1、本科生畢業論文拉普拉斯變換及在線性系統的應用 院 系 數學與統計學院專 業 數學與應用數學班 級 2007級本科3班學 號 0501070310 學 生 姓 名 聯 系 方 式 指 導 教 師職稱 講師 助教2011年 4月 獨 創 性 聲 明本人鄭重聲明：所呈交的畢業論文是本人在指導老師指導下取得的研究成果.除了文中特別加以注釋和致謝的地方外,論文中不包含其他人已經發表或撰寫的研究成果.與本研究成果相關的所有人所做出的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意.簽名： 年月日授權聲明本人完全了解許昌學院有關保留、使用本科生畢業論文的規定,即：有權保留并向國家有關部門或機構送交畢業論文的復

2、印件和磁盤,允許畢業論文被查閱和借閱.本人授權許昌學院可以將畢業論文的全部或部分內容編入有關數據庫進行檢索,可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編論文.本人論文中有原創性數據需要保密的部分為（無） 簽名： 年月日指導教師簽名： 年月日摘 要本文由拉普拉斯變換的一些基礎知識入手,介紹了拉普拉斯變換的概念,定理.歸納總結了它的一些性質及關于各性質的證明和用法.重點討論了如何用拉普拉斯變換解常系數線性微分方程（組）,總結出象原函數的幾種求解方法,以及不同的方法適合使用的情況等.另外還簡單介紹了拉普拉斯變換在工程學中的一些線性系統的應用,其中包括在動態電路系統和電力系統的應用.關鍵詞：拉普拉斯變

3、換；常系數微分方程；線性系統ABSTRACTThis paper is about the basic knowledge of the Laplace Transform. It contains the concept of Laplace Transform, theorems,summarizes some of its properties and the nature of the proof and usage.It discusses hou to use the Laplace Transform to solve Linear Differential Equations

4、(group). And it sums up a variety of solutions of the original function, whats more,the different methods are used in different situations. And it also introduces the Laplace transform of some linear systems engineering applications, including dynamic circuit system and electrical system.Keywords: L

5、aplace transform; Constant coefficient differential equations; Linear system 目 錄1 引言12 拉普拉斯變換的理論基礎22.1拉普拉斯變換與拉普拉斯逆變換的定義22.2 拉普拉斯變換的性質42.3 拉普拉斯逆變換與反演積分公式93 拉普拉斯變換的應用103.1 利用拉普拉斯變換解微分方程積分方程（組）103.2 利用拉普拉斯變換求解實變量的廣義積分123.3 拉普拉斯變換在復雜線性動態電路的應用123.4 拉普拉斯變換在動力系統中的應用134.小結15參考文獻16致 謝17 拉普拉斯變換及在線性系統的應用1 引言 拉

6、普拉斯(Laplace)變換（簡稱拉氏變換）是在對傅立葉(Fourier)變換改進的基礎上發展起來的.我們知道傅氏變換是建立在傅氏積分的基礎上,一個函數除了要滿足狄氏條件外,還要在上絕對可積.這是一個相當強的條件,即使一些簡單的函數如線性函數,三角函數都能不滿足.另外,在工程實際問題中,許多以時間t作為作為自變量的函數在時是無意義的,為解決上述問題,拉普拉斯變換就應運而生. 拉氏變換在傅氏變換的基礎上引入了衰減指數函數和單位階躍函數,從而放寬了對函數的限制,也使之更適合工程實際.所以拉氏變換就既繼承了傅立葉變換的許多好的性質,又克服了傅立葉變換的一些不足之處,它的應用性更強.拉普拉斯變換是比傅

