)在(0,2 80有兩個不同的實根 x1a wa8 , x22a Ja 8)上單調遞增,在(a Ja 8,a Ja 8)是上單調遞減,2 2 2右,a Ja

11、28在(T-)上單調遞增.【拔高】1.設函數f(X)xekX(k0)(I)求曲線f(X)在點(0, f(0)處的切線方程;(n)求函數f(x)的單調區間;(川)若函數f(x)在區間(1,1)內單調遞增，求k的取值范圍.【解析】kX'1 kX e ,f 01, f 00,曲線yf (X)在點(0, f (0)處的切線方程為yX.(n)由'kx1f X 1 kx e 0 ,得 X k k若k 0,則當X1 '時，f X 0，函數f X單調遞減,k,時,0，函數fx單調遞增,0，則當時，f x0，函數f x單調遞增,時,0,函數fx單調遞減,(川)(n)知，若0，則當且僅當1

12、時，函數f x1,1內單調遞增,0，則當且僅當1時，函數f x 1,1內單調遞增,Vi綜上可知，函數 f x 1,1內單調遞增時,k的取值范圍是1,0 U 0,1 .1 22.已知函數 f(x)=X2 ax+(a 1)1 nx , a2(1 )討論函數f(x)的單調性;(2)證明：若a 5，則對任意X"，x1， x 2 (0,),X1 X2，有 f(X1)f(X2)1。X1 X2【解析】(1) f (x)的定義域為(0,f'(x)a 1 X2 ax a 1 a (x 1)(x 1 a)(i)1即a2,則f'(x)(X 1)2X故 f (x)在(0,)單調增加。(ii)

13、若 a 1 1，而 a 1,故 1 a 2,則當 x(a 1,1)時，f(x) 0;當 x (0, a 1)及 x (1,)時，f(X)0故f (x)在(a 1,1)單調減少，在(0, a 1),(1,)單調增加。(iii)若 a 11,即a 2,同理可得f(x)在(1,a1)單調減少，在(0,1),(a1,)單調增加.(II)考慮函數g(x) f(x)ax(a 1)l nx則 g (x)/八 a(a 1)1<a<5,故 g (x)g(x1)g(x2)0,即f (X1)時，有f(X1) f(X2)X1 X2zjxgx (a 1) 1 (Vn即g(x)在(4, + 8 )單調增加，f

14、(X2)為 X20，故 f (x1)f(X2) f(X1)X2 X11)2從而當f (X2)Xi X2X1 X20時有1，當 0 X1X2課程小結關于運用導數解決含參函數問題的策略還有很多,參數問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強，對于某些“含參函數”題目，不一定用某一種方法，還可用多種方法去處理.這就要求我們養成良好的數學思維，有良好的觀察與分析問題的能力，靈活的轉化問題能力， 使 所見到的“含參函數”問題能更有效地解決.課后作業【基礎】1.已知函數f(x)(x3 3x2 ax b)e X3，求f(x)的單調區間;若f(x)在(,),(2,)單調增加，在,2),(,)單調減少，證明<

15、 6. W.【解析】f(x) (x33x23x 3)e x ,故6x 3)e x(x) (x3 3x2 3x 3)e x (3x2x(x 3)(x 3)e x當 x3或 0 x 3時，f'(x) 0;當 3 x 0或x 3時，f'(x)0.從而f(x)在(,3),(0,3)單調增加，在(3,0,(3,)單調減少.(n ) f '(x)(x3 3x2 ax b)e x (3x2 6x a)e xe xx3 (a 6)x由條件得：f'(2)0,即232(a 6) b a 0,故b 4 a,從而f '(x) e xx3 (a 6)x 4 2a.因為f'

16、( )f'( )0,所以x3 (a 6)x 4 2a (x 2)(x)(x)(x 2)(x2 ()x).將右邊展開，與左邊比較系數得，2,a 2.故&)2 4J12 4a.又(2)(2) 0,即2() 40.由此可得a 6.于是6.b a.e x(x 39x)22.設函數f X Xaln 1 X有兩個極值點Xi、X2，且XiX2(I)求a的取值范圍,并討論 fX的單調性;(II )證明：f x21 2In24【解析】(I) f X2" 2(x 1)X2令 g(x) 2x 2xa，其對稱軸為1。由題意知X1、2X2是方程g(x) 0的兩個均大于1的不相等的實根，其充要條

17、件為g(4)8：0，得當(1,Xi)時，f X0,f(X)在(1,X1)內為增函數;f(X)在(X1, X2)內為減函數;當X(X2,)時,f X0,由(:I)g(0)a 0,X2fX22X2aln1X22X2設hXX2(2x22x)ln1 X則hX2x2(2x1)ln1 X當X(2,0)時，h X0,當X(0,)時，h X0，當(X1,X2)時，f X0,Xh(x)在丄,。)單調遞增;2f (X)在(X2,)內為增函數;2x 2(2x 1)ln 1 X20， a (2X 2+2x2)(2x22+2x2)l n 1 X2(X 1，h(x)在(0,)單調遞減。1(-,0)時,h X h(212)