7、立葉變換應用更為廣泛的一種積分變換.本文從白艷萍,雷英杰等編寫的復變函數與積分變換中提煉了拉氏變換的概念,參考了馮復科編寫的復變函數與積分變換和李紅,謝松法編寫的復變函數與積分變換總結出拉氏變換的存在性定理,周期函數的拉氏變換及拉氏逆變換,反演公式等.從上面的用到的書籍以及金憶丹,尹永成編寫的復變函數及拉普拉斯變換中歸納出拉氏變換常用的八條性質等.大部分性質有對應的簡單證明及用法例題.由拉氏變換和傅氏變換的關系導出的反演積分公式,原則上講是一種求拉氏逆變換的通用方法.但對于求一些復雜的象原函數,我們可根據具體情況,充分利用拉氏變換的各種性質,選擇適合的簡便的算法.通常是將象函數分解為一些基本函

8、數的相加或相乘,再利用拉氏變換的各種性質,并結合這些基本函數的原函數,求出總的象原函數.論文后半部分則主要簡單介紹了拉普拉斯變換的一些應用.拉普拉斯變換是高等數學及一些物理系統研究中的一個非常重要的變換.作為一種數學工具可以使有關運算得以簡化.首先從數學角度來看,拉氏變換是求解常系數線性微分方程的重要方法,應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程,可以將微分方程化為代數方程,使問題得以解決,并且分析計算都變得簡單和有效.其次在工程學上,拉普拉斯變換是研究線性定常系統的基本工具.在物理學中有很多線性系統,如電路系統、動力系統等的研究,可以歸結為求常系數線性微分方程的初值問題.而拉普拉斯變換提供了求解

9、初值問題的一種簡便方法.所以說它是研究工程實際問題中線性系統的有力工具.本文參考了近期的一些科研論文,僅從數學角度分析了拉普拉斯變換在求解微分方程,在復雜的線性動態電路及動力系統等線性系統的一些簡單的應用.2 拉普拉斯變換的理論基礎2.1拉普拉斯變換與拉普拉斯逆變換的定義設函數在時有定義,若廣義積分對參變量在某一區間D內收斂,則此廣義積分在區域D內定義了一個復變函數, ， （1）稱復變函數為函數的拉普拉斯變換,記為 ， （2）函數成為的Laplace逆變換,記為,和構成了一對拉普拉斯變換對,其中,稱為變換的象函數,而稱為變換的象原函數.從象函數求它的象原函數的一般公式：（拉普拉斯逆變換的一般公

10、式）,我們說拉普拉斯變換是由傅里葉變換轉化而來的,那么它們之間又有怎樣的聯系呢？由（1）式,我們有可見函數的拉氏變換就是的傅氏變換.其大致思路就是：首先通過單位階躍函數使函數在的部分充零；其次對函數在的部分乘上一個衰減的指數函數以降低其“增長”速度,這樣就可使函數滿足傅氏積分條件,即可進行積分.另外,我們一般約定：在拉氏變換中所提到的函數均理解為當時取零值.例 1 求單位階躍函數及函數的拉氏變換（為常實數且）.解 根據拉氏變換的定義,有 .例 2 正弦函數的（為常數）Laplace變換.解 根據拉氏變換的公式,有從上面的例子我們已經看出拉氏變換的確擴大了傅氏變換的使用范圍,但到底那類函數存在拉

11、氏變換呢？也就是說,相對于傅氏變換的條件,拉氏變換存在的條件要弱的多,但一個函數的拉氏變換的存在,還是要具備一些條件的.定理 1（拉普拉斯變換的存在定理） 若函數滿足下列條件：在的任何有限區間上分段連續.隨著t的增大,即時,函數的增大,不比某個指數函數快,即存在常數和,使得.則的拉普拉斯變換在半平面上一定存在.常見的大部分函數都是滿足的,如常值函數,單位階躍函數,三角函數,指數函數及冪函數等.他它們雖不滿足在上絕對可積的條件,但它們的增大卻不超過指數級.而函數則不滿足,因為無論取多大的M和c,對足夠大的t,總會出現,其拉氏變換不存在. 值得注意的是,拉氏變換的存在定理的條件是充分的,但不是必要

12、的.定理 2 周期函數的拉氏變換設是以T為周期的周期函數,即,且在各周期上分段連續,則有 證 令,則可得 2.2 拉普拉斯變換的性質(1)線性性質若是常數,則 ,.這個性質表明函數線性組合的拉氏變換等于函數拉氏變換的線性組合.拉氏的逆變換也一樣.例 1 求的拉氏變換.解 由及,有同理可得 .（2）相似性質對于任一常數有 .證 （3）位移性質若則有（）或 ,（為常數）.證 由拉氏變換的定義 這個性質反映了平移函數的像可由未平移函數的像乘以表示,平移函數的原像可通過未平移函數的原像乘以因子表示.例 2 已知,求.解 由拉氏變換的線性性質, 而 , ,由位移的性質可知 ,及 ,所以 .（4）微分性質

13、 像原函數的微分性質若則證 根據拉氏變換的定義和分部積分法,得推論 若為象原函數,則拉氏變換的這一推論可以用來求解微分方程（組）的初值問題.例 3 求解微分方程 解 對方程兩邊取拉氏變換,并利用線性性質及上面推論有其中,代入初值即得根據上邊例題結果,有 像函數的微分性質一般的有 證 由有（5）積分性質 像原函數的積分性質若 則 一般的有 .像函數的積分性質一般的有 .證 設則由微分性質從而 并且由得兩邊取,則有這是一個求形如的積分的一個重要方法.這種形式的積分用數學分析中的積分方法很難找到解,但用拉氏變換的方法就簡單多了,我們來看下面的例子.例 4 求解 而因此（6）延遲性質若又時,則對于任一

14、實數,有或證 由定義有令 , 有 必須注意的是本性質中對的要求,即當時.此時在時為零.(7)卷積性質按照卷積的定義,兩個函數的卷積是指如果與滿足當時,則有所以在拉普拉斯變換中有顯然,上式滿足交換律,結合律,與對加法的分配律.若設,則存在,且 或 .這個性質表明：兩個函數卷積的拉氏變換等于這兩個函數拉氏變換的乘積.卷積性質可以推廣到多個函數的情形.利用卷積性質可以求一些函數的逆變換.在拉氏變換中,卷積性質起著十分重要的作用.例 5 已知,求.解 由于,故有（8）初值定理與終值定理初值定理若,且存在,則或.終值定理若,且存在,則或.由上面的這些性質及例題,我們可以看出,利用拉氏變換的這些基本性質,

15、可使積分變得簡單,從而使拉氏變換的應用更為廣泛.2.3 拉普拉斯逆變換與反演積分公式我們知道運用拉氏變換求解具體實際問題時,常常需要由像函數求出像原函數.從前面的討論,我們已經知道可以利用拉氏變換的性質并根據一些已知的變換來求像原函數,下面我們介紹一種更一般性的方法,它直接用像函數表示出像原函數,即所謂的反演積分,再利用留數求出像原函數.由上文,若,則,且,由拉氏逆變換的定義,所以.時,解得,令,則有,. 這就是求拉氏逆變換的一般公式,通常稱作拉氏反演公式. 右端的積分稱作拉氏反演積分. 拉氏反演積分是一個復變函數的積分,計算通常比較困難.但當滿足一定條件,可以用留數來計算.若有有限個奇點適當

16、選取,使得這些奇點全在的范圍內,且當時,則有,即 ,.例 1 已知,求.解法一 利用部分分式求解. 對進行分解可得,由于 , ,故.解法二 利用卷積求解.設,則.又由于,根據卷積性質有解法三 利用留數求解.由于,分別為像函數的簡單極點與二階極點,應用留數定理及留數計算法則有求解函數像函數或者像原函數的方法可能很多,例如利用卷積定理,部分分式反演積分還有留數定理等,這幾種方法都各自有各自的優缺點,我們要根據實際情況,選擇合適的拉氏變換或性質定理.有時還可以利用拉氏變換的基本性質.以上的這些方法除了留數理論的情況外,都需要知道一些最基本的拉氏變換的象函數的象想函數.此外還可以用查表的方法,簡化計算