18、1 2ln 24X2h(X2)匕乎Z41【鞏固】1.已知函數 f(x) ln(ax 1)X,x 0，其中 a 01 X若f (x)在X=1處取得極值，求a的值;求f(x)的單調區間;(川)若f(x)的最小值為1,求a的取值范圍。2a 20,解得 a 1.1解析】f'(x) aOi(oOU訃/ f(x)在 x=1 處取得極值， f '(1) 0,即 agl22 _ax a 2(n ) f '(x)(ax 1)(1 x 0,a0,1 0.當a 2時，在區間(0,)上, f'(x) 0,二f(x)的單調增區間為(0,).當0 a 2時，f'(x) 0解得x J

19、甘，由f'(x) 0解得xf(x)的單調減區間為(0，,空),單調增區間為( 嚴(川)當a 2時，由(n)知，f(x)的最小值為f(0)1;f 半呂)f(0) 1,當0 a 2時，由(n )知，f(X)在x處取得最小值綜上可知，若f (x)得最小值為1,則a的取值范圍是2,).2.已知函數 f(x) 2sin( x)cosx.(I)求f(x)的最小正周期;(n)求f(x)在區間, 上的最大值和最小值.6 2【解析】/ f(n)由 6 x 23 2x2x2- f (x)在區間一,上的最大值為6 21,最小值為五2【拔高】1.已知關于x的函數f(x) = x3 + bx2 + cx + b

20、e,其導函數為f+(x).令g(x) =I f+(x) I，記函數 3g(x)在區間-1、1上的最大值為 M.4(I )如果函數f(x)在x= 1處有極值，試確定b、c的值:3(n)若I b I >1,證明對任意的c,都有M>2:(川)若M = K對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。f (x)在x 1處有極值f'(1)12b c 0可得14f(1)b c bc33b 1b 1解得,或c 1c 3若b1,c1 ,則 f'(x)x2 2x 1(x若b1,c3,則 f '(x)x2 2x 3 (x當x變化時，f(x) , f '(x)的變化情況如下表：【

21、解析】Q f '(x)2bxc,由1)(x 1)x221)0，此時f (x)沒有極值;1.1之外。|4b| 4,即 M 2x(,3)3(3,1)1(1,)f'(x)0+0f(x)極小值12Z極大值=33即為所求。4當x 1時，f (x)有極大值一，故b 1, c3(n)證法 1: g(x) | f '(x)| | (x b)2 b2 c|當|b | 1時，函數y f'(X)的對稱軸x b位于區間f '(x)在1,1上的最值在兩端點處取得故M應是g( 1)和g(1)中較大的一個2M g(1) g( 1) | 1 2b c| | 1 2b c|證法2 (反證

22、法)：因為|b| 1，所以函數yf'(x)的對稱軸x b位于區間1,1之外,f '(x)在1,1上的最值在兩端點處取得。故M應是g( 1)和g(1)中較大的一個假設M 2，則g( 1) 1 1 2b c| 2 g(1) | 1 2b c|將上述兩式相加得:24 | 1 2b c| |1 2b c|4|b| 4 ,導致矛盾，M 2(川)解法1: g(x)|f '(x)| |(x b)2b2 c|(1 )當|b| 1時，由(n)可知|b| 1 時，函數y f'(x )的對稱軸x b位于區間1,1內，max g( 1),g(1),g(b)由 f'(1)2f&#

23、39;( 1) 4b,有 f'(b) f '( 1) b(m1)0若1b 0,則 f'(1)f'( 1) f '(b),g( 1) max g(1),g(b),于是M1)21 1 f'(b)|) 2|f'max |f'(1),|f'(b)|-(I f'(1)| f'(b)| 2(b若0b 1，則 f'( 1) f '(1) f'(b),g(1) max g( 1),g(b)1max | f'( 1)1,1 f'(b) I 2(|f'( 1)|1 綜上，對任意的

24、b、c都有M 2于是M1|f'(b)|) 2l f'( 1)f '(b) | 2(b1)2而當b10,c 2 時，g(x)2 1x 一在區間21,1上的最大值Mk對任意的b、c恒成立的k的最大值為解法2:g(x) | f '(x) | |29(x b) b c|(1 )當 |b| 1 時，由(n)可知M 2 ；(2)當| b | 1時，函數yf '(x)的對稱軸xb位于區間1,1內,此時 M max g( 1),g(1),g(b)4M g( 1) g(1) 2g(h) | 1 2b c| | 1 2b c| 2|b2 c| 1 2b c ( 1 2b c) 2(b2 c) | |2b22| 2，即 M1322.已知函數f(x) -ax bx X 3,其中a 03(1) 當a,b滿足什么條件時，f(X)取得極值？(2)已知a 0,且 f(x)在區間(0,1上單調遞增 試用a表示出b的取值范圍.