17、.3 拉氏變換的應用3.1 利用拉普拉斯變換解微分方程積分方程（組）許多工程實際問題可以用微分方程來描述,拉氏變換對求解微分方程非常有效,這是拉普拉斯變換的一個最基本的應用.含有未知數及其各階導數方程稱為微分方程.如果未知數及其各階導數都是一次的,則稱之為線性微分方程.線性微分方程常常被用來描述各種各樣的動態系統,這個我們下文會提到.應用拉普拉斯變換求解常系數微分方程,其求解方法大致為以下二個步驟：（1）和利用傅氏變換求解微分方程一樣,根據拉氏變換的線性性質和微分性質等,對原微分方程兩端取拉普拉斯變換,同時結合其初始條件,將原常系數微分方程通過拉普拉斯變換轉化為關于象函數的代數方程.（2）求解

18、象函數滿足的代數方程,得到象函數.再對求得的象函數做拉氏逆變換,得原方程之解.例 1 求方程的滿足初始條件的解.解 對方程兩邊施行拉普拉斯變換得,由此得,把上式右端分解成部分,對上式右端各項分別求出(查表)其原函數,則它們的和就是x(s)的原函數,這就是所要求的解應用拉普拉斯變換求積分方程.例 2 解積分方程.解 解此方程要用到拉普拉斯變換的卷積性質.令,則,故,于是.例 3 求解微分方程組 解 令對方程兩邊取拉式變換,并應用初始條件得求解得 ,取拉氏逆變換得原方程組的解為綜上,我們可以得到用拉普拉斯變換法解微分或者積分方程的以下幾個優點：求解過程規范,便于在工程技術中使用；當初始條件全部為0

19、時(這在工程中常遇到),用拉普拉斯變換求解就會變得簡單,而用經典的方法求解不會那么簡單；當方程中的非齊次項(在工程中稱為輸入函數)具有跳躍點而不可微時,用經典的方法求解是很困難的,而用拉普拉斯變換不會帶來任何困難；在實際計算中可以用拉普拉斯變換表來求一些函數的像函數,這就使得求解方程變得更加方便. 3.2 利用拉普拉斯變換求解實變量的廣義積分對于一些含參變量的廣義積分, 一些通行的數學分析教材中很難甚至無法求出它們的解.但是我們可以通過引進參變量L,使其成為t的函數,再利用取拉普拉斯變換的方法,并使參變量t取某些特殊值,確定出積分的值. 該方法簡便易行,能夠順利的求解. 如對于某些含參變量的廣

20、義積分而言,像(前面已經求解過的)等,在一般的數學分析教材中,利用積分號下求導以及交換積分次序來計算含參變量的廣義積分,對此該方法很難求解,但如果把含參變量的廣義積分取拉普拉斯變換,再通過拉普拉斯逆變換,就可以較方便地解決此類問題.例 1 計算積分.解 設取拉普拉斯變換并交換積分次序,得取拉斯逆變換,即 .3.3 拉普拉斯變換在復雜線性動態電路的應用線性動態電路是包含線性動態元件的線性電路.因為線性動態元件的元件約束方程是電壓或電流變量與它們的導數或微分間的關系式,一般采用拉普拉斯變換法來分析復雜的線性動態電路.復雜線性動態電路是指動態元件多,動態元件具有初始儲能,激勵復雜的線性動態電路.復雜

21、線性動態電路的電壓電流關系是用高階微分方程描述的.拉氏變換將高階線性常微分方程變換為容易處理的線性多項式方程,并將電壓和電流變量的初始值自動引入到多項式方程中,這樣,在變換過程中,初始條件的處理就成為變換的一部分,因此拉普拉斯變換是求解高階微分方程,分析復雜線性動態電路的有效工具.應用拉普拉斯變換法分析復雜線性動態電路,并不是簡單的應用拉氏變換求解高階線性常微分方程,而是把拉氏變換溶入到動態電路的分析方法中.圖(1)所示是一個RLC串聯電路,圖中,R=800,L=200H,C=lO00,u(t)= (t)V, =1V,i()=2mA,求(t)電壓.根據電路的元件約束和結構約束,即在RLC電路中

22、,根據基爾霍夫定理,其中 ,則響應與激勵的關系為.本題可以寫出描述出圖(1)所示電路電壓電流關系的二階微分方程(t)(3).對(3)式進行拉普拉斯變換可以得到對應的復頻域方程(4).通過(4)式可以解得待求響應的象函數,此象函數的反拉普拉斯變換就是圖(1)所示電路的待求響應(t) . 圖（1）我們還可以根據拉氏變換的線性性質直接寫出電路KVL方程的復頻域形式(5).將電阻、電感、電容元件約束方程的復頻域形式、代入(5)式得 （6）整理(4)式得方程(7),(7)式與(4)式是同一復頻域方程,可見這種方法同樣可以應用于分析復雜線性動態電路.拉普拉斯變換法是數學工具在電路分析中的應用.對分析動態電

23、路具有重要意義,它的變換域法思想對分析其它問題也具有重要意義.3.4 拉普拉斯變換在動力系統中的應用從文章上部分我們看到,用拉普拉斯變換求解常系數線性微分方程初值問題的解非常簡便,對于向量函數的拉普拉斯變換,當一般的自治系統（9）為常系數線性系統時,運用拉普拉斯變換求解該問題它無需先求出已知系統的通解,而是先通過拉普拉斯變換將已知系統化為代數系統,求出代數系統的解,再通過拉普拉斯逆變換,便可得到所求初值問題的解然而,根據拉普拉斯變換的定義及其性質,我們僅能求得初始條件為=0時的初值問題的解在此,我們給出利用拉普拉斯變換求解常系數線性自治系統 (10) (其中,)滿足在任意點的初值條件(11)的

24、解的方法以及利用拉普拉斯變換求其通解的方法 定義 設向量函數它的每個分量都滿足拉普拉斯變換存在性定理的條件(i=l,2,n),定義： 引理1 自治系統(1)的解(積分曲線)具有平移不變性即：若X=X(t)為系統(1)的一個解,則對于任意常數,函數X=X(t+)也是系統(1)的解 另外,將自治系統(1)的滿足初值條件(2)的解記為,我們有下面的結論：引理2 自治系統(1)的解的一個平移也是系統(1)的解,并且二者恒等事實上,由引理1,兩者皆為系統(1)的解,又滿足同樣的初值條件,由初值問題解的存在與唯一性定理知上面兩個解為同一個解.利用拉普拉斯變換求解常系數數線性自治系統在零點的初值問題考慮初值

25、問題其中,設系統(1)的解為,由引理, =,這樣,我們便將初值點平移到了點,于是可用拉普拉斯變換求解該初值問題如下：令（其中,）則,系統兩邊同時取拉普拉斯變換,得到關于,即以為自變量的方程組,從中可以解出再取拉普拉斯逆變換,便得到所求系統初值問題的解看一個簡單的例子例 1 求解系統的滿足初始條件的解解 首先轉化初值條件,設系統滿足初始條件的解為,由引理, ,令,（其中）,在系統(6)的兩邊同時取拉普拉斯變換,得 解之得 再取拉普拉斯的逆變換,得變量還原,得所求系統初值問題的解為4.小結本文先介紹了拉普拉斯變換的概念,定理等基礎理論知識,概括了它的基本性質用法等,并簡單討論了拉氏變換在求解常系數線性微分方程及在一些線性系統的應用.拉普拉斯變換是高等數學及一些物理系統研究中的一個非常重要的變換.作為一種數學工具可以使有關運算得以簡化,同時也是研究工程實際問題中線性系統的有力工具.在物理學中有很多線性系統,如電路系統、動力系統等的研究,可以歸結為求常系數線性微分方程的初值問題.而拉氏變換提供了求解初值問題的一種簡便方法,因此拉氏變換在各種線性系統理論分析中的應用十分廣泛.本文僅從數學角度簡單分析了拉氏變換在求解微分方程,信號系統,動力系統,分析高階動態電路的應用.總之,拉普拉斯變換是進行線性系統分析的